1、第 1 页 共 20 页 专题专题 3：三角函数与解三角形：三角函数与解三角形 问题归类篇问题归类篇 类型一：同角三角函数求值类型一：同角三角函数求值 一一前测回顾前测回顾 1(1) 若 sin 5 13，且 为第四象限角，则 tan 的值等于_ 答案： 5 12 （2）已知 tan2，则 sin coscos2 2sin cossin2 ，sin 22sincos2 答案：3 8；2 (3)已知 sincos1 5，(0，)，则 cossin ，tan 答案：7 5； 4 3 解析：sincos1 5，(0，)，且 sin 2cos21，得到 sin4 5，cos 3 5 二、方法联想二、方
2、法联想 1三角函数求值三角函数求值 (1) 知一求其余三角函数值； (2)关于 sin 与 cos 的齐次式，同除 cos或 cos2，如果不是齐次，借助 1sin2cos2 构造齐次 (3)sincos，sincos，sincos 间关系式 注意 根据角的范围确定三角函数值正负无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的 三角函数值)缩小角的范围 三、归类巩固三、归类巩固 *1已知 sin4 5，并且 是第二象限角，则 cos 的值为 (已知三角函数正弦值，求余弦值) 答案：3 5 *2已知 tan3，且 3 2 ，则 cossin （已知三角函数正切值，求正弦、余弦值） sincos
3、 sincos sincos sin 和 cos tan sin2 第 2 页 共 20 页 答案： 10 5 解析：sin cos3 且 sin 2cos21，得到 sin 与 cos 的值 *3若 cos2sin 5，则 tan (构造方程组求解 sin，cos) 答案：2 解析：结合 sin2cos21，得到 sin 与 cos 的值 类型二：三角函数的图像与性质类型二：三角函数的图像与性质 一、一、 前测回顾前测回顾 1 （1） 函数 ysin(2x 3)的定义域为 答案：k 6 ，k 2 3 (kZ) （2） 函数 ysin(2x 6)，x0， 3的值域为 答案：1 2 ，1 （3）
4、已知0，在函数 y2sinx 与 y2cosx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3， 则的值为 答案： 2 （4） 函数 y2cos(3x 3)单调减区间为 答案：2k 3 9， 2k 3 4 9 (kZ) （5）函数 ysin(2x 4) 的对称轴为 ；中心对称点为 答案：xk 2 8(kZ)；( k 2 8，0)(kZ)； 2 （1）函数 y2sin2x 3sinxcosx3cos2x 的值域为 答案：1 2， 5 2 （2）函数 y4sin2x12cosx1，x 6， 2 3 的值域为 答案：13，8 （3）函数 ysinxcosx2sinxcosx2,x 0，的值域为
5、答案：3 4，3 2 （4）函数 ysinx1 cosx1的值域为 答案：0，) 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理； 方法二：导数法处理 第 3 页 共 20 页 3 （1）已知函数 yAsin(2x)的对称轴为 x 6，则 的值为 答案：k 6(kZ) （2）已知函数 ycos(2x)为奇函数，求 的值为 答案：k 2(kZ) 二、二、 方法联想方法联想 1三角函数的定义域三角函数的定义域 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域 2三角函数的值域三角函数的值域 方法 1：转化为 yAsin(x)形式，先求 x 的范围，再根据正弦函数的图象求出值域 如 yasin2xbs
6、inxcosxccos2x 的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为 yAsin(2x)形式求值域 方法 2：利用换元法转化为二次函数值域问题 如如:含有含有 sin2x，cosx(或或 sinx)和和 cos2x，sinx(或或 cosx)形式；含有形式；含有 sinx cosx，sinxcosx： 形如分子、分母含有形如分子、分母含有 sinx，cosx 的一次形式：的一次形式： 方法 1：化为 sin(x)M 形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|1，|cosx|1)求值域 方法 2：导数法 3三角函数对称问题三角函数对称问题 方法：对于函数 yAsin(x)或 yAc
7、os(x) 若 xx0为对称轴f(x0) A 若(x0，0)为中心对称点f(x0)0 推论：对于函数 yAsin(x)或 yAcos(x) 若函数 yf(x)为偶函数f(0) A 若函数 yf(x)为奇函数f(0)0 4求求 f(x)Asin( x )B(A0)的解析式的解析式 方法：待定系数法 步骤： （1）由周期 T2 |得； （2）由 ABymax， ABymin，得， Ay maxymin 2 ， Bymaxymin 2 ， （3）将点代入求(尽量代入最高点或最低点) 三、归类巩固三、归类巩固 第 4 页 共 20 页 *1在同一平面直角坐标系中，函数 ycos( x 2 3 2 )(
8、x0,2)的图象和直线 y 1 2的交点个数 是 答案：2 （利用三角函数图像） 解析：)20)( 2 3 2 cos( ，x x y，得到 ysinx 2，做出图像 *2定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 答案答案7(考查三角函数图像) *3函数 y|sinx|，(x，2)的单调递增区间是 答案：，3 2 ；(考查三角函数的图像和性质) *4 已知函数 f(x)2sin (2x)(|）的部分图象如图所示，则 f(0)_ 答案：1； (考查三角函数的图象) *5将函数 4 2sin2)( xxf的图像向右平移)0(个单位，再将图像上每 一点横坐
9、标缩短到原来的 2 1 倍，所得图像关于直线 4 x对称，则的最小正值为 答案：3 8 (考查三角函数图像变换) *6函数 y2sin( 6x 3)(0x9)的最大值与最小值之差为 答案：2 3；(考查三角函数的最值) *7若函数 f(x)sin(x)(0 2)的图象关于直线 x 6对称，则 答案： 3；(考查三角函数的对称性) *8 若将函数 f(x)sin（2x 4)的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是 _ 答案： 3 8 ； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性) *9函数 f(x)sinx（ 6x 2 3 ）的值域为 答案：1 2，1(考查三角函数值域
10、) *1-设 0x，则函数 sin2 2sin x y x 的最小值为 答案：5 2（考查正弦函数、余弦函数的图象和性质） 解析：令 tsinx（0，1） ，利用 yt 2 2 t的单调性得到最小值 第 5 页 共 20 页 *11 将函数 f(x)sin2x 的图像向右平移(0) 2 个单位后得到函数( )g x的图像，若对满足 12 ( )()2f xg x的 1 x， 2 x，有 12min 3 xx ，则 答案： 12(考查三角函数图像变换，最值) *12若 f(x)2sin x(01)在区间0， 3上的最大值是 2，则 _ 答案：3 4(考查三角函数单调性,最值) *13将函数 f(
11、x)2sin(2x 6)的图象向左平移 m 个单位(m0)，若所得的图象关于直线 x 6对称，则 m 的最小值为 答案： 6；(考查三角函数的图象与对称性) *14已知过原点的直线与函数 y|sin x|(x0)的图像有且只有三个交点， 是交点中横坐标的最大值，则 2sin 2 2 的值为_ 答案：1(考查三角函数图像) 类型三：两角和与差的三角函数类型三：两角和与差的三角函数 一、一、 前测回顾前测回顾 1 0000 10sin160cos10cos20sin= 答案： 1 2 2已知 10 1 )sin(, 2 1 )sin(,则 tana tanb = 答案： 3 2 解析：把两角和与差
12、的正弦公式中的sinacosb,cosasinb分别看成一个整体，通过解方程组，求出 sinacosb和cosasinb，作比，即可求出 tana tanb = 3 2 . 3 0000 37tan23tan337tan23tan 答案：3 第 6 页 共 20 页 解析：因为230+370=600，联想公式tan(230+370)= tan230+tan370 1-tan230tan370 ,逆用两角和正切公式，并进行 变形得：tan230+tan370+ 3tan230tan370= 3 二、二、 方法联想方法联想 如何根据题目中的三角函数结构形式，选择合适的方法来解决问题？ 1. 分析结
13、构：认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点，帮助我们找到变形的方向； 2. 寻找规律：寻求函数名之间、角之间的差别和联系为我们选用正确的方法做好前期准备； 3. 巧用方法：熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法：切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“1”的代换 法等，熟悉角的拆拼、变换的技巧 三、归类巩固三、归类巩固 *1(1+tan220)(1+tan230)= 答案：2 *2已知tan(a+b)=2,tan(a-b)=3,则 sin2a cos2b = 答案： 7 5 解析：观察已知和所求式子的特点，利用2a=(a+b)+(a-b),2b=(a+b)-(a-b),再利用弦化切， 求出
14、sin2a cos2b = tan(a+b)+tan(a-b) 1+tan(a+b)tan(a-b) = 5 7. 类型四：三角恒等变换类型四：三角恒等变换 一、前测回顾一、前测回顾 1已知 cos( 6) 1 3，(0， 2)，则 cos ；sin( 3) ； ，cos(2 6) 答案：1 6（ 32 2） ； 1 3； 1 6（2 2 3） 2已知 cos( 4x) 3 5， 17 12 x7 4 ，则sin2x2sin 2x 1tanx 答案：28 75 二、方法联想二、方法联想 1三角变换基本想法三角变换基本想法 （1）角：观察角的联系，实现角的统一 （2）名：弦切互化，异名化同名 形
15、：公式变形与逆用 幂：平方降幂，根式升幂 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公 式的变形、幂的升降，做出公式的选择 常见的角的变形有： （1）可化为特殊角； （2）可以化为同角； （3）可分析角与角之间的关系，如和， 差，倍等等； （4）可实现条件、结论中角的转化 注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值若在已知范围内不能确定时，利用三角函 第 7 页 共 20 页 数值的正负或大小来缩小角的范围 三、三、 归类巩固归类巩固 *1计算 2sin50 sin80 (1 3tan10 ) 1cos10 答案：2 *2已知 tan( 4)
16、 1 2则 sin2cos2 1cos2 答案：5 6 *3已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ， 均为锐角，则角 _ 答案： 4 *4已知函数 f(x)cos2xcos2(x 3) （1）求 f(x)最小正周期和单调递增区间； （2）求 f(x)在区间 3， 6上的最大值和最小值 解析： （1）f(x) 1cos 2 31cos212 1cos2cos 2 2223 x x xx 1131 1cos2cos2sin21cos 2 22226 xxxx 周期T 单调递增区间： 511 2222 61212 kxkkxk 所以 f x单调递增区间： 511 , 1212 kkkZ （
17、2）, 3 6 x 2, 62 2 x c o s20, 1 6 x 类型五：解三角形类型五：解三角形 一、一、 前测回顾前测回顾 1 （1）在 ABC 中，b 3，B60 ，c1，则 C ；a 答案：30 ；2 （2）在 ABC 中，A1200，a7，bc8，则 b ；c 答案：3 或 5；5 或 3 （3） 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD， AD10， AB14， BDA60， BCD135 ，则 BC 第 8 页 共 20 页 答案：8 2 2 （1）在 ABC 中，acosAbcosB，则 ABC 的形状为 答案：等腰或直角三角形 （2） 在 ABC 中，sinA2cos
18、BsinC，则 ABC 的形状为 答案：等腰三角形 二、方法联想二、方法联想 1解三角形解三角形 （1）三角形的几个关系 角角关系：ABC； 边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角； 边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （2）解三角形方法 三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量； 正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角； 余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边； 其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和 “两解”的问题 2与三角形有关的三角函数问题与三角形有关的三角函数问题 具
19、体做法： （1）ABC 可消元； （2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题； （3）边角转化，利用（1）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 或（2）cosAb 2c2a2 2bc 等进行边角互 化，即边化角或角化边 说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意 三、归类巩固三、归类巩固 *1在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，若 3a2b，则2sin 2Bsin2A sin2A 答案：7 2；(考查正弦定理) *2在 ABC 中，角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，若角 A，B，C 依次成等差数
20、列，且 a1，b 3， ， 则 ABC 的面积为 答案： 3 2 ；(考查正弦定理) *3 在 ABC 中， 内角 A， B， C 的对边依次为 a， b， c， 若 a2c23b， 且 sinB8cosAsinC， 则边 b 答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理) *4钝角 ABC 的面积是1 2，AB1，BC 2 ，则 AC 答案： 5；(考查正、余弦定理) *5 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为 3 15，bc2， cos A1 4，则 a 的值为_ 第 9 页 共 20 页 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积) *6在
21、 ABC 中，B 4，BC 边上的高等于 1 3BC，则 cos A_ 答案： 10 10 (考查解三角形，三角变换) 综合应用篇综合应用篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 设函数 f(x)sin( 4x 6)2cos 2 8x1 （1）求 f(x)的最小正周期； （2）若函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，求当 x0，4 3时 yg(x)的最大值 答案： （1） f(x)的最小正周期为 8； （2）最大值为 3 2 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1求三角函数周期问题，必须先将解析式化为 yA sin(x)B 或 yAcos(x)B
22、 的形式 2求三角函数的最值(值域)问题 因为函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，所以问题可以转化为求 f(x)Asin(x)在 区间2 3，2上的最值 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 1采用展开、降幂等方法“化一”将 f(x)化为 yAsin(x)形式，再使用周期公式 2求三角函数的最值(值域)问题 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多但是 归纳起来常见的有下面三种类型： 化为只含有一个一次的三角函数 yAsin(x)B 或 yAcos(x)B 的形式，根据题中 x 的 范围求出 x 的范围，再确定 sin(x
23、)或 cos(x)的最值(值域)； 借助公式将函数先化为 yf(sinx)型，通过换元法，即令 tsinx，构造关于 t 的函数，并根据 x 的 范围确定 t 的取值范围，再求 f(t)的最值(值域)； 函数表达形式中同时出现 sinxcosx (sinxcosx)与 sinxcosx 时，可以利用(sinxcosx)21 2sinxcosx 或(sinxcosx)212sinxcosx 的关系进行换元，即令 tsinx cosx 2sin(x 4)，转化为 关于 t 的函数，再求 f(t)的最值(值域) 例 2 已知函数 f(x)sin(x)(0，0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（3
24、 4 ，0）对称，且在 区间0， 2上是单调函数 （1）求 的值； （2）求 的值 答案：(1) 2；(2) 2 3或 2 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 第 10 页 共 20 页 1三角函数图象轴对称问题 函数 f(x)sin(x)(0，0)是 R 上的偶函数，说明 f(x)的图象关于 y 轴对称 2三角函数图象中心对称问题 函数 f(x)sin(x)(0，0)图象关于点 M（3 4 ，0）对称 方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 1从 f(x)为偶函数很容易得到 f(0)sin 1，从而有 k 2(kZ) 常用的结论有： 若 yA sin(x)为
25、偶函数，则有 k 2(kZ)；若为奇函数则有 k (kZ)； 若 yA cos(x)为偶函数，则有 k (kZ)；若为奇函数则有 k 2(kZ)； 若 yA tan(x)为奇函数则有 k (kZ) 这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆 2从 f（3 4 ）0，可以得到 cos3 4 0，于是3 4 k 2， 4 3k 2 3(kZ)再结合函数的单调性 推导出 的值； 3对于 yA sin(x)和 yA cos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系； yA sin(x)的图象有无穷多条对称轴，可由方程 xk 2(kZ)解出；它还有无穷多个 对称中心，它们是图象与 x 轴的交点，可
26、由 xk (kZ)解出 4对于 yA sin(x)和 yA cos(x)来说，相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的 距离也为T 2，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 例 3已知向量 a(2sin(x2 3 )，2)，b(2cosx，0)(0)，函数 f(x)a b 的图象与直线 y2 3的 相邻两个交点之间的距离为 来源:Com （1）求函数 f(x)在0，2上的单调递增区间； （2）将函数 f(x)的图象向右平移 12个单位，得到函数 yg(x)的图象若 yg(x)在0，b上至少含有 10 个 零点，求正数 b 的最小值 答案： （1）f(x)2cos(2x 6) 3，单
27、调递增区间为 5 12， 11 12 和17 12 ，23 12 ； （2）g(x)2cos2x 3，令 g(x)0，得 xk5 12或 xk 7 12(kZ)，则 g(x)在每个周期上有两个 零点，所以 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即，b 的最小值为 47 12 55 12 【教学建议】【教学建议】 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1求三角函数单调区间问题，先将解析式化为 yA sin(x)B 或 yAcos(x)B 的形式， 具体步骤为：将 化为正；将 x 成一个整体，由三角函数的单调性求解 2三角函数的周期与零点问题，先求出 g(x)在每个周期上的零点个数，
28、再确定区间端点的最小值 第 11 页 共 20 页 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 1解决三角函数单调性问题时务必注意避免以下错误： 没有化为正数； 存在多个单调区间时错用“”联结； 遗漏“kZ”； 求解三角函数的单调区间时忘记考虑函数自身的定义域 2首先要注意到函数的最小正周期为，确定函数在每个周期内的的零点个数，这里容易将 b 的最 小值错求为第五个周期的终点 例 4 已知 a(1，sin)，b(sin(+2)，2)，ab0 （1）若 sin3 5， 是钝角，求 tan 的值； （2）求证：tan(+)3tan 解答：a(1，sin)，b(sin(+2)，2)，ab0，
29、所以 sin(+2)2 sin0 （1）24 43； （2）因为 sin(+2)2 sin，即 sin(+)+2sin(+) 得 sin(+)cos+ cos (+)sin2sin(+)coscos(+)sin 移项得 sin(+)cos3 cos(+)sin， 等式两边同时除以 cos(+)cos 得 tan(+)3tan 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路； 2变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 1三角函数的求
30、值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解 方程） 2三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转 化 例 5：已知a,b(0,p),且tana=2,cosb=- 7 2 10 （1）求cos2a的值； （2）求2a-b的值 解 （1）cos2a=- 3 5 （2）2a-b=- p 4 解析：cos2a=cos 2a -sin2a= cos2a-sin2a cos2a+sin2a = 2-tan2a 1+tan2a ， 第 12 页 共 20 页 因为tana=2,所以cos2a=- 3 5 （2）因为a(0,p)，且t
31、ana=2,所以a(0, p 2 ) 又cos2a=- 3 5 ，2a(p 2 ,p),sin2a= 4 5 ， 因为b(0,p)，cosb=- 7 2 10 所以 10 2 sin,b(p 2 ,p)， 所以sin(2a-b)=sin2acosb-cos2asinb=- 2 2 又2a-b(- p 2 , p 2 )， 2a-b=- p 4 教学建议教学建议 （1)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 问题 1、cos2cos2sin22cos2112sin2 问题2、由于cos2cos2sin2， 这可以化为 tan 的齐次式 方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 对于问题 1，选
32、择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从 (0，)，tan2 求cos、sin 时要注 意判断它们的符号 对于问题2，cos2cos2sin2cos 2sin2 sin2cos2 1tan2 tan21，处理起来更加便捷 （2)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 求角的问题 求角就需要选择一个关于 2 的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三 角函数值可以求另外，2 的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角 函数 方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 通过推理，我们得到 2( 2， 2)，所以可以选择计算 sin(2)值，也可以选择计算 t
33、an(2)的 值，但不宜选择计算 cos(2)，因为在( 2， 2)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不 单调的 例 6：在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cosA2cosC cosB 2ca b （1）求sinC sinA的值； （2）若 cosB1 4， ABC 的周长为 5，求 b 的大小 第 13 页 共 20 页 答案： （1）sinC sinA2； （2） b2 教学建议教学建议 （1）主要问题归类与方法：）主要问题归类与方法： 1边角互化问题，方法有： 利用 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 将边化为角； 利用 cosAb
34、 2c2a2 2bc 等将余弦化为边； ccosBbcosCa 等化角为边 2求边长问题，方法有：利用正弦定理求边； 利用余弦定理求边 （2）方法选择与优化建议：）方法选择与优化建议： 1对于等式cosA2cosC cosB 2ca b 的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出 sinC2sinA； 如果利用 cosAb 2c2a2 2bc 等将等式cosA2cosC cosB 2ca b 的左边余弦化为边来做，运算量较大， 所以不选择方法 由于等式cosA2cosC cosB 2ca b 可以化为 bcosAacosB2(bcosCccosB)，即 c2a，所以也可以选 择方法 2因为从第
35、一问已经可以得到 c2a，又 abc5，所以三边可以转化为只含有一个未知量 b，利用减 元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法的余弦定理解决问题比较方便 例 7：已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，若满足 3tanAtanBtanAtanB 3 （1）求C 的大小； （2）若 c2，且 ABC 为锐角三角形，求 a2b2的取值范围 答案： （1） 3； （2）( 20 3 ，8) 教学建议教学建议 （1)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 1求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数 2求代数式的范围问题利用函数的知识，转化为求函数值域 （2)
36、方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 1由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小； 三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件 ABC 2利用正弦定理将 a2b2表示为角 A 或角 B 的三角函数关系式，并将之变形整理为 f(x)Asin(x )B 的形式求范围 本题中需注意的是“ ABC 为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在 例 8：如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种 是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C现有甲、乙两位游客
37、从 A 处下山，甲沿 AC 匀速 步行，速度为 50 m/min在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步 行到 C 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min， 山路 AC 长为 1260 m， 经测量 cos A12 13， cos C 3 5 (1)求索道 AB 的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 第 14 页 共 20 页 (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案：(1) AB 的长为 1 040 m ； (2)当 t35 37 min 时
38、，甲、乙两游客距离最短 (3)乙步行的速度应控制在 1 250 43 ，625 14 (单位：m/min)范围内 教学建议教学建议 （1)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 1求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求 sin B，再利用正弦定理求边长 AB 2余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题 方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间 t 的函数 3解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求 BC，将两位游客互相等待的时间不超过 3 分钟 用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围 （2)方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 1已知两角一边或两边
39、和一边对角利用正弦定理解三角形 注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断 2已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边 3求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、 术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解 的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而 正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答 二、巩固练习二、巩固练习 *1函数xxxycos)cos(sin的最小正周期为 答案：(考查三角函数周期) *2函数 f(x)cos 2xcos 2
40、(x1)的最小正周期为 答案：2；(考查三角函数的周期性) *3若 tan3 4 ，则 cos 22sin2 答案：64 25 （已知三角函数正切值，求二次齐次式值） （已知三角函数正切值，求二次齐次式值） 解析：根据正切，求正余弦；或者添分母 1sin2cos2 构造齐次分式 *4已知 是第三象限角，且 sin2cos2 5，则 sincos 答案：31 25(构造方程组求解 sin，cos) 解析：构造方程组，求解 sin，cos *5函数 f(x)sin(2x 6)cos(2x 3)的最小正周期和最大值分别为_和_ 答案：；3(考查两角和差的正余弦公式) 第 15 页 共 20 页 *6
41、已知函数sin3cosyxx，且, 6 x ，则函数的值域是_ 答案：3,2 (考查三角函数单调性) *7函数 f(x)sin(2x 6)cos(2x 3)的最小正周期和最大值分别为_和_ 答案：； 3（考查两角和差的正余弦公式和三角函数的最值） 解析：展开后得到 y 3sin2x *8函数 f(x)cos(2x3 4 )2 2sin2x 的最小正周期为 答案：（考查两角和差的余弦公式和降幂公式） 解析：展开并利用降幂公式，得到 ysin（2x 4） 2 *9若动直线 xa(aR)与函数 f(x) 3sin(x 6)，g(x)cos(x 6)的图象分别交于 M，N 两点，则 MN 长的最大值为 答案：2；(考查两角和差的正余弦公式，三角函数的最值) *10若 sin sin 1 3 2 ，cos cos 1 2，则 cos()的值为_ 答案： 3 2 (考查两角和与差的三角函数) *11 17cos 30cos17sin47sin 的值是 ； 答案： 2 1 (考查两角和与差的三角函数) *12 设) 2 , 0(), 2 , 0( ，且 cos sin1 tan ，则2 ； 答案： 2 (考查弦切互化) *13在ABC中,内角CBA,所对的边分别是.,cba若 3 , 6)( 22 Cbac,则ABC的面积 是 ； 答案： 2 33 (考查正,余弦定理) *14已知 ，
