1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值 第三三章 定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大值点极大值点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小值点极小值点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点.一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法注意注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx为极大值点52,x
2、x为极小值点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如,1x为极大值点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点,函数12xOy12定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,;)(0取极小值在则xxf(2)(xf“左左负负右右正正”,.)(0取极大值在则xxf(自证)例例1.求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx352
3、35xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大值点，其极大值为0)0(f是极小值点，其极小值为52x33.0)(52f定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值.)(xf0 x证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0
4、 xxxf时，故当00 xxx;0)(xf时，当00 xxx,0)(xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.例例2.求函数1)1()(32 xxf的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1O定理定理3(判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0
5、)(0)(xfn则:数,且1)当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点;,0)(0)(时xfn0 x是极大点.2)当 为奇数时,n0 x为极值点,且0 x不是极值点.)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,0 xx故结论正确.证证:利用 在 点的泰勒公式,)(xf0 x可得例如例如,例2中1)1()(32 xxf,)35(24)(2 xxxf0)1(f所以1x不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这
6、些充分条件不满足时,不等于极值不存在.1xy1O例如例如,例2中1)1()(32 xxf,)35(24)(2 xxxf0)1(f所以1x不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如例如:)(xf,)sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.1xy1O二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,)
7、(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3.求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.解解:显然,)(2541Cxf且)(xf,)1292(
8、23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2,1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5)1(f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx412512xyO因此也可通过例例3.求函数说明说明:)()(2xfx)(x求最值点.)(xf与最值点相同,由于)(x令(自己练习)xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.(k 为某常数)例例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选
9、定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运为使货物从B 运到工 20AB100C解解:设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小值点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费厂C 的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?Dkm,公路,价之比为3:5,例例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw,)(2
10、261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例8.设某工厂生产某产品 x 千件的成本是解解:售出 x 千件产品的利润为)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)(xp586.0221x问是否3)(xxC,1562xx,9)(xxRxxx6623,126)(xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2=3.414千件处达到最大利润,而在 x1=0.586千件处发生局部最大亏损
11、.y)(xp22Ox22)24(32xx414.3222x说明说明：在经济学中)(xC称为边际成本)(xR称为边际收入)(xp称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上,0)(xp即边际收入边际成本（见右图）22yOx22xxxxC156)(23成本函数xxR9)(收入函数)()(xCxR即收益最大亏损最大F用开始移动,例例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 F 作解解:克服摩擦的水平分力cosFFx正压力sin5FgFPycosF)sin5(Fg 即,sincos5gF,02令sincos)(则问题转化为求)(的最大值问题.,25.0设摩擦系数问力F 与水平面
12、夹角 为多少时才可使力F 的大小最小?Pcossin)(sincos)(令,0)(解得arctan25.0arctan214,0)(而,)(214取最大值时因而 F 取最小值.解解:即令则问题转化为求的最大值问题.,sincos5gF,02sincos)()(FP清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于x解解:设观察者与墙的距离为 x m,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,
13、观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最4.18.1内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3)第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf(4)判别法的推广最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习思考与练习2.连续函数的最值1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点
14、a 处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性2.设)(xf在0 x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.3.设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:,)(代入方程将
15、xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 作业作业P162 3;4(2)13;15;16 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解解:)(xf由题意应有0)(32 f2a又)(xf2233()2sinf 时取得极大值：在2)(axf3)(32f 1.,3coscosxxa)(3cos)cos(3232a,3sin3sin2xx 0求出该极值,并指出它是极大即0121a上的在 1,0)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1()().(limnMn解解:)(xf,0)(xf令内的唯一驻点得)1,0()1(1)1(1xnxnn2.nxn)1(1)1(nxnxn,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1e1)111(limnnn11nx
