2020年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（5）.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 19 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（5）一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（） A2i B2+i Cl2i Di2 3 （ 5分）如图是1951 2016年中国年平均气温变化图根据上图，下列结论正确的是（） A1951 年

2、以来，我国年平均气温逐年增高 B1951 年以来，我国年平均气温在 2016 年再创新高 C2000 年以来，我国年平均气温都高于 19812010 年的平均值 D2000 年以来，我国年平均气温的平均值高于 19812010 年的平均值 4 （5 分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中1 3的酒量”即输出值是输入值的1 3，则输入的 x（）第 2 页（共 19 页） A3 5 B 9 11 C21 23 D45 47

3、5 （5 分）已知向量 =（3，1），2 + =（5，3），则| |（） A1 B2 C0 D2 6 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x），且当 x0，1时，f（x） x（32x），则 f（31 2 ）（） A1 B 1 2 C1 2 D1 7 （5 分）若 Ax|xb， bR）， Bx|1x2，则 BA 的一个充分不必要条件是（） Ab2 B1b2 Cb1 Db2 8 （5 分）函数 y= 23 |的图象大致为（） A B C D 第 3 页（共 19 页） 9 （5 分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆

4、弓形，最早的文字记载见于九章算术方田章如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为（） A2 2 B 4 1 2 C 2 1 D3 2 4 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，若 E 上点 A 满足|AF1|2|AF2|，且F1AF2的取值范围为2 3 ，则 E 的离心率的取值范围是（） A3，5 B7，3 C3，5 D7，9 11（5 分）数列an满足 a11，对任意 nN*都有 an+1an+n+

5、1，则 1 1 + 1 2 + + 1 2019 = （） A2020 2019 B2019 1010 C2017 1010 D4037 2020 12 （5 分）已知函数() = |( 2)| 2 3 2+ 15 363 ，若关于 x 的方程 f（x）kx 恰有三个互不相同的实数解，则实数 k 的取值范围是（） A3，12 B （3，12） C （0，12） D （0，3）二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，若1= 1 2，S2a3，则 S7 14 （5 分）函数 y

6、x+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 15 （5 分）函数 yAsin（x+）（0，|）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为第 4 页（共 19 页） 16 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，且 AB2，直线 A1B 与平面 B1BCC1所成角为 45o，则此三棱柱的外接球的表面积为三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付” 现统计了活动刚推出一周内每

7、天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程适合用 ycdx来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次；（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如表：支付方式现金会员卡扫码比例 20% 50% 30% 商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 8 折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，

8、使用扫码支付的顾客，享受 7 折优惠的概率为1 6，享受 8 折优惠的概率为1 3，享受 9 折优惠的概率为 1 2现有一名顾客购买了 a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设 vilgyi， = 1 7 7 =1 1.52， 7 =1 49.56，100.523.31 参考公式：对于一组数据（u1， v1），（u2， v2），，（un， vn），其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 =1 22 ， = 18 （12 分）已知锐角ABC 三个内角 A、B、C 的对

9、边分别是 a、b、c，且2 = 3 （1）求 A 的大小；（2）若 = 21， + = 5，求ABC 的面积 19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中， = = = 1 = 1， = 3 （1）证明：C1DBC；第 5 页（共 19 页）（2）求三棱锥 DBCC1的体积 20 （12 分）过点 P（1，1）作直线交椭圆 2 4 + 2 2 =1 于 A，B 两点，若线段 AB 的中点恰为 P，求 AB 所在直线的方程和线段 AB 的长度 21 （12 分）已知 e 是自然对数的底数，函数 f（x）ax2（a+1）x（lnx1），g（x） e 2 ax2 （1）若 ae，

10、求曲线 yf（x）g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）若 g（x）在（1，0）单调递增，判断函数 f（x）是否有零点若有，有多少个？若没有，说明理由四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 = 3（为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为( 4) = 1 （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）射线 OM： = ( 2 )与曲线 C1交于点 M，射线 ON： = 4与曲线 C2 交于点 N，求

11、 1 |2 + 1 |2的取值范围五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xt|+|2x3|，（ 3 2）（）当 t2 时，求不等式 f（x）x+1 的解集；（）若对任意的 xR，都存在符合条件 3m+4n5 的实数 m，n，使得 f（x）m2+n2 成立，求实数 t 的取值范围第 6 页（共 19 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（5）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，

12、Bx|x24x0，则 AB（） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4，所以 AB1，2，3，故选：A 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（） A2i B2+i Cl2i Di2 【解答】解：zi1+2i，z= 1+2 = (1+2) 2 =2i， z 的共轭复数为：2+i，故选：B 3 （ 5分）如图是1951 2016年中国年平均气温变化图根据上图，下列结论正确的是（） A1951 年以来，我国年平均气温逐年增

13、高 B1951 年以来，我国年平均气温在 2016 年再创新高 C2000 年以来，我国年平均气温都高于 19812010 年的平均值 D2000 年以来，我国年平均气温的平均值高于 19812010 年的平均值【解答】解：对于 A，由图形知 1951 年以来，我国年平均气温是增高趋势，并不是逐年增高，如 1957 年，明显降低，A 错误；对于 B，1951 年以来，我国年平均气温在 2007 年和 2015 年创下最高气温，B 错误；第 7 页（共 19 页）对于 C，2000 年以来，我国年平均气温在 2012 年时低于 19812010 年的平均值，C 错误；对于 D，20

14、00 年以来，我国年平均气温的平均值高于 19812010 年的平均值，D 正确故选：D 4 （5 分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗： “我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中1 3的酒量”即输出值是输入值的1 3，则输入的 x（） A3 5 B 9 11 C21 23 D45 47 【解答】解：i1 时x2x1，i2 时，x2（2x1）14x3， i3 时，x2（4x3）18x7， i4 时，退出循环，此时 8x7= 1 3x 解得 x= 21 23，故

15、选：C 5 （5 分）已知向量 =（3，1），2 + =（5，3），则| |（） A1 B2 C0 D2 第 8 页（共 19 页）【解答】解： = (2 + ) 2 = (5，3) 2(3，1) = (1，1)， | | = 2 故选：D 6 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x），且当 x0，1时，f（x） x（32x），则 f（31 2 ）（） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x），则有 f（x）f（x+2），又由 f（x）为奇函数，则 f（x+2）f（x），则有 f（x

18、1 2 C 2 1 D3 2 4 【解答】解：设正方形的边长为 1，则其面积为 1， S阴影2（ 4 1 2）= 2 1，故在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为 2 1，故选：C 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，若 E 上点 A 满足|AF1|2|AF2|，且F1AF2的取值范围为2 3 ，则 E 的离心率的取值范围是（） A3，5 B7，3 C3，5 D7，9 【解答】解：如图，第 10 页（共 19 页）设|AF2|m，则|AF1|2|AF2|2m，由双曲线定义：|AF1|AF2|2a，得 2m

19、m2a，则 m2a，则AF1F2中，由余弦定理可得： cosF1AF2= 2+(2)242 22 = 5242 42 = 20242 162 = 522 42 ， F1AF2的取值范围为2 3 ， 1cosF1AF2 1 2，即1 522 42 1 2，解得7 e3 E 的离心率的取值范围是7，3 故选：B 11（5 分）数列an满足 a11，对任意 nN*都有 an+1an+n+1，则 1 1 + 1 2 + + 1 2019 = （） A2020 2019 B2019 1010 C2017 1010 D4037 2020 【解答】解：数列an满足 a11，对任意 nN*都有

20、an+1an+n+1，即有 n2 时，anan1n，可得 ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1） 1+2+3+n= 1 2n（n+1）， 1 = 2 (+1) =2（1 1 +1），则 1 1 + 1 2 + + 1 2019 =2（1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 2019 1 2020） 2（1 1 2020）= 2019 1010 第 11 页（共 19 页）故选：B 12 （5 分）已知函数() = |( 2)| 2 3 2+ 15 363 ，若关于 x 的方程 f（x）kx 恰有三个互不相同的实数解，则实数 k 的取值范围是（） A3，12 B

21、（3，12） C （0，12） D （0，3）【解答】解：由题意，函数 f（x）大致图象如下：根据题意及图，可知要使方程 f（x）kx 恰有三个互不相同的实数解，则 k 值必在 0 到直线 ykx 与 yx2+15x36 相切时的斜率之间联立直线与二次函数，可得 = 2 + 15 36 = ，整理，得 x2+（k15）x+360，则（k15）24360，解得 k3，或 k27（舍去）实数 k 的取值范围为（0，3）故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和

22、，若1= 1 2，S2a3，则 S7 14 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，1= 1 2，S2a3， 2 1 2 +d= 1 2 +2d，解得 d= 1 2 则 S77 1 2 + 76 2 1 2 =14 第 12 页（共 19 页）故答案为：14 14 （5 分）函数 yx+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 2xy10 【解答】解：yx+1nx， = 1 + 1 ， ky|x11+12，函数 yx+1nx 在点（1，1）处的切线方程为 y12（x1），整理，得 2xy10 故答案为：2xy10 15 （5 分）函数 yAsin（x+）（0，|）在一个周期内的图象如图，

23、此函数的解析式为 y2sin（2x+ 2 3 ）【解答】解：由图象知 A2，由五点对应法得 12 + = 2 5 12 + = 3 2 ，得 2，= 2 3 ，即函数的解析式为 y2sin（2x+ 2 3 ），故答案为：y2sin（2x+ 2 3 ） 16 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，且 AB2，直线 A1B 与平面 B1BCC1所成角为 45o，则此三棱柱的外接球的表面积为 22 3 【解答】解：如图，过 A1 作 A1D1B1C1 于 D1，连接 BD1，在正三角形 A1B1C1中，求得 A1D1= 3，直线 A1B 与平面 B1BCC1所成角为 45，

24、 A1B= 6，AA1= 6 4 = 2 正三棱柱 ABCA1B1C1上下底面中心的连线的中点为此三棱柱的外接球的球心此三棱柱的外接球的半径 R=( 2 2 )2+ (2 3 3 )2=11 6 第 13 页（共 19 页）此三棱柱的外接球的表面积为 4R2= 22 3 故答案为：22 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付” 现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的

25、人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程适合用 ycdx来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次；（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如表：支付方式现金会员卡扫码比例 20% 50% 30% 商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 8 折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的

26、顾客，享受 7 折优惠的概率为1 6，享受 8 折优惠的概率为1 3，享受 9 折优惠的概率为 1 2现有一名顾客购买了 a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设 vilgyi， = 1 7 7 =1 1.52， 7 =1 49.56，100.523.31 参考公式：对于一组数据（u1， v1），（u2， v2），，（un， vn），其回归直线 = + 的斜率和第 14 页（共 19 页）截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 =1 22 ， = 【解答】解：（1）根据题意画出散点图如下，

27、根据散点图判断，ycdx适宜作为扫码支付的人数 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型；因为 ycdx，两边同时取常用对数得：lgylg（cdx）lgc+lgdx；设 lgyu，vlgc+lgdx；又 = 1 7 （1+2+3+4+5+6+7）4， = 1 7 7 =1 vi1.52， 7 =1 2=140； 7 =1 49.56，所以 = =1 =1 22 = 49.56741.52 140742 =0.25，使用 lg =0.25；把样本中心点（4，1.52）代入 vlgc+lgdx，得： c1.520.2540.52，所以 =0.52+0.25x，即 lg =0.52+0

28、.25x，所以 y 关于 x 的回归方程式为： =100.52+0.25x100.52100.25x3.31100.25x；把 x8 代入上式得， =3.31102331；预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 331（人）；（2）记一名顾客支付的费用为 Z，则 Z 的取值可能为：a，0.8a，0.9a，0.7a；则 P（Za）0.2， P（Z0.8a）0.3 1 3 +0.50.60， P（Z0.9a）0.3 1 2 =0.15， P（Z0.7a）0.3 1 6 =0.05； Z 的分布列为： Z a 0.8a 0.9 a 0.7a 第 15 页（共 19 页） P 0.2

29、0.6 0.15 0.05 所以一名顾客支付的平均费用为：E（Z）a0.2+0.8a0.6+0.9a0.15+0.7a0.05 0.85a（元） 18 （12 分）已知锐角ABC 三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且2 = 3 （1）求 A 的大小；（2）若 = 21， + = 5，求ABC 的面积【解答】解：（1）由正弦定理得2 = 3， sinB0， = 3 2 ， (0， 2)， = 3 （2）由余弦定理 a2b2+c22bccosA，得：21b2+c2bc， 21（b+c）23bc，即 = 4 3， = 1 2 = 1 2 4 3 3 2 = 3 3 ， ABC 的

30、面积为 3 3 19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中， = = = 1 = 1， = 3 （1）证明：C1DBC；（2）求三棱锥 DBCC1的体积【解答】（1）证明：在直角DAB 中， = 2 2= 2，又 ACBC1，AB2AC2+BC2，BCAC，又 BCCC1，ACCC1C， BC平面 A1C1CA，C1D平面 A1C1CA，第 16 页（共 19 页） C1DBC （2）解：由（1）知 BC平面 A1C1CA， 1= 1= 1 3 1 = 1 3 1 2 2 1 1 = 1 3 20 （12 分）过点 P（1，1）作直线交椭圆 2 4 + 2 2 =1 于

31、 A，B 两点，若线段 AB 的中点恰为 P，求 AB 所在直线的方程和线段 AB 的长度【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 x1+x22，y1+y22，则1 2 + 21 2 = 4 2 2 + 22 2 = 4，两式相减，（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）0，所以直线 AB 的斜率 k， = 12 12 = 1 2 1+2 1+2 = 1 2 2 2 = 1 2，所以直线 AB 的方程为： 1 = 1 2 ( + 1)，整理得 x2y+30，联立 = 2 3 2+ 22= 4，消去 y，整理得 3x 2+6x+10，所以

32、x1+x22，12= 1 3， | = 1 + 2(1+ 2)2 412=1 + 1 4 (2)2 4 1 3 = 30 3 所以线段 AB 的长度 30 3 21 （12 分）已知 e 是自然对数的底数，函数 f（x）ax2（a+1）x（lnx1），g（x） e 2 ax2 （1）若 ae，求曲线 yf（x）g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）若 g（x）在（1，0）单调递增，判断函数 f（x）是否有零点若有，有多少个？若没有，说明理由【解答】解：（1）若 ae，yf（x）g（x）ex2（e+1）x（lnx1）（e 2 ex2）， yex2 （e+1） x （lnx1）（

33、e 2 ex2） +ex2 （e+1） x （lnx1）（e 2 ex2） ex2（e+1）x（lnx1）（e 2 ex2）+ex2（e+1）x（lnx1）（2xe 2 2ex），当 x1 时，y0，2 分曲线 yf（x）g（x）在点（1，0）处的切线的斜率 k0，曲线 yf（x）g（x）在点（1，0）处的切线方程为 y04 分（2）函数 f（x）没有零点 g（x）在（1，0）单调递增，当 x（1，0）时，g（x）2x 2 2ax0，即第 17 页（共 19 页） a 2 ae6 分由 f（x）ax2（a+1）x（lnx1）得 f（x）2ax（a+1）lnx 且 x0，设 h

34、（x）2ax（a+1）lnx，则 h（x）2a +1 = 2(+1 2 ) ，当 0x +1 2 时，h（x）0，h（x）单调递减；当 x +1 2 时，h（x）0，h（x）单调递增；当 x= +1 2 时，h（x）取得最小值，即h（x）minh（+1 2 ）a+1（a+1）ln+1 2 9 分 ae，+1 2 + 2 ，即 0 +1 2 1， h（x）minh（+1 2 ）a+1（a+1）ln+1 2 0 h（x）0，即 f（x）0，f（x）在定义域（0，+）单调递增 f（1）2a+10，当 a1 时，f（x）0，当 0x1 时，x（lnx1）0，f（x）ax2（a+1）x（ln

35、x1）0 当 x（0，+）时，f（x）0， f（x）0 无实根，即函数 f（x）没有零点12 分四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为 = 2 = 3（为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为( 4) = 1 （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）射线 OM： = ( 2 )与曲线 C1交于点 M，射线 ON： = 4与曲线 C2 交于点 N，求 1 |2 + 1 |2的取值范围【解答】解：（1）由曲线

36、 C1的参数方程 = 2 = 3（为参数），得：2 + 2 = ( 2) 2 + ( 3) 2 = 1，即曲线 C1的普通方程为 2 2 + 2 3 = 1 又 xcos，ysin，第 18 页（共 19 页）曲线 C1的极坐标方程为 32cos2+22sin26，即 2cos2+226 曲线 C2的极坐标方程可化为 = 2，故曲线 C2的直角方程为 + 2 = 0 （2）由已知，设点 M 和点 N 的极坐标分别为（1，），(2， 4)，其中 2 ，则|2= 12= 6 2+2， |2= 22= 1 2( 2) = 1 2 于是 1 |2 + 1 |2 = 2+2 6 +

37、2 = 72+2 6 由 2 ，得1cos0，故 1 |2 + 1 |2的取值范围是( 1 3， 3 2) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xt|+|2x3|，（ 3 2）（）当 t2 时，求不等式 f（x）x+1 的解集；（）若对任意的 xR，都存在符合条件 3m+4n5 的实数 m，n，使得 f（x）m2+n2 成立，求实数 t 的取值范围【解答】解：（）当 t2 时，不等式 f（x）x+1 即|x2|+|2x3|x+1 当 3 2时，不等式即为（x2）（2x3）x+1 解得：x1，1 3 2 当3 2 2时，不等式即为（x2）+（2x3）x+1 解得：xR，3 2 2 当 x2 时，不等式即为（x2）+（2x3）x+1 解得：x3，2x3 综上所述，得不等式的解集为1，3；第 19 页（共 19 页）（） 3 2，f（x）= 3 + 3 + ， 3 2 3 + ， 3 2 3 3 ，结合图象知函数()= (3 2) = 3 2，故 f（x）的值域为 = 3 2 ，+ )，又 3m+4n5，由柯西不等式得（m2+n2）（32+42）（3m+4n）2 则 m2+n2的值域为 B1，+），依题意得：AB， 3 2 1，故实数 t 的取值范围是5 2 ，+ )

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