1、数学 第 1 页（共 6 页） 顺义区顺义区 20202020 届高三第二届高三第二次统练次统练 数学试卷数学试卷 第一部分第一部分( (选择题选择题 共共 4040 分分) ) 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每题列出的四个选项中，选分。在每题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项出符合题目要求的一项。 （1）已知集合32Axx ，3, 2,0 B，那么AB （A）2 （B） 0 （C）2,0 （D）2,0,2 （2）在复平面内，复数i 1 iz 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象
2、限 （3）下列函数中，既是偶函数，又在0,上单调递减的是 （A） 2 yx （B） 2 yx （C）cosyx （D） 1 2 x y （ ） （4）抛物线 2=4 yx上的点与其焦点的最短距离为 （A）4 （B）2 （C）1 （D） 1 2 （5）若角的终边经过点(1, 2)P，则sin的值为 （A） 2 5 5 （B） 5 5 （C） 5 5 （D） 2 5 5 考考 生生 须须 知知 1.本试卷共 6 页，共两部分，21 道小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在
3、答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。 数学 第 2 页（共 6 页） （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （A）6 （B）8 （C）12 （D）24 （7）若为任意角，则满足cos()cos 4 k的一个k值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （8）已知, ,a b cR，在下列条件中，使得ab成立的一个充分而不必要条件是 （A） 33 ab （B） 22 acbc （C） 11 ab （D） 22 ab （9）设 n a是各项均为正数的等比数列， n S为其前n项和.已知 13 16aa, 3 14S ,若存 在 0 n使得 0 12,n
4、 aaa，的乘积最大，则 0 n的一个可能值是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （10）已知( )f x 2 1 |1|,0 2 ,0 xx xx x ，若实数2,0m ，则( )( 1)f xf在区间 ,2m m 上的最大值的取值范围是 （A）1,4 （B）2,4 （C）1,3 （D）1,2 数学 第 3 页（共 6 页） 第二部分第二部分( (非选择题非选择题 共共 110110 分分) ) 二二、填空题共填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 （11）已知向量( 1,2)a ，( ,1)bm，若b，则实数m _. （12）设 n a是
5、等差数列，且 1 2a ， 24 8aa，则 n a的通项公式为_. （13）若将函数sin2yx的图象向左平移 6 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析 式为_. （14） 若直线: l yxa将圆 22 :1C xy的圆周分成长度之比为1:3的两段弧， 则实数a的 所有可能取值是_. （15）曲线C是平面内到定点 3 (0) 2 F，和定直线 3 : 2 l x 的距离之和等于5的点的轨迹，给 出下列三个结论： 曲线C关于y轴对称； 若点( , )P x y在曲线C上，则y满足4y ； 若点( , )P x y在曲线C上，则15PF； 其中，正确结论的序号是_. 注：本题给出的结论中，
6、有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选 得 0 分，其他得 3 分。 数学 第 4 页（共 6 页） 三三、解答题共解答题共 6 6 小题，共小题，共 8 85 5 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 14 分） 已知ABC中，角A B C， ，的对边分别为a b c，5ab，3c ， _.是否 存在以, ,a b c为边的三角形？如果存在，求出ABC的面积；若不存在，说明理由. 从 1 cos 3 C ； 1 cos 3 C ； 2 2 sin 3 C 这三个条件中任选一个，补充在上面问 题中并作答. 注：如
7、果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 （17）（本小题 14 分） 如图一所示， 四边形ABCD是边长为2的正方形， 沿BD将C点翻折到 1 C点位置 （如 图二所示）,使得二面角 1 ABDC成直二面角.,E F分别为 11 ,BC AC的中点. （I）求证： 1 BDAC； （II）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值. 数学 第 5 页（共 6 页） （18）（本小题 15 分） 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提 供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后， 某学校随机抽取了高三年级的甲、 乙两个班级进行网络问卷调查，统计
8、学生每天的学习时间，将样本数据分成3,4)，4,5) ， 5,6) ，6,7)，7,8五组，并整理得到如下频率分布直方图： （I）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学 习时间达到5小时以上的学生人数； （II）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生 中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （III）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 1 D， 2 D，试比较 1 D与 2 D的大 小.（只需写出结论） （19）（本小题 14 分） 已知函数 2 ( )exf xax,aR.
9、（I）当1a 时，求曲线( )yf x在点(0,(0)Af处的切线方程； （II）若( )f x在(0,)内单调递增，求实数a的取值范围； （III）当1a时，试写出方程( )1f x 根的个数.（只需写出结论） 数学 第 6 页（共 6 页） （20）（本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距和长半轴长都为2过椭圆C的右焦点F作斜 率为(0)k k 的直线l与椭圆C相交于,P Q两点 （I）求椭圆C的方程； （II）设点A是椭圆C的左顶点，直线,AP AQ分别与直线4x 相交于点,M N. 求证：以MN为直径的圆恒过点F. （21）（本小题 14 分）
10、 给定数列 12 , n a aa.对1,2,1in，该数列前i项 12 , i a aa的最小值记为 i A， 后ni项 12 , iin aaa 的最大值记为 i B，令 iii dBA. （I）设数列 n a为2,1,6,3,写出 123 ,d dd的值； （II）设 12 , n a aa(4)n 是等比数列，公比01q，且 1 0a ，证明： 121 , n d dd 是等比数列； （III）设 121 , n d dd 是公差大于0的等差数列，且 1 0d ，证明： 121 , n a aa 是等差 数列. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡
11、上，在试卷上作答无效） 数学 第 6 页（共 6 页） 顺义区 20202020 届高三第二次统练 数学参考答案及评分参考 一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）A （10）D 二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分） （11）2 （12）1,N n ann （13）sin(2) 3 yx （14）1a （15） 注：第 14 题全部答对得 5 分，只写一个答案得 3 分,有错误答案得0分；第 15 题全部选 对得 5 分，不选或有错选得0分，
12、其他得 3 分。 三、解答题（共 6 题，共 85 分） （16）（共 14 分） 解：选：在ABC中， 1 cos 3 C , 根据余弦定理 222 2coscababC -2 分 且5ab，3c ，得到 2 9252 3 ab ab - 6 分 所以6ab - 8 分 所以 5 6 ab ab ，解得 2 3 a b 或 3 2 a b -10 分 1 cos 3 C 数学 第 6 页（共 6 页） 2 2 sin 3 C -12 分 所以三角形ABC 的面积是 1 sin2 2 2 ABC SabC -14 分 选：在ABC中， 1 cos 3 C , 当 1 cos 3 C 时，根据余
13、弦定理 222 2coscababC. -2 分 又5ab，3c ，得到12ab - 8 分 此时方程组 5 12 ab ab 无解. - 12 分 所以这样的三角形不存在. -14 分 选：在ABC中，因为 2 2 sin, 3 C 所以 1 cos 3 C . -2 分 当 1 cos 3 C 时，根据余弦定理 222 2coscababC -4 分 且5ab，3c ，得到 2 9252 3 ab ab - 6 分 所以6ab -8 分 所以 5 6 ab ab ，解得 2 3 a b 或 3 2 a b -10 分 所以三角形ABC 的面积是 1 sin2 2 2 ABC SabC -1
14、2 分 当 1 cos 3 C 时，根据余弦定理 222 2coscababC, 数学 第 6 页（共 6 页） 又5ab，3c ，得到12ab , 此时方程组 5 12 ab ab 无解. 所以这样的三角形不存在. - 14 分 法二：在ABC中，因为 2 222 ()25 22 ab abc , 根据余弦定理 222 cos 2 abc C ab ,得到cos0C - 2 分 因为 2 2 sin, 3 C 所以 1 cos 3 C -4 分 根据余弦定理 222 2coscababC -6 分 和5ab，3c ，得到6ab -10 分 所以 5 6 ab ab ，解得 2 3 a b 或
15、 3 2 a b -12 分 所以三角形ABC 的面积是 1 sin2 2 2 ABC SabC -14 分 17. （共 14 分） 解：（I）取BD中点O，联结AO, 1 C O BDAO， 1 BDC O. -2 分 又AO, 1 C O 1 AC O 平面 1 B DA C O 平面 . - 4 分 又 11 ACAC O 平面 1 B DA C - 5 分 （II） 数学 第 6 页（共 6 页） 二面角 1 ABDC是直二面角 1 90COA 1 C OAO 1 ,OA OB OC 两两垂直 -6 分 以O为原点，如图建系： (0,0,0)O，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(
16、0, 1,0)D， 1(0,0,1) C 又,E F为中点 1 1 (0, ) 2 2 E， 11 ( ,0, ) 22 F 11 ( ,1, ) 22 DF ， 3 1 (0, ) 2 2 DE -8 分 设( , , )nx y z是平面DEF的一个法向量 11 0 22 31 0 22 DF nxyz DE nyz 令1y 得3,1zx (1,1,3)n -11 分 又 1 OCABD 平面 平面ABD的一个法向量 1 (0,0,1)OC -13 分 1 1 1 cos, n OC n OC nOC = 3 11 11 平面DEF与平面ABD所成的锐二面角余弦值为 3 11 11 -14
17、 分 18.（本题 15 分） 解：（I）根据甲班的统计数据可知： 甲班每天学习时间在 5 小时以上的学生频率为0.50.250.050.8-2 分 所以，估计高三年级每天学习时间达到 5 小时以上的学生人数 为6000.8480人 -4 分 （II）甲班级自主学习时长不足 4 小时的人数为：400.052人 乙班级自主学习时长不足 4 小时的人数为：400.14人 -6 分 数学 第 6 页（共 6 页） X的可能值为：0,1,2 3 4 3 6 1 (0) 5 C P x C , 12 24 3 6 3 (1) 5 C C P x C , 21 24 3 6 1 (2) 5 C C P x
18、 C -9 分 的分布列为： X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 X的数学期望为 131 ( )0121 555 E x -12 分 (III) DD 甲乙 -15 分 19.（本题 14 分） （I）1a 时， 2 ( ) x f xex( )2 x fxex （或在这里求的( )2 x fxeax也可以） -2 分 0 (0)01fe， 0 (0)01kfe -4 分 所求切线方程为1yx -5 分 （II）方法一：( )2 x fxeax. 若 2 ( ) x f xex在(0,)上单调递增，则对任意(0,)x，都有( )0fx-6 分 即 2 x e a x 恒成立，等价于 m
19、in () 2 x e a x -7 分 设( ) 2 x e g x x ，则 2 (1) ( ) 2 x ex g x x ， -8 分 令( )0g x得1x 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x在(0,1)上单调递减； 当(1,)x时，( )0g x，( )g x在(1,)上单调递增， 所以函数( )g x的最小值为 e (1) 2 g -11 分 数学 第 6 页（共 6 页） 所以, 2 e a -12 分 方法二：( )2 x fxeax 若 2 ( ) x f xex在(0,)上单调递增，则对任意(0,)x，都有( )0fx-6 分 等价于 min ( )0fx 设(
20、 )2 x h xeax，( )2 x h xea 当(0,)x时，1 x e -7 分 分类讨论：当21a ，即 1 2 a 时，( )0h x恒成立， 所以( )2 x h xeax在(0,)x上单调递增， 那么( )(0)1h xh， 所以 1 2 a 时，满足( )0fx -8 分 当21a ，即 1 2 a 时，令( )20 x h xea，得ln2xa 当(0,ln2 )xa时，( )0h x，( )h x在(0,ln2 )xa上单调递减； 当(ln2 ,)xa时，( )0h x，( )h x在(ln2 ,)xa上单调递增； 所以函数( )h x的最小值为(ln2 )2 (1 ln
21、2 )haaa -10 分 由2 (1ln2 )0aa解得 2 e a ，所以 1 22 e a -11 分 综上：, 2 e a -12 分 （III） 2 个 -14 分 20. （本题 14 分） （I）由题意得 222 22 2 c a abc 解得2,3,1abc -3 分 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy -5 分 数学 第 6 页（共 6 页） （II）(1,0)F，( 2,0)A ，直线l的方程为(1)yk x -6 分 由 22 (1) 3412 yk x xy 得 2222 (34)84120kxk xk. 直线l过椭圆C的焦点，显然直线l椭圆C相交. 设 11 (
22、,)P x y， 22 (,)Q xy，则 2 12 2 8 34 k xx k , 2 12 2 412 34 k xx k -8 分 直线AP的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ，令4x ，得 1 1 6 2 M y y x ； 即 1 1 6 (4,) 2 y M x 同理： 2 2 6 (4,) 2 y N x -10 分 1 1 6 (3,) 2 y FM x ， 2 2 6 (3,) 2 y FN x 又 12 12 36 9 (2)(2) y y FM FN xx -11 分 = 12 12 36 (1)(1) 9 (2)(2) k xk x xx = 2 1212 12
23、12 36()1 9 2()4 kx xxx x xxx = 22 2 22 22 22 4128 36(1) 3434 9 41216 4 3434 kk k kk kk kk = 2 2 2 2 9 36 34 9 36 34 k k k k =990 以MN为直径的圆恒过点F. -14 分 21. （本题 14 分） 解：（I） 1 4d ， 2 5d ， 3 2d -3 分 （II）因为 1 0a ，公比01q， 所以 12 , n aaa是递减数列 因此，对1, 2,1in， 1 , iiii AaBa -5 分 于是对1, 2,1in， 数学 第 6 页（共 6 页） 1iiiii
24、 dBAaa 1 1( 1) i a qq -7 分 因此 0 i d 且 1i i d q d （1,2,2in）， 即 121 , n ddd 是等比数列 -9 分 (III) 设d为 121 , n d dd 的公差，则0d 对12in ，因为 1ii BB， 所以 1111iiiiiiiiii ABdBdBddBdA ，即 1ii AA -11 分 又因为 11 min, iii AA a ，所以 11iiii aAAa 从而 121 , n a aa 是递减数列因此 ii Aa（1,2,1in）-12 分 又因为 111111 +BAdada，所以 1121n Baaa 因此 1n aB 所以 121nn BBBa iiiini aABdad 因此对1,2,2in都有 1+1iiii aaddd ， 即 121 , n a aa 是等差数列 -14 分
