1、第25讲多边形与平行四边形 第26讲矩形,菱形.正方形第27讲 梯形第第25讲讲多边形与平行四边形多边形与平行四边形 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦1按定义分类：考点考点1 1 多边形多边形 多边形的定义多边形的定义在同一平面内，不在同一直线上的一些线段在同一平面内，不在同一直线上的一些线段_相接组成的图形叫做多边形相接组成的图形叫做多边形多边多边形的形的性质性质内角和内角和n边形内角和为边形内角和为_外角和外角和任意多边形的外角和为任意多边形的外角和为360多边形多边形对角线对角线n边形共有边形共有_条对角线条对角线不稳定性不稳定性 n边形具有不稳定性边形具有不稳定性(n3)
2、拓展拓展n边形的内角中最多有边形的内角中最多有_个是锐角个是锐角首尾顺次首尾顺次(n2)180 3 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦正多正多边形边形定义定义各个角各个角_，各条边，各条边_的的多边形叫正多边形多边形叫正多边形对称性对称性正多边形都是正多边形都是_对称图形，边对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形数为偶数的正多边形是中心对称图形相等相等 相等相等 轴轴 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌定义定义用用_、_完全相同的一种或完全相同的一种或几种几种_进行拼接，彼此之间进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是不留空隙、不重叠地铺成一
3、片，就是平面图形的平面图形的_平面镶嵌平面镶嵌的条件的条件在同一顶点的几个角的和等于在同一顶点的几个角的和等于360360形状形状 大小大小 平面图形平面图形 镶嵌镶嵌 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦常见常见形式形式(1)(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：_个正三角形或个正三角形或_个正四边形或个正四边形或_个正六边形个正六边形(2)(2)用两种正多边形镶嵌用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和_个正四边形；个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用用正三角形和正六边形镶嵌：用_个正个
4、正三角形和三角形和_个正六边形或者用个正六边形或者用_个个正三角形和正三角形和_个正六边形；个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用用正四边形和正八边形镶嵌：用_个正个正四边形和四边形和_个正八边形可以镶嵌个正八边形可以镶嵌六六 四四 三三 二二 四四 一一 二二 二二一一二二 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦常见形常见形式式(3)用三种不同的正多边形镶嵌用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用用m块正三角形、块正三角形、n块正方形、块正方形、k块正六边形，则块正六边形，则有有60m90n120k360，整理得，整理得_，因为
5、，因为m、n、k为整数，所以为整数，所以m_，n_，k_，即用，即用_块正方形，块正方形，_块正三角形和块正三角形和_块正六边形可以镶嵌块正六边形可以镶嵌防错防错提醒提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于的几个角的和等于3602m3n4k12 1 2 两两 一一一一1 考点考点3 3 平行四边形的定义与性质平行四边形的定义与性质 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质性质(1)(1)平行四边形的两组对边分别平行四边形的两组对边分别_；(2)(2)平行四边
6、形的两组对边分别平行四边形的两组对边分别_；(3)(3)平行四边形的两组对角分别平行四边形的两组对角分别_；(4)(4)平行四边形的对角线互相平行四边形的对角线互相_ _；(5)(5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点两条对角线的交点总结总结若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积称中心，且这条直线等分平行四边形的面积平行平行 相等相等 相等相等 平分平分 考点
7、考点4 4 平行四边形的判定平行四边形的判定 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦序号序号方法方法1 1定义法定义法2 2两组对角分别两组对角分别_的四边形是平行四的四边形是平行四边形边形3 3两组对边分别两组对边分别_的四边形是平行四的四边形是平行四边形边形4 4一组对边平行且一组对边平行且_的四边形是平行的四边形是平行四边形四边形5 5对角线对角线_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形相等相等 相等相等 相等相等 互相平分互相平分 考点考点5 5 平行四边形的面积平行四边形的面积 第第25讲讲 考点聚焦考点聚焦平行四边形平行四边形的面积的面积平行四边形的面积底平行四边形的面积底 高高拓展拓展
8、同底同底(等底等底)等高等高(同高同高)的平行四边形的平行四边形面积相等面积相等两条平行线两条平行线间距离间距离在两条平行线中一条直线上任意一在两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线上的距离叫做两条点到另一条直线上的距离叫做两条平行线间的距离平行线间的距离推论推论夹在两条平行线间的平行线段夹在两条平行线间的平行线段_相等相等 第第25讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一多边形的内角和与外角和类型之一多边形的内角和与外角和 命题角度：命题角度：1n边形的内角和定理的应用；边形的内角和定理的应用；2n边形的外角和定理的应用边形的外角和定理的应用5 解析解析 设该多边形的边数为设该多
9、边形的边数为n，则，则(n2)1801/3360.解得解得n5.例例1 1 20122012德阳德阳 已知一个多边形的内角和是外角和已知一个多边形的内角和是外角和的的 1/3，则这个多边形的边数是，则这个多边形的边数是_ 第第25讲讲 归类示例归类示例 如果已知如果已知n n边形的内角和，那么可以求出它的边形的内角和，那么可以求出它的边数边数n n；对于多边形的外角和等于；对于多边形的外角和等于360360，应明确，应明确两点：两点：(1)(1)多边形的外角和与边数多边形的外角和与边数n n无关；无关；(2)(2)多边多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效形内角问题转化为外角问题常常有
10、化难为易的效果果 类型之二类型之二平行四边形的性质平行四边形的性质 命题角度：命题角度：1.1.平行四边形对边的特点；平行四边形对边的特点；2.2.平行四边形对角的特点；平行四边形对角的特点；3.3.平行四边形对角线的特点平行四边形对角线的特点第第25讲讲 归类示例归类示例 例例2 2 如图如图25251,1,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，P P是是CDCD上一上一点，且点，且APAP和和BPBP分别平分分别平分DABDAB和和CBACBA.(1)(1)求求APBAPB的度数；的度数；(2)(2)如果如果ADAD5 cm5 cm，APAP8 cm8 cm，求，求APB
11、APB的周长的周长图图25251 1第第25讲讲 归类示例归类示例 平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算或计算 第第25讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 平行四边形的判定平行四边形的判定 例例3 3 20122012泰州泰州 如，四边形如，四边形ABCDABCD中，中，ADADBCBC，AEAEADAD交交BDBD于点于点E E，CFCFBCBC交交BDBD于点于点F F，且，且AEAE CFCF.求求证：四边形证：四边形ABCDABCD
12、是平行四边形是平行四边形解析解析 由垂直得到由垂直得到EADBCF90，根据，根据AAS可证可证明明RtAED RtCFB，得到，得到ADBC，根据平行四边形的判，根据平行四边形的判定即可证明定即可证明第第25讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.从对边判定四边形是平行四边形；从对边判定四边形是平行四边形；2.从对角判定四边形是平行四边形；从对角判定四边形是平行四边形；3.从对角线判定四边形是平行四边形从对角线判定四边形是平行四边形图图25252 2第第25讲讲 归类示例归类示例证明：证明：ADBC，ADBCBD，AEAD，CFBC，EADFCB90.AE CF，EAD FCB(AAS
13、)，ADCB.ADBC，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形第第25讲讲 归类示例归类示例判别一个四边形是不是平行四边形，要根据判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法凡是可以用平具体条件灵活选择判别方法凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题质和判定去解决问题第第26讲讲矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 矩形矩形 矩形矩形定义定义有一个角是有一个角是_的平行
14、四边形叫做矩形的平行四边形叫做矩形矩形矩形的的性质性质对称性对称性矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是中心对称图形，它的对称中心就是矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点对角线的交点定理定理(1)(1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_角；角；(2)(2)矩形的对角线互相平分并且矩形的对角线互相平分并且_推论推论在直角三角形中，斜边上的中线等于在直角三角形中，斜边上的中线等于_的一半的一半直角直角 直直相等相等 斜边斜边 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦矩形的判定矩形的判定(1)(1)定义法定义法(2)(2)有三个角是直角的四边形是矩形有三个角
15、是直角的四边形是矩形(3)(3)对角线对角线_的平行四边形是矩的平行四边形是矩形形拓展拓展(1)(1)矩形的两条对角线把矩形分成四矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的的等腰三角形；个面积相等的的等腰三角形；(2)(2)矩形的面积等于两邻边的积矩形的面积等于两邻边的积相等相等 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 菱形菱形 菱形菱形定义定义有一组有一组_相等的平行四边形是菱形相等的平行四边形是菱形菱形的菱形的性质性质对称性对称性菱形是轴对称图形，两条对角线所在菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴菱形是中心对称图形，它的对称中心菱形是中心对称图形，它的对
16、称中心是两条对角线的交点是两条对角线的交点定理定理(1)(1)菱形的四条边菱形的四条边_；(2)(2)菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相_平平分，并且每条对角线平分分，并且每条对角线平分_邻边邻边 相等相等 垂直垂直 一组对角一组对角 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦菱形的菱形的判定判定(1)(1)定义法定义法(2)(2)四条边四条边_的四边形是菱形的四边形是菱形(3)(3)对角线互相对角线互相_的平行四边形的平行四边形是菱形是菱形菱形面菱形面积积(1)(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积底面积底高高(2)(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所因为菱形
17、的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成以其对角线将菱形分成4 4个全等三角形，个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的故菱形的面积等于两对角线乘积的_._.相等相等 垂直垂直一半一半 考点考点3 3 正方形正方形 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦正方形的正方形的定义定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形四边形叫做正方形正方形的正方形的性质性质(1)(1)正方形对边正方形对边_(2)(2)正方形四边正方形四边_(3)(3)正方形四个角都是正方形四个角都是_(4)(4)正方形对角线相等，互相正方形对角线相等，互相_，每条，每条对角线
18、平分一组对角对角线平分一组对角(5)(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点正方形的正方形的判定判定(1)(1)有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形(2)(2)有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形平行平行 相等相等 直角直角 垂直平分垂直平分 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦判定正方形的思路图：判定正方形的思路图：考点考点4 4 中点四边形中点四边形 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中顺次连接
19、四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形点四边形常见常见结论结论顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形平行四边形顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是_顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是_顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是_顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是是_顺次连接对角线互相垂直的四
20、边形所得到的四边形是顺次连接对角线互相垂直的四边形所得到的四边形是_菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 菱形菱形 菱形菱形矩形矩形 第第26讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一矩形的性质及判定的应用类型之一矩形的性质及判定的应用 命题角度：命题角度：1.矩形的性质；矩形的性质；2.矩形的判定矩形的判定例例1 1 20122012六盘水六盘水如图如图261，已知，已知E是是 ABCD中中BC边边的中点，连接的中点，连接AE并延长并延长AE交交DC的延长线于点的延长线于点F.(1)求证：求证：ABE FCE；(2)连接连接AC、BF，若，若AEC2ABC，求证：四边形，求证：四边形ABF
21、C为矩形为矩形图图261第第26讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)利用利用AASAAS可得出三角形可得出三角形ABEABE与三角形与三角形FCEFCE全等全等；(2)(2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFCABFC为矩形为矩形 第第26讲讲 归类示例归类示例第第26讲讲 归类示例归类示例 类型之二类型之二菱形的性质及判定的应用菱形的性质及判定的应用 命题角度：命题角度：1.1.菱形的性质；菱形的性质；2.2.菱形的判定菱形的判定第第26讲讲 归类示例归类示例 例例2 2 2012重庆重庆 已知：如图已知：如图262，在菱形
22、，在菱形ABCD中，中，F为边为边BC的中点，的中点，DF与对角线与对角线AC交于点交于点M，过，过M作作MECD于点于点E，12.(1)若若CE1，求，求BC的长；的长；(2)求证：求证：AMDFME.图图26262 2第第26讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)根据菱形的对边平行可得根据菱形的对边平行可得ABCDABCD，可，可得得1 1ACDACD，所以，所以ACDACD2 2，得，得CMCMDMDM，根据，根据等腰三角形三线合一的性质可得等腰三角形三线合一的性质可得CECEDEDE；(2)(2)证明证明CEMCEM和和CFMCFM全等，得全等，得MEMEMFMF，延长，延长AB
23、AB、DFDF交于点交于点N N，然后证明，然后证明1 1N N，得，得AMAMNMNM，再利用，再利用“角角边角角边”证明证明CDFCDF和和BNFBNF全等，得全等，得NFNFDFDF，最后结合图，最后结合图形形NMNMNFNFMFMF即可得证即可得证第第26讲讲 归类示例归类示例第第26讲讲 归类示例归类示例 在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形若是任意四边形，则需平行四边形还是任意四边形若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组
24、邻边相等来证明互相垂直或一组邻边相等来证明第第26讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 正方形的性质及判定的应用正方形的性质及判定的应用 例例3 3 20122012黄冈黄冈 如图如图263，在正方形，在正方形ABCD中，对中，对角线角线AC、BD相交于点相交于点O，E、F分别在分别在OD、OC上，且上，且DECF，连接，连接DF、AE，AE的延长线交的延长线交DF于点于点M.求求证：证：AMDF.解析解析 根据根据DECF，可得出，可得出OEOF，继而证明，继而证明AOE DOF，得出，得出OAEODF，然后利用等角代换，然后利用等角代换可得出可得出DME90，即可得出结论，即可得出结论
25、第第26讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.正方形的性质的应用；正方形的性质的应用；2.正方形的判定正方形的判定图图26263 3第第26讲讲 归类示例归类示例第第26讲讲 归类示例归类示例 正方形是特殊的平行四边形，还是特殊正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质；正方形的判定方法有两条图形的所有性质；正方形的判定方法有两条道路：道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形再判定这个
26、菱形是矩形 类型之四特殊平行四边形的综合应用类型之四特殊平行四边形的综合应用 例例4 4 20122012娄底娄底 如图如图264，在矩形，在矩形ABCD中，中，M、N分分别是别是AD、BC的中点，的中点，P、Q分别是分别是BM、DN的中点的中点(1)求证：求证：MBA NDC；(2)四边形四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由是什么样的特殊四边形？请说明理由第第26讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2.矩形、菱形、正方形的关系转化矩形、菱形、正方形的关系转化图图26264 4第第26讲讲 归类示例归类
27、示例 类型之五中点四边形类型之五中点四边形 例例5 5 20112011邵阳邵阳 在四边形在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE.(1)请判断四边形请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；的形状，并给予证明；(2)试添加一个条件，使四边形试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形是菱形(写出你所添加写出你所添加的条件，不要求证明的条件，不要求证明)第第26讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.对角线相等的四边形的中点四边形；对角线相等的四边形的中点四边形；2.对角线互相垂直的四边形的中点四边形对角线互相
28、垂直的四边形的中点四边形图图26265 5第第26讲讲 归类示例归类示例第第26讲讲 归类示例归类示例 依次连接四边形各边中点所得到的新四依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系边形的形状与原四边形对角线的关系(相等相等、垂直、相等且垂直、垂直、相等且垂直)有关有关第第26讲讲 回归教材回归教材探索正方形中的三角形全等探索正方形中的三角形全等 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版八下人教版八下P104习题习题T15如图如图266，四边形，四边形ABCD是正方形点是正方形点G是是BC上的任意一上的任意一点，点，DEAG于点于点E，BFDE，且交，且交AG于点于点F.求
29、证：求证：AFBFEF.图图266第第26讲讲 回归教材回归教材证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ADAB，BAD90.DEAG，DEGAED90，ADEDAE90.又又BAFDAEBAD90，ADEBAF.BFDE，AFBDEGAED，ABFDAE，BFAE，故故AFBFAFAEEF.点析点析 正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具第第26讲讲 回归教材回归教材中考变式12010红河红河 如图如图267，在正方形，在正方形ABCD中，中，G是是BC上的任意一点上的任意一点(G与与B、C两点不重合两点不重合)，
30、E、F是是AG上的两点上的两点(E、F与与A、G两点不重合两点不重合)，若，若AFBFEF，12，请判断线段，请判断线段DE与与BF有怎样的位置有怎样的位置关系，并证明你的结论关系，并证明你的结论图图267第第26讲讲 回归教材回归教材解：根据题目条件可判断解：根据题目条件可判断DEBFDEBF.证明如下：证明如下：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，BAF290.AFAEEF，又又AFBFEF，AEBF.12，ABF DAE(SAS)AFBDEA，BAFADE.ADE2BAF290，AEDBFADEG90.DEBF.第第26讲讲 回归教材回归教材2如图如图268，四边形，四边形
31、ABCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形，点点G是是BC延长线上一点，连接延长线上一点，连接AG，点，点E、F分别在分别在AG上，连接上，连接BE、DF，12，34.(1)证明：证明：ABE DAF；(2)若若AGB30，求，求EF的长的长图图268第第26讲讲 回归教材回归教材第第26讲讲 回归教材回归教材第第27讲讲梯形梯形 第第27讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 梯形的有关概念梯形的有关概念梯形梯形定义定义一组对边一组对边_，另一组对边，另一组对边_的四边形叫梯形的四边形叫梯形等腰梯等腰梯形形两腰相等的梯形叫等腰梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形直角梯直角梯形形有一个
32、角是直角的梯形叫直角梯形有一个角是直角的梯形叫直角梯形平行平行 不平行不平行 第第27讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰梯形等腰梯形 等腰梯形等腰梯形的性质的性质轴对称性轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴直平分线是它的对称轴性质定理性质定理1 1等腰梯形同一底上的两等腰梯形同一底上的两_相等相等性质定理性质定理2 2等腰梯形的对角线等腰梯形的对角线_底角底角 相等相等 第第27讲讲 考点聚焦考点聚焦等腰梯等腰梯形形的判定的判定判定方法判定方法(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)同一底上的两同一
33、底上的两个角个角_的梯形是等腰梯的梯形是等腰梯形形判定步骤判定步骤(1)(1)先判定它是梯形；先判定它是梯形；(2)(2)再用再用“两腰相等两腰相等”或或“同一底上的同一底上的两个角相等两个角相等”或或“对角线相等对角线相等”来判定它是等腰梯形来判定它是等腰梯形相等相等 考点考点3 3 梯形中常用的辅助线梯形中常用的辅助线 第第27讲讲 考点聚焦考点聚焦辅助线辅助线添加方法及目的添加方法及目的图形图形平移一腰平移一腰从梯形的一个顶点从梯形的一个顶点作一腰的平行线，作一腰的平行线，把梯形分成一个平把梯形分成一个平行四边形和一个三行四边形和一个三角形角形作两高作两高从同一底的两端作从同一底的两端作
34、另一底的垂线，把另一底的垂线，把梯形分成一个矩形梯形分成一个矩形和两个直角三角形和两个直角三角形第第27讲讲 考点聚焦考点聚焦平移对角平移对角线线移动一条对角线，即过底的移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形以借助所得到的平行四边形来研究梯形来研究梯形延长两腰延长两腰延长梯形的两腰交于一点，延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形梯形两底为底的等腰三角形连接中点连接中点并延长并延长连接梯形一顶点与一腰的中连接梯形一顶点与一腰的中点并延
35、长与另一底的延长线点并延长与另一底的延长线相交，可得一三角形，将梯相交，可得一三角形，将梯形的面积转化为三角形的面形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到积，将梯形的上下底转移到同一直线上同一直线上第第27讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一梯形的基本概念及性质类型之一梯形的基本概念及性质命题角度：命题角度：1.梯形的定义及分类；梯形的定义及分类；2.梯形的中位线及有关计算梯形的中位线及有关计算例例1 1 20122012滨州滨州 我们知道我们知道“连接三角形两边中点的线段连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形三角形的中
36、位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半的第三边，且等于第三边的一半”类似地，我们把连接类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图271，在梯，在梯形形ABCD中，中，ADBC，点，点E，F分别是分别是AB，CD的中点，那的中点，那么么EF就是梯形就是梯形ABCD的中位线通过观察、测量，猜想的中位线通过观察、测量，猜想EF和和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论图图271第第27讲讲 归类示例归类示例 解析解析 连接连接AFAF并延长交并延长交BCBC的延长线于点的延长线于点G G，则，则
37、ADFADFGCFGCF，可以证得，可以证得EFEF是是ABGABG的中位线，利用三的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得角形的中位线定理即可证得解：结论为：解：结论为：EFADBCEFADBC，EFEF0.5(AD0.5(ADBC)BC)第第27讲讲 归类示例归类示例 梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决常用添加辅助线的方法有：或特殊四边形来解决常用添加辅助线的方法有：(1)(1)平移一腰；平移一腰；(2)(2)过同一底上的两个顶点作高；过同一底上的两个顶点作高；(3)(3)平移平移对角线；对角线；(4)(4)延长两腰延长两
38、腰第第27讲讲 归类示例归类示例 类型之二类型之二等腰梯形的性质等腰梯形的性质 命题角度：命题角度：1.1.等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；2.2.等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；3.3.等腰梯形的对角线相等的关系等腰梯形的对角线相等的关系第第27讲讲 归类示例归类示例 例例2 2 2012内江内江如图如图272，四边形，四边形ABCD是梯形，是梯形，BDAC且且BDAC，若，若AB2，CD4，则，则S梯形梯形ABCD_.图图27272 29 第第27讲讲 归类示例归类示例 利用等腰梯形的性质不仅可证明
39、两直线平行，而且利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行，而且可证明两边相等或两个角相等可证明两边相等或两个角相等第第27讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 等腰梯形的判定等腰梯形的判定 例例3 3 20112011茂名茂名 如图如图274，在等腰，在等腰ABC中，点中，点D、E分别分别是两腰是两腰AC、BC上的点，连接上的点，连接AE、BD相交于点相交于点O，12.(1)求证：求证：ODOE；(2)求证：四边形求证：四边形ABED是等腰梯形；是等腰梯形；(3)若若AB3DE，DCE的面积为的面积为2，求四边形，求四边形ABED的面积的面积第第27讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：
40、1.定义法；定义法；2.从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；3.从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形图图27274 4第第27讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)证明证明ABDABDBAE(ASA)BAE(ASA)(2)(2)由由(1)(1)得得ADADBEBE，再证，再证DEABDEAB即可即可(3)(3)DCEDCEACBACB，利用相似三角，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得形面积比等于相似比的平方求得解：解：(1)(1)证明：证明：ABCABC是等腰三角形，是等
41、腰三角形，ACACBCBC，BADBADABEABE，又又ABABBABA，2 21 1，ABDABDBAE(ASA)BAE(ASA)，BDBDAE.AE.又又1 12 2，OAOAOBOB，BDBDOBOBAEAEOAOA，即，即ODODOE.OE.第第27讲讲 归类示例归类示例第第27讲讲 归类示例归类示例 证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可或对角线相等即可 类型之四梯形的综合应用类型之四梯形的综合应用 例例4 4 20122012苏州苏州 如图如图275，在梯形，
42、在梯形ABCD中，中，ADBC，A60，动点，动点P从从A点出发，以点出发，以1 cm/s的速度的速度沿着沿着ABCD的方向不停移动，直到点的方向不停移动，直到点P到达点到达点D后才后才停止已知停止已知PAD的面积的面积S(单位：单位：cm2)与点与点P移动的时间移动的时间t(单位：单位：s)的函数关系如图所示，则点的函数关系如图所示，则点P从开始移动到停止从开始移动到停止移动一共用了移动一共用了_s(结果保留根号结果保留根号)第第27讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.常用辅助线；常用辅助线；2.动态几何问题；动态几何问题；3.梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用梯形与全
43、等、相似、解直角三角形等知识的综合运用第第27讲讲 归类示例归类示例图图275 解析解析 根据图判断出根据图判断出ABAB、BCBC的长度，过点的长度，过点B B作作BEADBEAD于点于点E E，然后求出梯形，然后求出梯形ABCDABCD的高的高BEBE，再根据，再根据t t2 2时时PADPAD的面积求出的面积求出ADAD的长度，过点的长度，过点C C作作CFADCFAD于于点点F F，然后求出，然后求出DFDF的长度，利用勾股定理求出的长度，利用勾股定理求出CDCD的长的长度，然后求出度，然后求出ABAB、BCBC、CDCD的和，再求时间的和，再求时间第第27讲讲 归类示例归类示例第第27讲讲 归类示例归类示例第第27讲讲 归类示例归类示例第第27讲讲 归类示例归类示例 动动 态几何开放性数学问题是近几年兴态几何开放性数学问题是近几年兴起的一种新颖题型，一般是某一个点在某一起的一种新颖题型，一般是某一个点在某一个图形上的运动，难度相对较大，对考生综个图形上的运动，难度相对较大，对考生综合分析问题的能力要求较高主要形式有开合分析问题的能力要求较高主要形式有开放前提、开放结论两大类解答此类问题要放前提、开放结论两大类解答此类问题要注意全面、整体地把握题目的意思，尤其不注意全面、整体地把握题目的意思，尤其不能漏掉某些情况能漏掉某些情况.
