1、 第 1 页（共 27 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分） 运用图腾解释神话、 民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象 下列图腾中， 不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （2 分）在下列几何体中，从正面看到为三角形的是（ ） A B C D 3 （2 分）如图，数轴上有 A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数） ，且 3ABBC 2CD若 A、D 两点所表示的数分别是6 和 5，则线段 AC 的中点所表示的数是（ ） A3 B2
2、C1 D+1 4 （2 分）已知正多边形的一个外角为 36，则该正多边形的边数为（ ） A12 B10 C8 D6 5 （2 分）港珠澳大桥 2018 年 10 月 24 日上午 9 时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接 香港，西接广东珠海和澳门，总长约 55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海 大桥，数据 55000 用科学记数法表示为（ ） A5.5105 B55104 C5.5104 D5.5106 6 （2 分）化简 + 22的结果是（ ） A 1 B 1 Cab Dba 7 （2 分）如图，ABC 内接于O，ABBC，ABC120，则ADB 的度数为（ ） 第 2 页（共
3、27 页） A15 B30 C45 D60 8 （2 分）某商店根据今年 610 月份的销售额情况，制作了如下统计图根据图中信息， 可以判断相邻两个月销售额变化最大的是（ ） A6 月到 7 月 B7 月到 8 月 C8 月到 9 月 D9 月到 10 月 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）若分式 1 22+不论 x 取任何实数总有意义，则 m 的取值范围是 10 （2 分）说明命题“如果 a、b、c 是ABC 的三边，那么长为 a1、b1、c1 的三条 线段能构成三角形”是假命题的反例可以是 a2，b2，c 11 （2
4、 分）如图所示，在ABC 中，AB5cm，AC13cm，BC 边上的中线 AD6cm，那 么边 BC 的长为 cm 12 （2 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，O 经过点 A，C，D，与 BC 交于点 E， 连接 AE，若D70，则BAE 第 3 页（共 27 页） 13 （2 分）如图，正方形 ABCD 位于第一象限，边长为 3，点 A 在直线 yx 上，点 A 的横 坐标为 1，正方形 ABCD 的边分别平行于 x 轴、y 轴若双曲线 y= 与正方形 ABCD 有公 共点，则 k 的取值范围为 14 （2 分）在一个不透明的袋子中放有 a 个球，其中有 6 个白球，这些球除颜色外
5、完全相 同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验 后，发现摸到白球的频率稳定在 0.25 左右，则 a 的值约为 15 （2 分）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺起源于战国时期，在漆器表面， 用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底描金工作分为两道 工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲、乙两位工匠要完成 A，B，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单 位：小时）如下： 原料 时间 工序 原料 A 原料 B 原料 C 上漆 10 16 13 描绘花纹 15 8 12 则完成这三件原料
6、的描金工作最少需要 小时 16 （2 分）工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共 1000 件产品中随机抽取 50 件进行检检测出次品 1 件，由此估计这一批产品中的次品件数是 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 第 4 页（共 27 页） 17 （5 分）计算： （1 2） 29+（3 4）02cos45 18 （5 分）解不等式组： 1 2 + 2 0， 1 +5 2 1 并将解集在数轴上表示 19 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 20
7、 （5 分）已知：在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，分别过点 A 和点 C 作 BC、AD 边的平行线交于点 E （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）连结 BE，若 cosABD= 1 2，AD23，求 BE 的长 21 （5 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校 组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 400 名学生进入综合素质展开 环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中 分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、 描述和分析，下面给出
8、了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40x50，50x60，60 x70，70x80，80x90，90x100） 第 5 页（共 27 页） b甲学校学生成绩在 80x90 这一组是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校学生 A，乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生 中综合素质展示排
9、名更靠前的是 （填“A”或“B” ） ； （2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少 从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数 至少达到 分的学生才可以入选 22 （5 分）甲、乙、丙、丁四个人共有三个姓甲说： “我和你们三人都不同姓 ”乙说： “我 和丙、丁也不同姓 ”那么，甲、乙、丙、丁四个人中，哪两个人同姓呢？你是怎样推断 的？ 23 （6 分）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y= （k 为常数且 k0）的图象交 于 A（1，a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1
10、）求 a，k 的值及点 B 的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP= 3 2SBOC，直接写出点 P 的坐标 24 （6 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为 BC 的中点，连接 OD 并延长，交弧 BC 于点 E，F 为 OD 延长线上一点且满足OFCABC （1）试判断 CF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若ABC30，求 sinDAO 的值 第 6 页（共 27 页） 25 （6 分） 如图 1， AB 为O 的直径， C 为O 上一点， 连接 CB， 过 C 作 CDAB 于点 D， 过点 C 作BCE，使BCEBCD，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E
11、 （1）求证：CE 是O 的切线 （2）如图 2，点 F 在O 上，且满足FCE2ABC，连接 AF 井延长交 EC 的延长线 于点 G 试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系； 若 CD4，BD2，求线段 FG 的长 26 （6 分）已知抛物线 yx2+（5m）x+6m （1）求证：该抛物线与 x 轴总有交点； （2）若该抛物线与 x 轴有一个交点的横坐标大于 3 且小于 5，求 m 的取值范围； （3）设抛物线 yx2+（5m）x+6m 与 y 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点 关于直线 yx 的对称点恰好是点 M，求 m 的值 27 （7 分）如图，在ABC 中，ACB
12、90，ABC30，CDE 是等边三角形，点 D 在边 AB 上 （1）如图 1，当点 E 在边 BC 上时，求证 DEEB； （2）如图 2，当点 E 在ABC 内部时，猜想 ED 和 EB 数量关系，并加以证明； 第 7 页（共 27 页） （3）如图 3，当点 E 在ABC 外部时，EHAB 于点 H，过点 E 作 GEAB，交线段 AC 的延长线于点 G，AG5CG，BH3求 CG 的长 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上， 称线段 PQ 长度的最小值为图形 M， N 的密距， 记为 d （M， N） ， 特别地，
13、 若图形 M， N 有公共点，规定 d（M，N）0 （1）如图 1的半径为 2， 点 A（0，1） ，B（4，3） ，则 d（A，O） ，d（B，O） ； 已知直线 L：y= 3 4x+b 与O 的密距 d（L，O）= 6 5求 b 的值； （2）如图 2，C 为 x 轴正半轴上一点，C 的半径为 1，直线 y= 3 3 x+ 43 3 与 x 轴交于 点 D，与 y 轴交于点 E，直线 DE 与C 的密距 d（DE，C） 1 2，请直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围 第 8 页（共 27 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考
14、答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分） 运用图腾解释神话、 民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象 下列图腾中， 不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，故不合题意； B、是轴对称图形，故不合题意； C、不是轴对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，故不合题意 故选：C 2 （2 分）在下列几何体中，从正面看到为三角形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、圆柱的主视图是长方形，故本选项不合题意； B、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不合题意； C、正方体的主视图是正方
15、形，故本选项不合题意； D、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； 故选：D 3 （2 分）如图，数轴上有 A、B、C、D 四个整数点（即各点均表示整数） ，且 3ABBC 2CD若 A、D 两点所表示的数分别是6 和 5，则线段 AC 的中点所表示的数是（ ） A3 B2 C1 D+1 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：A、D 两点所表示的数分别是6 和 5， AD11， 3ABBC2CD， 11 2 AB11， AB2， BC6，CD3， AC8， C 点表示的数是 2， AC 的中点表示的数是2， 故选：B 4 （2 分）已知正多边形的一个外角为 36，则该正多边形的边数为（ ）
16、 A12 B10 C8 D6 【解答】解：3603610，所以这个正多边形是正十边形 故选：B 5 （2 分）港珠澳大桥 2018 年 10 月 24 日上午 9 时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接 香港，西接广东珠海和澳门，总长约 55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海 大桥，数据 55000 用科学记数法表示为（ ） A5.5105 B55104 C5.5104 D5.5106 【解答】解：550005.5104， 故选：C 6 （2 分）化简 + 22的结果是（ ） A 1 B 1 Cab Dba 【解答】解：原式= + (+)() = 1 故选：B 7 （2 分）如图，A
17、BC 内接于O，ABBC，ABC120，则ADB 的度数为（ ） 第 10 页（共 27 页） A15 B30 C45 D60 【解答】解：ABBC，ABC120， CBAC30， ADBC30， 故选：B 8 （2 分）某商店根据今年 610 月份的销售额情况，制作了如下统计图根据图中信息， 可以判断相邻两个月销售额变化最大的是（ ） A6 月到 7 月 B7 月到 8 月 C8 月到 9 月 D9 月到 10 月 【解答】解：6 月到 7 月，营业额增加 402515 万元， 7 月到 8 月，营业额增加 48408 万元， 8 月到 9 月，营业额减少 483216 万元， 9 月到 1
18、0 月，营业额增加 433211 万元， 因此营业额变化最大的是 8 月到 9 月， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）若分式 1 22+不论 x 取任何实数总有意义，则 m 的取值范围是 m1 【解答】解：由题意得 x22x+m0， 第 11 页（共 27 页） x22x+1+m10， （x1）2+（m1）0， （x1）20， m10， m1 时，分式 1 22+不论 x 取任何实数总有意义 故 m 的取值范围是：m1 10 （2 分）说明命题“如果 a、b、c 是ABC 的三边，那么长为 a1、b1、c1
19、的三条 线段能构成三角形”是假命题的反例可以是 a2，b2，c 3（答案不唯一） 【解答】解：当 a2，b2，c3 时，a11，b11，c12，此时：1+12， 所以不能构成三角形， 故答案为：3（答案不唯一） 11 （2 分）如图所示，在ABC 中，AB5cm，AC13cm，BC 边上的中线 AD6cm，那 么边 BC 的长为 261 cm 【解答】解：延长 AD 到 E，使 DEAD6，连接 CE， BDCD，ADBCDE， ABDECD， CEAB5， AC2AE2+CE2即 132122+52， AEC 为直角三角形，即E90， DEC 为直角三角形， CD= 2+ 2= 61，BC2
20、CD261（cm） ，故填261 12 （2 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，O 经过点 A，C，D，与 BC 交于点 E， 连接 AE，若D70，则BAE 40 第 12 页（共 27 页） 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，D70， DCB（180D）110， 四边形 AECD 是圆内接四边形， AEBD70，B180BCD70 BAE180707040， 故答案为：40 13 （2 分）如图，正方形 ABCD 位于第一象限，边长为 3，点 A 在直线 yx 上，点 A 的横 坐标为 1，正方形 ABCD 的边分别平行于 x 轴、y 轴若双曲线 y= 与正方形 ABCD
21、 有公 共点，则 k 的取值范围为 1k16 【解答】解：点 A 在直线 yx 上，点 A 的横坐标为 1， A（1，1） ， 边长为 3 的正方形 ABCD 的边分别平行于 x 轴、y 轴， C 点坐标为（4，4） ， 当双曲线 y= 经过 A 点时，k 的值最小，此时 k111； 当双曲线 y= 经过 C 点时，k 的值最大，此时 k4416； k 的取值范围为 1k16 故答案为 1k16 14 （2 分）在一个不透明的袋子中放有 a 个球，其中有 6 个白球，这些球除颜色外完全相 同，若每次把球充分搅匀后，任意摸出一一球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验 后，发现摸到白球的频率稳定在
22、0.25 左右，则 a 的值约为 24 第 13 页（共 27 页） 【解答】解：根据题意得6 =0.25， 解得：a24， 经检验：a24 是分式方程的解， 故答案为：24 15 （2 分）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺起源于战国时期，在漆器表面， 用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底描金工作分为两道 工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲、乙两位工匠要完成 A，B，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单 位：小时）如下： 原料 时间 工序 原料 A 原料 B 原料 C 上漆 10 16 13 描绘花纹 15
23、 8 12 则完成这三件原料的描金工作最少需要 47 小时 【解答】解：甲按 A、C、B 的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要 10+13+16+8 47， 故答案为：47 16 （2 分）工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共 1000 件产品中随机抽取 50 件进行检检测出次品 1 件，由此估计这一批产品中的次品件数是 20 【解答】解：1000 1 50 =20（件） ， 故答案为：20 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）计算： （1 2） 29+（3 4）02cos45 【解答】解：原式43+12 2 2 21 1 第 1
24、4 页（共 27 页） 18 （5 分）解不等式组： 1 2 + 2 0， 1 +5 2 1 并将解集在数轴上表示 【解答】解： 1 2 + 2 0 1 +5 2 1 ， 解得 x4， 解得 x1， 所以不等式组的解集为4x1， 用数轴表示为 19 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根， 0，即（3）24（a2）0，解得 a 17 4 ； （2）由（1）可知 a 17 4 ， a 的最大整数值为 4， 此时方程为
25、x23x+20， 解得 x1 或 x2 20 （5 分）已知：在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，分别过点 A 和点 C 作 BC、AD 边的平行线交于点 E （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）连结 BE，若 cosABD= 1 2，AD23，求 BE 的长 第 15 页（共 27 页） 【解答】 （1）证明：AEBC，CEAD， 四边形 ADCE 是平行四边形， ADBC， ADC90， 平行四边形 ADCE 是矩形； （2）解：在 RtABD 中，ADB90 cosABD= 1 2， = 1 2， 设 BDx，AB2x AD= 3x， AD23， x2 BD2， ABA
26、C，ADBC， BC2BD4 矩形 ADCE 中，ECAD23， BE27 21 （5 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校 组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 400 名学生进入综合素质展开 环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中 第 16 页（共 27 页） 分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、 描述和分析，下面给出了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40x50，50x60，60 x70，70x80，80x90，
27、90x100） b甲学校学生成绩在 80x90 这一组是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校学生 A，乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生 中综合素质展示排名更靠前的是 A （填“A”或“B” ） ； （2）根据上述信息，推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水平 更高，理由为 与甲校相比，乙校的
28、中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更 多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至少 从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数 至少达到 88.5 分的学生才可以入选 【解答】解： （1）甲学校学生成绩的中位数为81+81.5 2 =81.25， 乙学校学生成绩的中位数为 84， 故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A， 第 17 页（共 27 页） 故答案为：A； （2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校 的中位数更高，说明乙
29、校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更 高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多； 故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同 学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （3）120 400 5015， 故甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选， 故答案为：88.5 22 （5 分）甲、乙、丙、丁四个人共有三个姓甲说： “我和你们三人都不同姓 ”乙说： “我 和丙、丁也不同姓 ”那么，甲、乙、丙、丁四个人中，哪两个人同姓呢？你是怎样推断 的？ 【解答】解：由甲说： “我和你们三人都不同姓 ”可得甲自己一
30、个姓； 乙说： “我和丙、丁也不同姓 ”可得乙自己一个姓； 因为甲、乙、丙、丁四个人共有三个姓，所以丙、丁同姓， 综合可得甲一个姓，乙一个姓，丙、丁同姓 23 （6 分）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y= （k 为常数且 k0）的图象交 于 A（1，a） ，B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求 a，k 的值及点 B 的坐标； （2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP= 3 2SBOC，直接写出点 P 的坐标 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入 yx+4，得 a3， A（1，3） 把 A（1，3）代入反比例函数 y= k3； 第 18 页（共 27 页） 反比例函数
31、的表达式为 y= 3 联立两个函数的表达式得 = + 4 = 3 解得 = 1 = 3 或 = 3 = 1 点 B 的坐标为 B（3，1） ； （2）当 yx+40 时，得 x4 点 C（4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） SACP= 3 2SBOC， 1 2 3|x+4|= 3 2 1 2 41 解得 x16，x22 点 P（6，0）或（2，0） 24 （6 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为 BC 的中点，连接 OD 并延长，交弧 BC 于点 E，F 为 OD 延长线上一点且满足OFCABC （1）试判断 CF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若ABC30，求 sinDA
32、O 的值 【解答】解： （1）结论：CF 是O 的切线 理由：连接 CO D 为 BC 的中点，且 OBOC， ODBC， OBOC， OBCOCB， 又OBCOFC， OCBOFC， 第 19 页（共 27 页） ODBC， DCF+OFC90 DCF+OCB90即 OCCF， CF 为O 的切线 （2）设O 的半径为 r作 DHAB 于 H ODBC 且ABC30， OD= 1 2OB= 1 2r， 在 RtODH 中，DOH60，OD= 1 2r DH= 3 4 r，OH= 1 4r， 在 RtDAH 中，AHAO+OH= 5 4r， 由勾股定理：AD= 2+ 2=( 3 4 )2+ (
33、5 4) 2 = 7 2 r sinDAO= = 3 4 7 2 = 21 14 25 （6 分） 如图 1， AB 为O 的直径， C 为O 上一点， 连接 CB， 过 C 作 CDAB 于点 D， 过点 C 作BCE，使BCEBCD，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线 （2）如图 2，点 F 在O 上，且满足FCE2ABC，连接 AF 井延长交 EC 的延长线 于点 G 试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系； 若 CD4，BD2，求线段 FG 的长 第 20 页（共 27 页） 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OC， OBOC， OBCO
34、CB， CDAB， OBC+BCD90， BCEBCD， OCB+BCE90，即 OCCE， CE 是O 的切线； （2）解：线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系是：CF2CD， 理由如下： 如图 2，过 O 作 OHCF 于点 H， CF2CH， FCE2ABC2OCB，且BCDBCE， OCHOCD， OC 为公共边， COHCOD（AAS） ， CHCD， CF2CD； CD4，BD2， BC= 2+ 2=25，由得：CF2CD8， 设 OCOBx，则 ODx2， 在 RtODC 中，OC2OD2+CD2， x2（x2）2+42， 解得：x5，即 OB5， 第 21 页（共 27 页
35、） OCGE， OCF+FCG90， OCD+COD90，FCOOCD， GCFCOB， 四边形 ABCF 为O 的内接四边形， GFCABC， GFCCBO， = ， 25 = 8 5， FG= 165 5 26 （6 分）已知抛物线 yx2+（5m）x+6m （1）求证：该抛物线与 x 轴总有交点； （2）若该抛物线与 x 轴有一个交点的横坐标大于 3 且小于 5，求 m 的取值范围； （3）设抛物线 yx2+（5m）x+6m 与 y 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点 关于直线 yx 的对称点恰好是点 M，求 m 的值 【解答】 （1）证明：（5m）24（1） （6m）m214m
36、+49（m7）2 0， 该抛物线与 x 轴总有交点； （2）解：由（1）（m7）2，根据求根公式可知， 第 22 页（共 27 页） 方程的两根为： = 5(7)2 2 ， 即 x11，x2m+6， 由题意，有 3m+65， 1m3； （3）解：令 x0，ym+6， M（0，m+6） ， 由（2）可知抛物线与 x 轴的交点为（1，0）和（m+6，0） ， 它们关于直线 yx 的对称点分别为（0，1）和（0，m6） ， 由题意，可得：m+61 或m+6m6， m5 或 m6 27 （7 分）如图，在ABC 中，ACB90，ABC30，CDE 是等边三角形，点 D 在边 AB 上 （1）如图 1，
37、当点 E 在边 BC 上时，求证 DEEB； （2）如图 2，当点 E 在ABC 内部时，猜想 ED 和 EB 数量关系，并加以证明； （3）如图 3，当点 E 在ABC 外部时，EHAB 于点 H，过点 E 作 GEAB，交线段 AC 的延长线于点 G，AG5CG，BH3求 CG 的长 【解答】 （1）证明：CDE 是等边三角形， CED60， EDB60B30， EDBB， DEEB； （2）解：EDEB， 理由如下：取 AB 的中点 O，连接 CO、EO， ACB90，ABC30， A60，OCOA， 第 23 页（共 27 页） ACO 为等边三角形， CACO， CDE 是等边三角形
38、， ACDOCE， 在ACD 和OCE 中， = = = ， ACDOCE， COEA60， BOE60， 在COE 和BOE 中， = = = ， COEBOE， ECEB， EDEB； （3）取 AB 的中点 O，连接 CO、EO、EB， 由（2）得ACDOCE， COEA60， BOE60， COEBOE， ECEB， EDEB， EHAB， DHBH3， GEAB， G180A120， 在CEG 和DCO 中， 第 24 页（共 27 页） = = = ， CEGDCO， CGOD， 设 CGa，则 AG5a，ODa， ACOC4a， OCOB， 4aa+3+3， 解得，a2， 即 C
39、G2 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上， 称线段 PQ 长度的最小值为图形 M， N 的密距， 记为 d （M， N） ， 特别地， 若图形 M， N 有公共点，规定 d（M，N）0 （1）如图 1的半径为 2， 点 A（0，1） ，B（4，3） ，则 d（A，O） 1 ，d（B，O） 3 ； 已知直线 L：y= 3 4x+b 与O 的密距 d（L，O）= 6 5求 b 的值； （2）如图 2，C 为 x 轴正半轴上一点，C 的半径为 1，直线 y= 3 3 x+ 43 3 与 x 轴交于 点 D，与 y 轴交于点 E
40、，直线 DE 与C 的密距 d（DE，C） 1 2，请直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围 第 25 页（共 27 页） 【解答】解： （1）连接 OB，过点 B 作 BTx 轴于 T，如图 1， O 的半径为 2，点 A（0，1） ， d（A，O）211 B（4，3） ， OB= 42+ 32=5， d（B，O）523 故答案为 1，3； 设直线 l：y= 3 4 + 与 x 轴、y 轴分别交于点 P、Q，过点 O 作 OHPQ 于 H，设 OH 与O 交于点 G，如图 1， 第 26 页（共 27 页） P（ 4 3b，0） ，Q（0，b） ， OP= 4 3|b|，OQ|b|， P
41、Q= 5 3|b| SOPQ= 1 2OPOQ= 1 2PQOH， OH= = 4 5|b| 直线 l：y= 3 4 + 与O 的密距 d（l，O）= 6 5， 4 5|b|2+ 6 5 = 16 5 ， b4； （2）过点 C 作 CNDE 于 N，如图 2 点 D、E 分别是直线 y= 3 3 + 43 3 与 x 轴、y 轴的交点， 第 27 页（共 27 页） D（4，0） ，E（0，43 3 ） ， OD4，OE= 43 3 ， tanODE= = 3 3 ， ODE30 当点 C 在点 D 左边时，m4 OCm， CD4m， CNCDsinCDN= 1 2（4m）2 1 2m 线段 DE 与C 的密距 d（DE，C） 1 2， 02 1 2m 1 2 +1， 1m4； 当点 C 与点 D 重合时，m4 此时 d（DE，C）0 当点 C 在点 D 的右边时，m4 线段 DE 与C 的密距 d（DE，C） 1 2， 1 2CD1 1 2， 1 2（m4） 1 2 +1， m7 4m7 综上所述：1m7
