1、栏目索引高考导航微专题微专题13 13 数列中的探索性问题数列中的探索性问题栏目索引高考导航核心题型突破微专题13数列中的探索性问题题型一新定义数列的探究型问题题型一新定义数列的探究型问题例例1(2018江苏扬州高三模拟)已知数列an中,a1=1,前n项和为Sn,若对任意的nN*,均有Sn=an+k-k(k是常数,且kN*)成立,则称数列an为“H(k)数列”.(1)若数列an为“H(1)数列”,求数列an的前n项和Sn;(2)若数列an为“H(2)数列”,且a2为整数,试问:是否存在数列an,使得|-an-1an+1|40对任意n2,nN*成立?如果存在,求出这样数列an的a2的所有可能值,
2、如果不存在,请说明理由.2na栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)因为数列an为“H(1)数列”,所以Sn=an+1-1,故Sn-1=an-1(n2),两式相减得an+1=2an(n2),在Sn=an+1-1中令n=1,则可得a2=2,故a2=2a1.所以=2(nN*),所以数列an为等比数列,所以an=2n-1,所以Sn=2n-1.1nnaa栏目索引高考导航核心题型突破(2)由题意得Sn=an+2-2,故Sn-1=an+1-2(n2),两式相减得an+2=an+1+an(n2),所以,当n2时,-anan+2=-an(an+1+an)=an+1(an+1-an)-,又因为an+1-an
3、=an-1(n3),所以-anan+2=an+1(an+1-an)-=an+1an-1-,所以|-anan+2|=|-an+1an-1|(n3),所以当n3时,数列|-an+1an-1|是常数列,所以|-an+1an-1|=|-a2a4|(n3),因为a4=a3+a2,所以|-an+1an-1|=|-a2a3-|(n3).21na21na2na21na2na2na21na2na2na2na23a2na23a22a栏目索引高考导航核心题型突破在Sn=an+2-2中令n=1,则可得a3=3,所以|9-3a2-|40,又n=2时|-a1a3|=|-3|40,且a2为整数,所以可解得a2=0,1,2,
4、3,4,5,-6.22a22a22a【方法归纳】对于新定义数列中的探究性问题,读懂、理解新数列的定义是重点.一般而言,这类题目考查的难点已在新定义中体现,后续反而不会太难,但需要具备举一反三的能力,结合原有数列知识去探求出题目所要求的条件,大胆尝试、总结.栏目索引高考导航核心题型突破1-1(2018泰州中学高三检测)数列an对于确定的正整数m,若存在正整数n使得am+n=am+an成立,则称数列an为“m阶可分拆数列”.(1)设an是首项为2,公差为2的等差数列,证明an为“3阶可分拆数列”;(2)设数列an的前n项和为Sn=2n-a(a0),若数列an为“1阶可分拆数列”,求实数a的值;(3
5、)设an=2n+n2+12,试探求是否存在m使得若数列an为“m阶可分拆数列”.若存在,请求出所有m;若不存在,请说明理由.栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)证明:an=2+2(n-1)=2n,a3=6,则a3+n=2(3+n)=6+2n=a3+an.an为“3阶可分拆数列”.(2)Sn=2n-a(a0),a1=S1=2-a,n2时,an=Sn-Sn-1=2n-a-(2n-1-a)=2n-1.数列an为“1阶可分拆数列”,栏目索引高考导航核心题型突破an+1=a1+an,2n=2-a+2n-1,a=2-2n-1.令n=1时,a=1.(3)假设数列an为“m阶可分拆数列”.则am+n=a
6、m+an成立,2n+m+(n+m)2+12=2m+m2+12+2n+n2+12,化为2n+m+2mn=2m+2n+12,(2m-1)(2n-1)+2mn=13.可得:m=1,n=3;m=2,n不存在;m=3,n=1;m4时n不存在.只有两组:m=1,n=3;m=3,n=1.栏目索引高考导航核心题型突破题型二探究数列中是否存在满足条件的项的问题题型二探究数列中是否存在满足条件的项的问题例例2(2018扬州高三考前调研)已知无穷数列an的各项都不为零,其前n项和为Sn,且满足anan+1=Sn(nN*),数列bn满足bn=,其中t为正整数.(1)求a2018;(2)若不等式+Sn+Sn+1对任意n
7、N*都成立,求首项a1的取值范围;(3)若首项a1是正整数,则数列bn中的任意一项是否总可以表示为数列bn中的其他两项之积?若是,请给出一种表示方式;若不是,请说明理由.nnaat2na21na栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)令n=1,则a1a2=S1,即a1a2=a1,又a10,故a2=1.由anan+1=Sn,得an+1an+2=Sn+1,两式相减得(an+2-an)an+1=an+1,又an+10,故an+2-an=1.所以数列a2n是首项为1、公差为1的等差数列.所以a2018=a2+1=1009.(2)由(1)知,数列a2n是首项为1,公差为1的等差数列;数列a2n-1是首
8、项为a1,公差为1的等差数列,故an=201812111111,22,2nnaannn 是奇数是偶数栏目索引高考导航核心题型突破所以Sn=当n是奇数时,+Sn+Sn+1,即+,即-2a1对任意正奇数n恒成立,所以-2a10,即0a12;当n是偶数时,+Sn+Sn+1,即+212111,24,.24nnannnan是奇数是偶数2na21na2112na212n211124nna211(1)24nna21a12n21a2na21na22n212na2124nna栏目索引高考导航核心题型突破,即-a1对任意正偶数n恒成立,所以-a11,即a1.综合得:0a1.(3)由数列a2n是首项为1、公差为1的
9、等差数列,数列a2n-1是首项为正整数a1、公差为1的等差数列知,数列an的各项都是正整数,设bn=bmbk,即=,即am=,取k=n+2,则ak-an=1,故am=an(an+2+t),不妨设m是偶数,则=an(an+2+t)一定是整数,212(1)124nna21a2n21a152152152nnaatmmaatkkaat()nkkna ataa2m栏目索引高考导航核心题型突破故当n是偶数时,方程bn=bmbk的一组解是故当n是奇数时,方程bn=bmbk的一组解是所以,数列bn中的任意一项总可以表示为数列bn中的其他两项之积.2,1;2knnmnt 112,112.22knnnmaat栏目
10、索引高考导航核心题型突破【方法归纳】(1)此类问题常与函数、方程、不等式等知识相互关联渗透,解题时注意方程思想、整体思想、分类讨论思想以及数形结合思想等的灵活运用.(2)数列中的不等式恒成立问题与函数问题中的不等式恒成立问题的解法一致,即都是利用分离参数转化为求最值,但要注意数列的单调性与函数单调性的研究是有区别的,关键是数列的定义域是正整数集(或其子集).栏目索引高考导航核心题型突破2-1(2018江苏盐城高三期中)已知数列an满足a1=-1,a2=1,且an+2=an(nN*).(1)求a5+a6的值;(2)Sn为数列an的前n项的和,求Sn;(3)设bn=a2n-1+a2n,是否存正整数
11、i,j,k(ijj,且k,jZ,kj+1.当kj+2时,bkbj+2,若bi,bj,bk成等差数列,则bi=2bj-bk2bj-bj+2=2-=-0,此与bn0矛盾.故此时不存在这样的等差数列;当k=j+1时,bk=bj+1,若bi,bj,bk成等差数列,则bi=2bj-bk=2bj-bj+1=2-113122jj113122jj14132j74112j113122jj3122jj栏目索引高考导航核心题型突破=-,又i2总成立?若存在,求出q的范围;若不存在,请说明理由.84SSnnSSc栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)因为a1=1,a3+a5=20,所以q4+q2-20=0,所以q
12、2=4或q2=-5(舍去).所以=1+q4=17.(2)若a2,a1,a3或a3,a1,a2成等差数列,则2a1=a3+a2,q2+q-2=0,解得q=-2或1(舍去);若a1,a3,a2或a2,a3,a1成等差数列,则2a3=a1+a2,2q2-q-1=0,解得q=-或1(舍去);若a3,a2,a1成等差数列,84SS12栏目索引高考导航核心题型突破则2a2=a3+a1,q2-2q+1=0,解得q=1(舍去).综上,q=-2或-.(3)由-20(c0),可得0,故等价于cSn0,所以Sn1,得到c1时,S222c不可能成立;当q2,得qnlogq(2q-1).因为q1,12nnSSc2nnS
13、cSc1211nqq12栏目索引高考导航核心题型突破即当nlogq(2q-1)时,Sn2,所以Sn2c不可能成立;当q=时,由2c,即1-1-c,则当nlo(1-c)时,Sn2c不成立;当0q时,Sn=,所以当c1时,cSn2总成立,q的取值范围12112112n12n12n12g1211nqq11q12(1)qnnSSc为.10,2栏目索引高考导航核心题型突破【方法归纳】此类问题往往结合整数方程、函数的性质等进行求解,需要在理解题意的基础上不断地尝试探索,往往是从特殊到一般寻找规律,会使用到列举法、特殊值法、代入验证等方法.总之,我们必须仔细审题,合情推理,恰当转化,透过现象看本质.栏目索引
14、高考导航核心题型突破3-1(2018江苏海安高级中学高三月考)已知数列an中,首项a1=1,a2=a,an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,数列an的前n项和为Sn.(1)若k=,且S18=171,求实数a的值;(2)是否存在实数k,使数列an是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项an,an+1,an+2按某顺序排列后成等差数列.若存在,求出所有的k的值;若不存在,请说明理由;(3)若k=-,求Sn(用a,n表示).1212栏目索引高考导航核心题型突破解析解析(1)当k=时,由an+1=k(an+an+2)得an+1=(an+an+2),即an+2-an+1=an+1-an,所以
15、数列an为等差数列,公差为d=a2-a1=a-1,数列an的前n项和为Sn=n+(a-1),由S18=171得171=18+(a-1),解得a=2.(2)设存在k使数列an为等比数列,则其公比为q=a,an=an-1,an+1=an,an+2=an+1.an+1为等差中项,则2an+1=an+an+2,即2an=an-1+an+1,解得a=1,与已知不符,舍去;若an为等差中项,则2an=an+1+an+2,即2an-1=an+an+1,即a2+a-2=0,解得a=-2或a=11212(1)2n n18(18 1)221aa栏目索引高考导航核心题型突破(舍),此时由an+1=k(an+an+2
16、)得an=k(an-1+an+1),即a=k(1+a2),故k=-;若an+2为等差中项,则2an+2=an+an+1,即2an+1=an-1+an,即2a2-a-1=0,解得a=-或a=1(舍),仿得k=-.综上,满足要求的实数k有且仅有一个,k=-.(3)当k=-时,an+1=-(an+an+2),所以an+2+an+1=-(an+1+an),于是an+3+an+2=-(an+2+an+1)=an+1+an.当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(an-1+an)=(a1+a2)=;21aa251221aa252512122n(1)2n a 栏目索引高考导航核
17、心题型突破当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(an-1-an)=a1+(a2+a3)=a1+.-(a1+a2)=1-(a+1)(n2),当n=1时,也适合该式.所以Sn=12n12n12n11(1),2(1),.2nann an为奇数为偶数dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4kl
18、ebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktke
19、irh893y89ey698vhkrnelkhgi8eyokbnkdhf98hodfhxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkwkjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8gen56384866666gjfdghmghm56384866
20、666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjf
21、dghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm￥1111111111111111111111111111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333344444￥
