1、弹性力学简明教程弹性力学简明教程 徐芝纶徐芝纶 建筑与土木工程学院建筑与土木工程学院 我们已经学习了理论力学、材料力学、 结构力学 能实现哪些工程问题的 力学分析呢？ 门式钢架 桁架 挡土墙 大坝 地基 材料力学、结 构力学解决不 了非杆状结构 的力学分析， 如板和壳，以板和壳，以 及挡土墙、堤及挡土墙、堤 坝、地基等实坝、地基等实 体结构，则在体结构，则在 弹性力学里加弹性力学里加 以研究。以研究。 1 11 1 弹性力学的内容弹性力学的内容 出发点：出发点：从最一般的基本假设出发从最一般的基本假设出发 手段：手段：分析数学分析数学 任务：任务：研究一般研究一般弹性体由于外力作用弹性体由于外
2、力作用、边边 界约束或温度改变等原因而发生的应力界约束或温度改变等原因而发生的应力、 变形和位移变形和位移 结果：结果：得到具体问题的一般性解答得到具体问题的一般性解答(逐点逐点) 弹性力学的手段、任务和方法弹性力学的手段、任务和方法 弹性力学、材料力学及结构力学的关系弹性力学、材料力学及结构力学的关系 一、研究对象一、研究对象 材料力学材料力学: 主要研究杆状主要研究杆状构件构件截面、内力截面、内力。 弹性力学弹性力学：主要研究：主要研究实体结构实体结构、板壳结构。对杆状、板壳结构。对杆状 构件作进一步的、精确的分析。构件作进一步的、精确的分析。一般不再考虑内力一般不再考虑内力 结构力学结构
3、力学：主要研究：主要研究杆系杆系的内力、位移的内力、位移 弹性力学：考虑弹性力学：考虑理想弹性体，理想弹性体，课程中简称为课程中简称为物体物体 理论力学理论力学：考虑考虑刚体刚体有时简化为质点有时简化为质点 二、研究的出发点所采用的假设 弹力弹力：物理问题基本假设力学模型：物理问题基本假设力学模型 数学模型解答。精确分析和精确结果数学模型解答。精确分析和精确结果 材力材力：附加简化假设例如平截面假设、：附加简化假设例如平截面假设、 剪力分布假设等。剪力分布假设等。 结构力学结构力学：附加简化假设例如分层法忽：附加简化假设例如分层法忽 略各层框架相互影响略各层框架相互影响 假设不同求解难度不同；
4、结果的复杂程度也不同假设不同求解难度不同；结果的复杂程度也不同 工程应用工程应用( (设计设计) )和理论研究的和理论研究的思维方式思维方式不同不同 x y x y z q x y q 2 ) 2 1)(1 ( 2h y h yq y ) 5 3 4( 2 2 h y I h y q My Z bI QS z y M Iz 0 ; y zb I Qs 材力公式成立的条件材力公式成立的条件: ； 梁的垮长；梁的垮长；梁高；梁高； 三、研究结果对比 1 12 2 基本概念基本概念 弹性力学的基本量 外力体力、面力 内力：包括力和力矩(在弹力中不特别关注) 应力正应力和剪应力共6个 应变 正应变和剪
5、应变共6个 位移 共三个 所有变量都是逐点定义的坐标的连续函数 后面要建立这些量之间的关系基本方程 1 12 2 基本概念基本概念 一. 外力 1.1.体积力体积力( (体力体力) )：连续分布在物体内部各点上的：连续分布在物体内部各点上的 力。如重力、惯性力力。如重力、惯性力; ; 物体外部因素对物体作用所产生的力物体外部因素对物体作用所产生的力 a a）定义：）定义： )/(lim 3 0 mNfff V T zyx V F f x y z 正负号规定：指向坐标轴正正负号规定：指向坐标轴正 向为正向为正，反之为负反之为负。 2 2、面力：分布在物体表面上的外力。、面力：分布在物体表面上的外
6、力。 (1)(1)、面力分布集度、面力分布集度 作用在表面一点处的面力作用在表面一点处的面力: : )/(,lim 2 0 mNfff S T zyx S F f 正负号规定：指向坐标轴正向为正正负号规定：指向坐标轴正向为正，反之为负反之为负。 F Q Sx y z o 二. 内力 1.内力包括力和力矩 2.内力同时与位置和截面有关 物体本身不同部分之间相互作用的力物体本身不同部分之间相互作用的力 F F x y z 3.弹性力学中， 内力是应力的 积分，不作为 独立的变量存 在。一般不特 别考虑内力。 一点处应力的一般定义 1.应力定义为内力的极限 2.应力是逐点定义的。 3.一个点处截面不
7、同，应 力就不同。 4.每一个截面上有一个正 应力和一个剪应力 后面将证明在一个点处6个 应力分量可以完全地表达 任意方向上的应力。这6个 应力分量构成一点的应力 状态。 A A F p 0 lim xy xz yx zx yz zy x y z x y z 二、内力和应力（内力的集度）二、内力和应力（内力的集度） 2 2、应力、应力 1.1.内力：（采用截面法求解）内力：（采用截面法求解） 外法线方向与坐外法线方向与坐 标轴同向的面称为标轴同向的面称为 正面正面, 反之为负面。反之为负面。 (1)(1)应力分量应力分量应力沿三个坐标轴的分量。应力沿三个坐标轴的分量。 (2)(2)记号：每个面
8、上一个正应力，两个剪应力；记号：每个面上一个正应力，两个剪应力； zxyzxyzyx , x y z 第一角标第一角标表示所在面的外法线方向。表示所在面的外法线方向。 第二角标第二角标表示应力分量的方向。表示应力分量的方向。 (3)(3)正负号规定：正负号规定： a a）正面正向为正。）正面正向为正。 b)b) 负面负向为正。负面负向为正。 根据剪应力互等定律可得出：根据剪应力互等定律可得出： xy xy= = yx yx， ， xz xz= = zx zx， ， zy zy= = yz yz ； ；所以独立的应力分量的个数是六个。所以独立的应力分量的个数是六个。 注意：正应力的正负规定与材力
9、相同,剪应力不同剪应力不同。 (4)(4)应力分量的个数：共应力分量的个数：共9 9个。个。 zxyzxyzzyyxxzxyzxyzyx , xy xz yx zx yz zy x y z x y z x y z 三、应变三、应变： 1.1.线应变线应变: : 过该点取三个正交微分线段研究过该点取三个正交微分线段研究,如图所示如图所示： dx dx dy dy y dz dz z x y z dx dy dz dz dy dx (1)(1)应变分量应变分量 沿沿x方向方向 沿沿y y方向方向 沿沿z z方向方向 线应变符号规定线应变符号规定 伸长为正缩短为负伸长为正缩短为负。( (与正应力的正
10、负号规定相对应）与正应力的正负号规定相对应） 沿两个坐标轴正向之间的直角变小为正沿两个坐标轴正向之间的直角变小为正, ,变大变大 为负。（与剪应力正负号规定相对应）为负。（与剪应力正负号规定相对应） 之间与 之间与 之间与 dxdz dzdy dydx zx yz xy zxyzxy x 、 (1)(1)剪应变分量剪应变分量 角度的变化与材料力学相同。角度的变化与材料力学相同。 2 2、剪应变：、剪应变： (2)(2)剪应变符号规定剪应变符号规定 所以应变分量共有六个所以应变分量共有六个: : xd dy 剪应变剪应变 四四. .位移位移 1.1.一点的位移一点的位移 (1) 位移分量位移分量
11、: 坐标轴正向为正坐标轴正向为正, ,负向为负。负向为负。 wz vy ux : : : 方向沿 方向沿 方向沿 u v w x y z (2)(2)位移的符号规定位移的符号规定 物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材 料的物理常数。料的物理常数。 应力、应变、位移共应力、应变、位移共1515个。个。 五五. .已知量和待求量已知量和待求量 (1)(1)已知量已知量 (2)(2)待求量待求量 1 13 3 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 一、理想弹性体假设一、理想弹性体假设 1.1.连续性假设连续性假设连续介质力学连续介质力学的根本假设的根本
12、假设 3.3.均匀性假设均匀性假设复合材料力学不满足这个假设复合材料力学不满足这个假设 作用：作用： 变量连续变化变量连续变化 连续函数连续函数 4. 4. 各向同性假设各向同性假设对各向异性材料需要修改对各向异性材料需要修改 可取任意单元体代表所有点可取任意单元体代表所有点 作用：均匀作用：均匀 2.2.完全弹性假设完全弹性假设弹性力学与塑性力学的差异弹性力学与塑性力学的差异 物体受力与变形之间的关系符合线性关系。引起变形的力物体受力与变形之间的关系符合线性关系。引起变形的力 消除，变形消失消除，变形消失。 物质毫无空隙地充满了物体的几何空间；物质毫无空隙地充满了物体的几何空间； 物体内任取
13、两点的物质构成物体内任取两点的物质构成及物性都相同；及物性都相同； 物体内任一点材料沿着各个方向的弹性性质相同。加载与物体内任一点材料沿着各个方向的弹性性质相同。加载与 卸载的弹性规律相同卸载的弹性规律相同 二二. . 小变形假设小变形假设 三三. .自然状态假设自然状态假设 应变、位移是微小应变、位移是微小- -这个假设导致问题的简化这个假设导致问题的简化： 1 1物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于。 2 2研究研究平衡条件时，仍采用变形前尺寸，忽略载荷位置的改变，平衡条件时，仍采用变形前尺寸，忽略载荷位置的改变，
14、 3 3研究应变位移时，可忽略高阶微量。研究应变位移时，可忽略高阶微量。 4 4得到线性方程，可以应用叠加原理。得到线性方程，可以应用叠加原理。 物体在外力作用前，没有初应力。物体在外力作用前，没有初应力。 应力和位移与外力应力和位移与外力( (体力和面力体力和面力) )是是1 11 1对应的。对应的。 修改这个假设修改这个假设得到几何非线性问题得到几何非线性问题 弹性力学课程的内容纲要 理论部分 基本方程：平衡方程、物理、几何、协调 解法：位移法、力法；能量法变分原理 应力(应变)分析：一点的应力状态、不变量(主应力) 圣维南原理、唯一性定理、各种能量定理。 应用部分 平面问题：平面应力、平面应变。孔口问题 空间问题：半空间问题和扭转问题 梁/板/壳问题：两个自由度的梁；薄板(壳)；厚板(壳) 方程的汇总 0 yx xzx x f xyz 0 xyyzy y f xyz 0 yz xzz z f xyz x w z u z v y w y u x v z w y v x u xzyzxy zyx , , )( 1 )( 1 )( 1 yxzz xzyy zyxx E E E xyxy zxzx yzyz E E E )1 (2 )1 (2 )1 (2 作业 13；1-8(斜边为外表面) 注意：体力画到重心、面力画在外表面
