1、第2章 随机变量及其分布 2.1 验证性实验 2.2 设计性试验 2.3 综合性实验第2章 随机变量及其分布【随机变量及其分布简介】随机变量的产生是概率论发展史中的重要事件，用随机变量来描述随机现象是近代概率论中最重要的方法。随机变量的出现使得概率论的研究对象从个别的事件扩大为全面地刻画了随机试验结果的一个函数。对于随机变量，重要的是要知道它可以取哪些值以及以多大的概率取这些值，为此引进了分布函数、概率密度、分布律等概念。分布函数完整地刻画了随机变量，而且具有良好的性质，因此是研究随机变量的重要工具。分布律和概率密度是分别描述离散型随机变量和连续型随机变量的重要概念，它们二者有着相似的性质和作
2、用，在后面计算随机变量的数字特征以及进行参数估计和假设检验都会经常用到。2.1 验证性实验实验一 常见分布的概率密度、分布函数生成【实验目的】1.会利用 Matlab 软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值,以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律)2.会利用 Matlab 软件计算分布函数值,或计算形如事件Xx的概率3.会求上分位点以及分布函数的反函数值【实验要求】1掌握常见分布的分布律和概率密度的产生命令，如binopdf，normpdf等2掌握常见分布的分布分布函数命令，如binocdf，normcdf等3掌握常见分布的分布分布函数反函数命令，如binoinv，norm
3、inv等【实验内容】1.事件 A 在每次试验中发生的概率是 0.3，计算（1）在 10 次试验中 A 恰 好发生 6 次的概率；（2）生成事件A发生次数的概率分布；（3）在 10 次试验中 A 至少发生 6 次的概率；（4）设事件A发生次数为X，且X的分布函数为F(x)，求F(6.1)；又已知F（x）=0.345，求x。1（1）binopdf(6,10,0.3)运行结果为：ans=0.0368（2）binopdf(0:10,10,0.3)运行结果为：ans=Columns 1 through 8 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368
4、0.0090 Columns 9 through 11 0.0014 0.0001 0.0000（3）binocdf(6,10,0.3)运行结果为：ans=0.98944（4）binocdf(6.1,10,0.3)运行结果为：ans=0.9894 binoinv(0.345,10,0.3)运行结果为：ans=2或者：icdf(bino,0.345,10,0.3)运行结果为：ans=22 设随机变量 X服从参数是 3 的泊松分布，求（1）概率 PX=6；（2）X的分布律前七项；（3）设X的分布函数为F(x)，求F(6.1)；又已知F（x）=0.345，求x。（1）poisspdf(6,3)运行结
5、果为：ans=0.0504（2）poisspdf(0:6,3)运行结果为：ans=0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 0.0504（3）poisscdf(6.1,3)运行结果为：ans=0.9665 poissinv(0.345,3)运行结果为：ans=2或者：icdf(poiss,0.345,3)运行结果为：ans=23设随机变量 X服从区间2,6上的均匀分布，求（1）X=4 时的概率密度值；（2）PX5；（3）若PXx=0.345，求x。(1)unifpdf(4,2,6)运行结果为：ans=0.2500 （2）unifcdf(5,2,6)运行
6、结果为：ans=0.7500（3）unifinv(0.345,2,6)运行结果为：ans=3.3800或者：icdf(unif,0.345,2,6)运行结果为：ans=3.38004设随机变量 X 服从参数是 6 的指数分布，求（1）X=0，1，2，3，4，5，6 时的概率密度值；（2）PX5；（3）若PXx=0.345，求x。（1）exppdf(0:6,6)运行结果为：ans=0.1667 0.1411 0.1194 0.1011 0.0856 0.0724 0.0613(2)expcdf(5,6)运行结果为：ans=0.5654（3）expinv(0.345,6)运行结果为：ans=2.5
7、387或者：icdf(exp,0.345,6)运行结果为：ans=2.53875设随机变量 X 服从均值是 6，标准差是2 的正态分布，求：（1）X=3，4，5，6，7，8，9 时的概率密度值；（2）X=3，4，5，6，7，8，9 时的分布函数值；（3）若PXx=0.345，求x；（4）求标准正态分布的上0.05分为点。（1）normpdf(3:9,6,2)运行结果为：ans=0.0648 0.1210 0.1760 0.1995 0.1760 0.1210 0.0648（2）normcdf(3:9,6,2)运行结果为：ans=0.0668 0.1587 0.3085 0.5000 0.691
8、5 0.8413 0.9332（3）norminv(0.345,6,2)运行结果为：ans=5.2023或者：icdf(norm,0.345,6,2)运行结果为：ans=5.2023（4）norminv(0.95,0,1)运行结果为：ans=1.6449或者：icdf(norm,0.95,0,1)运行结果为：ans=1.64496设随机变量 X服从自由度是 6的 t 分布，求（1）X=-3，-2，-1，0，1，2，3 的概率密度值；（2）X=-3，-2，-1，0，1，2，3 的分布函数值；（3）若PXx=0.345，求x；（4）求t分布的上0.05分为点。（1）tpdf(-3:3,6)运行结果
9、为：ans=0.0155 0.0640 0.2231 0.3827 0.2231 0.0640 0.0155（2）tcdf(-3:3,6)运行结果为：ans=0.0120 0.0462 0.1780 0.5000 0.8220 0.9538 0.9880（3）tinv(0.345,6)运行结果为：ans=-0.4187或者：icdf(t,0.345,6)运行结果为：ans=-0.4187（4）tinv(0.95,6)运行结果为：ans=1.9432或者：icdf(t,0.95,6)运行结果为：ans=1.94327设随机变量 X服从自由度为 6 的 卡方分布，求：（1）X=0，1，2，3，4，
10、5，6 时的概率密度值；（2）X=0，1，2，3，4，5，6 时的分布函数值；（3）若PXx=0.345，求x；（4）求该卡方分布的上0.05分为点。（1）chi2pdf(0:6,6)运行结果为：ans=0 0.0379 0.0920 0.1255 0.1353 0.1283 0.1120（2）chi2cdf(0:6,6)运行结果为：ans=0 0.0144 0.0803 0.1912 0.3233 0.4562 0.5768（3）chi2inv(0.345,6)运行结果为：ans=4.1603或者：icdf(chi2,0.345,6)运行结果为：ans=4.1603（4）chi2inv(0.
11、95,6)运行结果为：ans=12.5916或者：icdf(chi2,0.95,6)运行结果为：ans=12.59168设随机变量X服从第一自由度是2，第二自由度是6的F分布，求：（1）X=0，1，2，3，4，5，6 时的概率密度值；（2）X=0，1，2，3，4，5，6 时的分布函数值；（3）若PXx=0.345，求x；（4）求该f分布的上0.05分为点。（1）fpdf(0:6,2,6)运行结果为：ans=0 0.3164 0.1296 0.0625 0.0337 0.0198 0.0123（2）fcdf(0:6,2,6)运行结果为：ans=0 0.5781 0.7840 0.8750 0.9
12、213 0.9473 0.9630(3)finv(0.345,2,6)运行结果为：ans=0.4544或者：icdf(f,0.345,2,6)运行结果为：ans=0.4544（4）finv(0.95,2,6)运行结果为：ans=5.1433或者：icdf(f,0.95,2,6)运行结果为：ans=5.14339设（X，Y）服从均值向量为mu1=-1,2；协方差矩阵为：Sigma2=1，1；1，3的二维正态分布，求：（1）（X，Y）=(0，0)，（-1，2），（-2，3），（3，6）的联合概率密度值；（2）（X，Y）=(0，0)，（-1，2），（-2，3），（3，6）的联合分布函数值。（1）mu
13、1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;a=0,0;-1,2;-2,3;3,6;p=mvnpdf(a,mu1,Sigma2)运行结果为：p=0.0072 0.1125 0.0251 0.0000（2）mu1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;a=0,0;-1,2;-2,3;3,6;p=mvncdf(a,mu1,Sigma2)运行结果为：p=0.1228 0.3480 0.1518 0.9895实验二 随机数的生成【实验目的】1掌握常见分布的随机数产生的有关命令2掌握利用随机数进行随机模拟的方法【实验要求】掌握常见分布的随机数产生命令，如binornd，normrnd等1产生参数为 2
14、0,概率为 0.25 的二项分布的随机数。(1)产生 1 个随机数；(2)产生 7个随机数；(3)产生 21(要求 3 行7 列)个随机数。(1)binornd(20,0.25)运行结果为：ans=4（2）binornd(20,0.25,1,7)运行结果为：ans=4 7 3 7 7 5 7（3）binornd(20,0.25,3,7)运行结果为：ans=4 9 2 0 6 5 7 5 6 3 4 4 5 2 2 5 2 0 5 6 5 或者：random(bino,20,0.25,3,7)运行结果为：ans=2 9 5 1 3 4 4 3 4 2 5 3 7 1 5 4 9 6 7 6 42
15、产生7个服从参数为6的泊松分布的随机数。poissrnd(6,1,7)运行结果为：ans=3 10 5 9 3 4 6或者：random(poiss,6,1,7)运行结果为：ans=6 8 8 6 7 13 73产生区间(1,3)上的连续型均匀分布的随机数。(1)产生 66个随机数；(2)产生 21(要求 3 行7列)个随机数。（1）unifrnd(1,3,6)运行结果为：ans=2.0649 1.8077 1.4863 1.3516 2.2505 2.52482.4330 2.0971 1.3083 1.7207 2.0861 2.15211.3586 1.0975 2.9128 1.377
16、6 1.8781 2.49531.6731 2.1055 2.8713 1.0024 1.5749 2.29111.3754 1.5496 2.6374 1.6328 2.0033 1.24641.6439 1.4830 2.4565 2.3992 2.5231 2.0088（2）unifrnd(1,3,3,7)运行结果为：ans=1.6945 1.3963 2.3888 2.0646 2.8129 2.3429 1.11391.1843 2.3445 1.5136 1.5588 1.7854 2.6743 1.90061.2957 1.8630 1.0195 2.8925 1.0497 2.
17、9430 2.1649或者：random(unif,1,3,3,7)运行结果为：ans=2.9571 1.9324 1.4606 2.1998 2.0276 1.9198 2.61082.6972 1.6513 2.1598 1.8969 1.8155 1.9018 2.40171.1013 2.2604 2.2063 1.0708 1.2161 2.1023 2.74454产生服从均值为4，均方差为1的正态分布的随机数。（1）产生7个随机数；(2)产生 21(要求 3 行7列)个随机数。（1）normrnd(4,1,1,7)运行结果为：ans=3.5674 2.3344 4.1253 4.2
18、877 2.8535 5.1909 5.1892（2）normrnd(4,1,3,7)运行结果为：ans=3.9624 3.8133 6.1832 5.0668 3.1677 4.7143 4.8580 4.3273 4.7258 3.8636 4.0593 4.2944 5.6236 5.2540 4.1746 3.4117 4.1139 3.9044 2.6638 3.3082 2.4063或者：random(norm,4,1,3,7)运行结果为：ans=2.5590 4.6900 5.2902 2.7975 2.3959 5.4151 4.2193 4.5711 4.8156 4.668
19、6 3.9802 4.2573 3.1949 3.0781 3.6001 4.7119 5.1908 3.8433 2.9435 4.5287 1.82935产生8个自由度为6的卡方分布随机数。chi2rnd(6,1,8)运行结果为：ans=5.1424 2.6667 7.6024 7.1694 12.9902 7.5069 3.4954 6.6744或者：random(chi2,6,1,8)运行结果为：ans=2.6698 5.2699 5.1774 5.3335 4.3611 9.7685 1.2556 6.85766产生8个自由度为6的t分布随机数。trnd(6,1,8)运行结果为：an
20、s=1.0430 1.3270 0.6596 0.0413 0.6541 0.4096 -0.3031 -0.3345或者：random(t,6,1,8)运行结果为：ans=0.8828 0.8897 -1.0245 0.2770 0.3027 -0.9386 -1.0875 0.91957产生8个第一和第二自由度分别为6和8的F分布随机数。frnd(6,8,1,8)运行结果为：ans=1.1961 0.5528 1.4597 0.7238 0.1980 3.3642 1.2749 0.5938或者：random(f,6,8,1,8)运行结果为：ans=0.7251 0.8139 1.2148
21、 0.5087 0.7516 1.8000 1.0534 1.04208产生8个离散的均匀分布随机数（1到10之间）。unidrnd(10,1,8)运行结果为：ans=9 6 6 3 7 8 5 5或者：random(unid,10,1,8)运行结果为：ans=5 3 7 10 10 8 3 79设（X，Y）服从均值向量为mu1=-1,2；协方差矩阵为：Sigma2=1，1；1，3的二维正态分布，产生该分布的10个随机点。mu1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;mvnrnd(mu1,Sigma2,10)运行结果：ans=-1.8147 0.1681 -0.0100 2.6789 -2.
22、7817 1.0315 -1.0440 2.1966 -0.1098 2.1891 -1.4561 3.2447 -2.9037 -0.0622 -1.3921 2.4038 -2.1070 0.8496 0.7575 1.8867实验三 概率作图【实验目的】1.熟练掌握Matlab软件的关于概率分布作图的基本操作2.会进行常用的概率密度函数和分布函数的作图3.会画出分布律图形【实验要求】1.掌握Matlab的画图命令plot2.掌握画常见分布的概率密度图像和分布函数图像的方法1.事件 A 在每次试验中发生的概率是 0.3，记10次试验中A发生的次数为X。（1）画出X的分布律图形；（2）画出X
23、的分布函数图形。（1）x=0:10;y=binopdf(x,10,0.3);plot(x,y,.)运行结果为：图2.1 二项分布分布律图形（2）x=0:0.01:10;y=binocdf(x,10,0.3);plot(x,y)运行结果为：01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2.2 二项分布分布函数图形2.设随机变量 X服从参数是 3 的泊松分布。（1）画出X的分布律图形；（2）画出X的分布函数图形。（1）x=0:10;y=poisspdf(x,3);plot(x,y,.)运行结果为：01234567891000.050.10.150.20.25图
24、2.3 泊松分布分布律图形（2）x=0:0.01:10;y=poisscdf(x,3);plot(x,y)运行结果为：图2.4 泊松分布分布函数图形3设随机变量 X服从区间2,6上的均匀分布。（1）画出X的概率密度图形；（2）画出X的分布函数图形。（1）x=0:0.01:10;y=unifpdf(x,2,6);plot(x,y,*)运行结果为：01234567891000.050.10.150.20.25图2.5 均匀分布概率密度图形(2)x=0:0.01:10;y=unifcdf(x,2,6);plot(x,y)运行结果为：01234567891000.10.20.30.40.50.60.7
25、0.80.91图2.6 均匀分布分布函数图形4设随机变量 X 服从参数是 6 的指数分布。（1）画出X的概率密度图形；（2）画出X的分布函数图形。（1）x=0:0.01:10;y=exppdf(x,6);plot(x,y)运行结果为：0123456789100.020.040.060.080.10.120.140.160.18图2.7指数分布概率密度图形（2）x=-1:0.01:10;y=expcdf(x,6);plot(x,y)运行结果为：-2024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.9图2.8 指数分布分布函数图形5设随机变量 X 服从均值是 6，标准差是2 的正
26、态分布。（1）画出X的概率密度图形；（2）画出X的分布函数图形；（3）在同一个坐标系中画出均值为-3，3，5，方差为2的正态分布概率密度图形；（4）在同一个坐标系中画出均值为6，方差为1，2，3的正态分布概率密度图形。（1）x=-10:0.01:10;y=normpdf(x,6,2);plot(x,y)运行结果为：-10-8-6-4-2024681000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2图2.9正态分布分布概率密度图形（2）x=-10:0.01:10;y=normcdf(x,6,2);plot(x,y)运行结果为：-10-8-6-4-2024681000
27、.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2.10 正态分布分布函数图形（3）x=-10:0.01:10;y1=normpdf(x,-3,2);y2=normpdf(x,3,2);y3=normpdf(x,5,2);plot(x,y1,x,y2,x,y3)运行结果为：-10-8-6-4-2024681000.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2图2.11方差相等，均值不等的正态分布概率密度函数图形（4）x=0:0.01:13;y1=normpdf(x,6,1);y2=normpdf(x,6,2);y3=normpdf(x,5,3);plot(x
28、,y1,x,y2,x,y3)运行结果为：0246810121400.050.10.150.20.250.30.350.4图2.12均值相等，方差不等的正态分布概率密度函数图形6设随机变量 X服从自由度是 6的 t 分布。（1）画出X的概率密度图形；（2）画出X的分布函数图形。（1）x=-10:0.01:10;y=tpdf(x,6);plot(x,y)运行结果为：-10-8-6-4-2024681000.050.10.150.20.250.30.350.4图2.13 t分布的概率密度图形（2）x=-10:0.01:10;y=tcdf(x,6);plot(x,y)运行结果为：-10-8-6-4-2
29、024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2.14 t分布的分布函数图形7设随机变量 X服从自由度为 6 的 卡方分布。（1）画出X的概率密度图形；（2）画出X的分布函数图形。（1）x=0:0.01:10;y=chi2pdf(x,6);plot(x,y)运行结果为：01234567891000.020.040.060.080.10.120.14图2.15 卡方分布的概率密度图形（2）x=0:0.01:10;y=chi2cdf(x,6);plot(x,y)运行结果为：01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9图2.16 卡方分
30、布的分布函数图形8设随机变量X服从第一自由度是2，第二自由度是6的F分布。（1）画出X的概率密度图形；（2）画出X的分布函数图形。（1）x=0:0.001:10;y=fpdf(x,2,6);plot(x,y)运行结果为：01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2.17 F分布的概率密度图形（2）x=0:0.001:10;y=fcdf(x,2,6);plot(x,y)运行结果为：01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2.18 F分布的分布函数图形9设（X，Y）服从均值向量为mu1=-1,2；协方差矩阵为：S
31、igma2=1，1；1，3的二维正态分布，产生该分布的10个随机点。（1）画出（X，Y）的联合概率密度图形；（2）画出（X，Y）的联合分布函数图形。（1）mu1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4);xy=X(:)Y(:);p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2);P=reshape(p,size(X);surf(X,Y,P)运行结果为：图2.19 二维正态分布联合概率密度图（2）mu1=-1,2;Sigma2=1 1;1 3;X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4);xy=X(:)Y(:);p=mv
32、ncdf(xy,mu1,Sigma2);P=reshape(p,size(X);surf(X,Y,P)运行结果为：-3-2-101-202400.20.40.60.81图2.20 二维正态分布联合分布函数图2.2 设计性实验实验一 服务窗口设置问题【实验目的】1.加深对二项分布的理解2.掌握二项分布在实际问题中的应用方法3.掌握Matlab软件在数值计算中的应用【实验要求】1.了解建立Matlab M文件的方法，理解循环语句forend和假设语句ifend2.了解简单的Matlab程序设计【实验内容】某居民小区有 个人,设有一家银行，开个服务窗口,每个窗口均办理所有业务。太小则经常排长队，太大
33、又不经济。假设在任一指定的时刻，这 个人中每一个人是否去银行是相互独立的，每个人在银行的概率是。现在要求“在营业中任一时刻每个窗口的排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过”这个事件的概率不小于(一般取0.80、0.90或0.95)，则至少需要开多少个窗口?设小区中的n个人在同一时刻去银行的人数为X，则由题意，X服从试验次数为n，概率为p的二项分布，其分布律为：则事件“在营业中任一时刻每个窗口的排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过”的概率为：因此，问题转化为：寻求最小的自然数m，使得下面的不等式成立：nkppCkXPknkkn,.2,1,0,)1(knkknmskppCsXPp)1(m0下
34、面以n=200，s=3，p=0.1，=0.95来寻求自然数m。1最优窗口设置的理论值计算：在Matlab的Medit窗口建立minwindowm文件：n=200;s=3;p=0.1;a=0.95;for m=1:15 l=0;for k=0:m*s l=l+nchoosek(n,k)*pk*(1-p)(n-k);end fprintf(l(%d)=%d.n,m,l);end运行结果为：l(1)=1.460788e-006.l(2)=1.481125e-004.l(3)=3.528566e-003.l(4)=3.204653e-002.l(5)=1.430754e-001.l(6)=3.7241
35、95e-001.l(7)=6.483522e-001.l(8)=8.551060e-001.l(9)=9.565715e-001.l(10)=9.904917e-001.l(11)=9.984631e-001.l(12)=9.998142e-001.l(13)=9.999830e-001.l(14)=9.999988e-001l(15)=9.999999e-001.由以上数据可以看出，随着m的增大，概率逐渐增大，概率大于0.95的最小m值为9。或者也可以直接用函数binoinv计算，速度更快。binoinv(0.95,200,0.1)运行结果为：ans=27即：ms=27，所以m=9。2最优窗
36、口的设置的计算机模拟计算：在Matlab的Medit窗口建立文件minwindows2m：p=0.1;n=200;s=3;zcs=1000;alpha=0.95;for m=1:15 b=0;for j=1:zcsa=0;for i=1:nx=binornd(1,p);if x=1 a=a+1;endend if a 31/1821ans=0.0170 norminv(0.983,0,1)ans=2.1201 194/ansans=91.50632.计算排名 normcdf(90/91.5,0,1)ans=0.8373 1-normcdf(90/91.5,0,1)ans=0.1627 ans*
37、1821ans=296.1938实验三 高尔顿钉板试验【实验目的】1.加强对正态分布的理解2.了解独立同分布的中心极限定理3.掌握Matlab软件在计算机模拟中的应用【实验要求】1 了解建立Matlab M文件的方法，理解循环语句forend和假设语句ifend2了解简单的Matlab程序设计，掌握用Matlab处理实际问题的能力 图2.21中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，每排钉子等距排列，下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间。假设有 排钉子，从入口处放入小圆珠，由于钉板斜放，珠子在下落过程中碰到钉子后以0.5的概率滚向左边，也以0.5的概率滚向右边。如果 较大，可以看到许多珠子从A处
38、滚到钉板底端的格子中，堆成的曲线近似于正态分布曲线。图2.21高尔顿钉板试验图分析并解释这种现象；如果圆珠下落到第二排后向左和向右滚落的概率改变，则结果会如何改变？用Matlab模拟这个试验，并验证理论结果。轧钢中的浪费问题【实验目的】1.学会利用概率密度及期望和方差的有关知识解决实际问题2.掌握利用Matlab软件解决极值计算问题3.掌握Matlab软件在数值计算中的应用【实验要求】1.了解建立Matlab 函数的方法，理解循环语句forend和假设语句ifend2.掌握综合使用Matlab的命令处理综合性的实际问题的方法2.3 综合实验【实验内容】轧钢中的浪费问题：用连续热轧方法生产钢材一
39、般要经过两道工序，第一道是热轧（粗轧），形成钢材的雏形；第二道是冷轧（精轧），得到最后的成品。由于受设备、环境等方面随机因素的影响，钢材经热轧再冷轧后的长度大致上服从正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其均方差则是由设备的精度决定的，无法随意改变。冷轧时把多出规定长度的部分切除，但是，若热轧后的钢材已经比规定长度短，则整根钢材报废。冷轧设备的精度很高，轧出的成品材可以认为是完全符合规定长度要求的。根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度L=2米，热轧后钢材长度的均方差b0.1的条件下，确定热轧后钢材长度的均值m，使得当轧机调整到m进行热轧，再通过冷轧以得到成品材时的浪费最少。2画目标函
40、数的图形：在Matlab的Medit窗口建立文件figerm：for m=1.95:0.0001:4 J=Jmin(m);plot(m,J)hold onend运行结果为：图2.24 目标函数的图形从目标函数的图形可以看出，函数在2到2.5内取得最小值，而且当自变量向2逼近时，函数图像值急剧上升，自变量从2.3开始以后，函数图像接近于一条直线。3目标函数的最小值和最小值点的计算：在Matlab的Medit建立文件minwastem：min=100;minm=0;for m=1.95:0.0001:4 J=Jmin(m);if J=min min=J;minm=m;endendwasteaverage=min-2;minm,min,wasteaverage运行后运行结果为：min=2.2502minm=2.2095min=2.2502wasteaverage=0.2502即当m=2.2095时，目标函数值最小，最小值为2.2502，此时，生产一根成品材所浪费钢材的平均长度J1=0.2502。
