1、丰台区高三数学一模考试试题 第 1 页/ 共 11 页 丰台区丰台区 20192020 学年度第学年度第二二学期学期综合综合练习练习（一一） 高高三三数学数学 2020.04 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题一、选择题共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1若集合| 12Axx Z， 2 20Bx xx，则AB （A）0 （B）01， （C）01 2， ， （D） 101 2 ， ， ， 2 已知向量(2)( 21)x , ,ab，满足a b，则x
2、 （A）1 （B）1 （C）4 （D）4 3 若复数z满足i 1i z ，则z对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 4 圆 22 (1)2xy的圆心到直线10xy 的距离为 （A）2 （B）2 （C）1 （D） 2 2 5 已知 1 3 2a ， 1 2 3b ， 3 1 log 2 c ，则 （A）abc （B）acb （C）bac （D） bca 6 “1a ”是“ 1 1 a ”成立的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有 8
3、. 过抛物线 2 2(0)Cypx p：的焦点F作倾斜角为 60的直线与抛物线C交于两个不同的点A B， （点A在x轴上方） ，则 AF BF 的值为 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 俯视图俯视图 左视图左视图 主视图主视图 2 2 3 3 丰台区高三数学一模考试试题 第 2 页/ 共 11 页 （A） 1 3 （B） 4 3 （C）3 （D）3 9. 将函数( )sin(0)f xx的图象向左平移 2 个单位长度后得到函数( )g x的图象，且(0)1g，下列说 法错误 的是 （A）( )g x为偶函数 （B） ()0 2 g （C）当5时，( )g x在 0 2 ,
4、上有 3 个零点 （D）若( )g x在 5 0,上单调递减，则的最大值为 9 10. 已知函数( ) e10 0. x f x x kxx , , 若存在非零实数 0 x，使得 00 ()()fxf x成立，则实数k的取值范围是 （A）1() , （B）1( , （C）( 1 0) , （D）1 0) , 第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题二、填空题共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11. 设数列 n a的前n项和为 n S，21 n an ，则 5 S 12. 若1x ，则函数 1 ( ) 1 f xx x 的最小值为 ，此时x 13
5、. 已知平面和三条不同的直线mnl， ，.给出下列六个论断：m；m；ml； n；n；nl.以其中两个论断作为条件，使得mn成立.这两个论断可以 是 （填上你认为正确的一组序号） 14 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换. 如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反 数”是一种“回归”变换. 有下列 3 种变换： 对A R，变换：求集合A的补集； 对任意zC，变换：求z的共轭复数； 对任意xR，变换：xkxb（kb，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 . 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要
6、求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 15 已知双曲线 2 2 1 3 y Mx ：的渐近线是边长为 1 的菱形OABC的边OA OC,所在直线若椭圆 丰台区高三数学一模考试试题 第 3 页/ 共 11 页 22 22 1(0) xy Nab ab ：经过A C,两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a . 三、解答题三、解答题共共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 14 分）分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4c ， 3 A . （）当2b
7、 时，求a； （）求sin3cosBC的取值范围. 17.（本小题共（本小题共 14 分）分） 如图，在四棱锥MABCD中，ABCD，90ADCBMC ， MBMC， 1 2 2 ADDCAB，平面BCM 平面ABCD. （）求证：CD平面ABM； （）求证：AC 平面BCM； （）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角EBCM的大小为 4 ？ 若存在，求出 AE AM 的值；若不存在，请说明理由 18.（本小题共（本小题共 14 分）分） 在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现 场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类
8、服务）.参与 A，B，C 三个社 区的志愿者服务情况如下表： （）从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 X 表示负责现场值班值守的人数，求 X 的分布 列； （）已知 A 社区心理咨询满意率为 0.85，B 社区心理咨询满意率为 0.95，C 社区心理咨询满意率为 0.9， 社区 社区服务总 人数 服务类型 现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询 A 100 30 30 20 20 B 120 40 35 20 25 C 150 50 40 30 30 丰台区高三数学一模考试试
9、题 第 4 页/ 共 11 页 “1 A ,1 B ,1 C ” 分别表示 A， B， C 社区的人们对心理咨询满意， “0 A ,0 B ,0 C ” 分别表示 A，B，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差() A D，() B D，() C D的大小关系. （只需写出结论） 19.（本小题共（本小题共 15 分）分） 已知函数( )()ln1f xxaxx. （）若曲线( )yf x在点(e(e)f,处的切线斜率为 1，求实数a的值； （）当0a 时，求证：( )0f x ； （）若函数( )f x在区间(1),上存在极值点，求实数a的取值范围. 20.（本小题共（本小题共 14 分）
10、分） 已知椭圆 22 22 1(0) yx Cab ab ：的离心率为 2 2 ，点(1 0)P ,在椭圆C上，直线 0 yy与椭圆C交于 不同的两点A B,. （）求椭圆C的方程； （） 直线PA，PB分别交y轴于M N,两点， 问：x轴上是否存在点Q， 使得 2 OQNOQM ？ 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本小题共（本小题共 14 分）分） 已 知 有 穷 数 列A： * 12 ( kn a aaanN, , , , ,LL且3)n . 定 义 数 列A的 “ 伴 生 数 列 ”B： 12kn b bbb, , , , ,LL，其中 11 11 1 0 kk
11、k kk aa b aa ， ， (1 2)kn , , ,K，规定 011nn aaaa ,. （）写出下列数列的“伴生数列” ： 1，2，3，4，5； 1，1，1，1，1. （）已知数列B的“伴生数列”C： 12kn c ccc, , , , ,LL，且满足1(1 2) kk bknc, , ,K. （i）若数列B中存在相邻两项为 1，求证：数列B中的每一项均为 1； （）求数列C所有项的和. 丰台区高三数学一模考试试题 第 5 页/ 共 11 页 丰台区丰台区 20192020 学年度第二学期综合练习（一）学年度第二学期综合练习（一） 高三数学高三数学 参考答案及评分参考参考答案及评分参
12、考 202004 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题，每小题小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C A C D D A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 1125 123 ；2 13（或） 14. 15. 3 2 +1 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 14 分）分） 解： （） 由余弦定理 222 2cosabcbcA， 得 222
13、242 2 4 cos 3 a 12. 所以2 3a . 6 分 （） 由 3 A 可知， 2 3 BC，即 2 3 BC. 2 sin3cossin()3cos 3 BCCC 31 cossin3cos 22 CCC 13 sincos 22 CC sin() 3 C. 因为 2 3 BC，所以 2 (0,) 3 C . 故 (,) 33 3 C . 因此 33 sin()() 322 C ,. 于是 33 sin3cos(,) 22 BC . 14 分 丰台区高三数学一模考试试题 第 6 页/ 共 11 页 17.（本小题共（本小题共 14 分）分） 证明： （）因为ABCD， AB 平面
14、ABM， CD 平面ABM， 所以CD平面ABM. 3 分 （）取AB的中点N，连接CN. 在直角梯形ABCD中， 易知2ANBNCD，且CNAB. 在RtCNB中，由勾股定理得2BC . 在ACB中，由勾股定理逆定理可知ACBC. 又因为平面BCM 平面ABCD， 且平面BCM平面ABCDBC， 所以AC 平面BCM. 7 分 （）取BC的中点O，连接OM，ON. 所以ONAC， 因为AC 平面BCM， 所以ON 平面BCM. 因为BMMC， 所以OMBC. 如图建立空间直角坐标系Oxyz， 则(0 0 1)M, ,，(0 1 0)B,，(0 1 0)C,- ,，(21 0)A, ,， =(
15、 2 11)AM ,，=(02 0)BC,，=(22 0)BA,. 易知平面BCM的一个法向量为(1 0 0), ,m. 假设在棱AM上存在一点E，使得二面角EBCM的大小为 4 . 不妨设(01)AEAM， 所以(222)BEBAAE ,， 设()x y z, ,n为平面BCE的一个法向量， 丰台区高三数学一模考试试题 第 7 页/ 共 11 页 则 0 0 BC BE , , n n 即 20 (22 )0 y xz , , 令x，22z，所以(22),0,n. 从而 2 cos 2 m n mn ,m n. 解得 2 3 或2. 因为01，所以 2 3 . 由题知二面角EBCM为锐二面角
16、. 所以在棱AM上存在一点E，使得二面角EBCM的大小为 4 ， 此时 2 3 AE AM . 14 分 18 （本小题共 （本小题共 14 分分） 解：解：（）记“从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作”为事 件D ， 303 () 10012015037 P D . 所以从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，此人来自于 A 社区，并且参与社区消毒工作的概率 为 3 37 . 4 分 （）从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人，由表可知：A，B，C 三个社区负责现场值班值守 的概率分别为 31 1 10 3 3 ，. X 的所有可能取值为 0，1，2
17、，3. 7222814 (0) 10339045 P X , 322712721404 (1) 103310331033909 P X , 31232171119 (2) 10331033103390 P X , 31131 (3) 10339030 P X . X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 14 45 4 9 19 90 1 30 11 分 （）()()() ACB DDD 14 分 丰台区高三数学一模考试试题 第 8 页/ 共 11 页 19.（本小题共（本小题共 15 分）分） 解：解： （）因为( )()ln1f xxaxx， 所以( )ln a fxx x . 由题知(e
18、)lne1 e a f， 解得0a . 4 分 （）当0a 时，( )ln1f xxxx， 所以( )lnfxx. 当(0 1)x,时，( )0fx ，( )f x在区间(0 1),上单调递减； 当(1)x,+时，( )0fx ，( )f x在区间(1),+上单调递增； 所以(1)0f是( )f x在区间(0),+上的最小值. 所以( )0f x . 8 分 （）由（）知， ln + ( )ln axx a fxx xx . 若0a ，则当(1)x,+时，( )0fx ，( )f x在区间(1),+上单调递增， 此时无极值. 若0a ，令( )( )g xfx， 则 2 1 ( )= a g
19、x xx . 因为当(1)x,+时，( )0g x ，所以( )g x在(1),+上单调递增. 因为(1)0ga， 而(e)e(e1)0 aaa gaaa ， 所以存在 0 (1 e) a x ,，使得 0 ()0g x. ( )fx和( )f x的情况如下： 因此，当 0 xx时，( )f x有极小值 0 ()f x. 综上，a的取值范围是0(),. 15 分 丰台区高三数学一模考试试题 第 9 页/ 共 11 页 20 （本小题共 （本小题共 14 分）分） 解：解： （）由题意 2 222 1 1 2 2 . b c a abc , , 解得 22 21ab, . 所以椭圆C的方程为 2
20、 2 1 2 y x. 5 分 （) 假设存在点Q使得 2 OQNOQM .设(0)Q m,， 因为 2 OQNOQM , 所以OQNOMQ.则tantanOQNOMQ. 即 ONOQ OQOM ，所以OMONOQ 2 . 因为直线 0 yy交椭圆C于AB，两点，则AB，两点关于y轴对称. 设 0000 ()()A xyBxy, 0 (1)x ， 因为(1 0)P ,， 则直线PA的方程为：) 1( 1 0 0 x x y y. 令0x，得 1 0 0 x y yM. 直线PB的方程为：) 1( 1 0 0 x x y y. 令0x，得 1 0 0 x y yN. 因为OMONOQ 2 ， 所
21、以 1 2 0 2 0 2 x y m. 又因为点 00 ()A x y,在椭圆C上， 所以 22 00 2(1)yx. 丰台区高三数学一模考试试题 第 10 页/ 共 11 页 所以 2 20 2 0 2(1) 2 1 x m x .即2m . 所以存在点(2 0)Q ,使得 2 OQNOQM 成立. 14 分 21 （本小题共（本小题共 14 分）分） 解解: （） 1，1，1，1，1； 1，0，0，0，1. 4 分 （） （i）由题意，存在1 21kn, , ,K，使得 1 1 kk bb . 若1k ，即 12 1bb时， 12 0cc. 于是 213 11 n bbbb,. 所以 3
22、 0 n cc，所以 42 1bb.即 234 1bbb. 依次类推可得 1 1 kk bb (2 31)kn, , ,L. 所以1 k b (1 2)kn , , ,K. 若21kn，由 1 1 kk bb 得 1 0 kk cc . 于是 11 1 kkk bbb .所以 1 0 kk cc . 依次类推可得 12 1bb. 所以1 k b (1 2)kn , , ,K. 综上可知，数列B中的每一项均为 1. 8 分 （）首先证明不可能存在21kn, ,K使得 11 0 kkk bbb . 若存在21kn, ,K使得 11 0 kkk bbb ， 则 11 1 kkk ccc . 又 11
23、kk bb 得0 k c 与已知矛盾. 所以不可能存在 11 0 kkk bbb ，21kn, ,K. 由此及()得数列 n b的前三项 123 bbb， ，的可能情况如下： (1) 123 1bbb时，由（i）可得1 k b (1 2)kn , , ,K. 丰台区高三数学一模考试试题 第 11 页/ 共 11 页 于是0 k c (1 2)kn , , ,K. 所以所有项的和0S . (2) 123 101bbb,时， 2 0c ， 此时 22 0bc与已知矛盾. (3) 123 100bbb,时， 123 011ccc,. 于是 224 01 n bbbb,. 故 453 1,0,0 n
24、ccbb 于是 1156 010 n bbcb ,， 于是 142536 bbb bbb,，且 21 100 nnn bbb ,. 依次类推 3kk bb 且n恰是 3 的倍数满足题意. 所以所有项的和 2 33 nn Sn . 同理可得 123 010bbb,及 123 001bbb,时， 当且仅当n恰是 3 的倍数时，满足题意. 此时所有项的和 2 3 n S . 综上，所有项的和0S 或 2 3 n S （n是 3 的倍数）. 14 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分） （考生务必将答案答在答题卡上，在（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷试卷上作答无效上作答无效）
