1、 第十章第十章 压杆稳定压杆稳定 121 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 122 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式 123 超过比例极限时压杆临界应力超过比例极限时压杆临界应力 1212- -4 4 压杆的稳定校核及其合理截面压杆的稳定校核及其合理截面 121 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 构件的承载能力： 强度 刚度 稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。 P 一、稳定平衡与不稳定平衡一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 2. 稳定平衡 3. 稳定平衡和不稳定平衡 二、压杆失稳与临界压力二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想
2、；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡： 稳稳 定定 平平 衡衡 不不 稳稳 定定 平平 衡衡 3.压杆失稳： 4.压杆的临界压力 稳稳 定定 平平 衡衡 不不 稳稳 定定 平平 衡衡 临界状态临界状态 临界压力临界压力: : Pcr 过过 度度 对应的对应的 压力压力 122 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界力: : PyyxM),( 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。 y EI P EI M y 弯矩：弯矩： 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程： 0 2
3、ykyy EI P y EI P k 2 :其中 P P x P x y P M 微分方程的解： 确定积分常数： xBxAycossin 0)()0(Lyy 0cossin 00 : kLBkLA BA 即 0 cos sin 1 0 kLkL 0sin kL EI P L n k 临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。 2 min 2 L EI P cr 二、此公式的应用条件： 三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。 长度系数（或约束系数）。 两端铰支压杆临界力的欧拉公式两端铰支压杆临
4、界力的欧拉公式 压杆临界力欧拉公式的一般形式压杆临界力欧拉公式的一般形式 2 2 L EI P cr min 2 2 )( min L EI P cr 0.5l 表121 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 支承情况 两端铰支 一端固定 另端铰支 两端固定 一端固定 另端自由 两端固定但可沿 横向相对移动 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 Pcr A B l 临界力Pcr 欧拉公式 长度系数 2 2 l EI P cr 2 2 )7 . 0(l EI P cr 2 2 )5 . 0(l EI P cr 2 2 )2( l EI P cr 2 2 l EI P cr =1 0.7 =
5、0.5 =2 =1 Pcr A B l Pcr A B l 0.7l C C D C 挠曲 线拐点 C、D 挠 曲线拐点 0.5l Pcr Pcr l 2l l C 挠曲线拐点 P M kykyEI 22 MPyxMyEI )( EI P k 2 :令 kxdkxcysincos 0,; 0, 0 yyLxyyx 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为： 边界条件为: 例例1 1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力 公式。 P L x P M0 P M0 P M0 x P M0 nkLnkLd P M c 2, 0,并 2 2 2 2 )2 /( 4 L EI L EI P c
6、r 2kL 为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取： 所以，临界力为： 2 nkL = 0.5 压杆的临界力 例例2 求下列细长压杆的临界力。 , 12 3h b I y =1.0， 解：绕 y 轴，两端铰支： 2 2 2 L EI P y cry , 12 3 bh I z =0.7， 绕 z 轴，左端固定，右端铰支： 2 1 2 )7 . 0(L EI P z crz ) , min( crzcrycr PPP y z L1 L2 y z h b x 4912 3 min m1017. 410 12 1050 I 2 1 min 2 )(l EI P cr 48 min m108
7、9. 3 z II 2 2 min 2 )(l EI P cr 例例3 求下列细长压杆的临界力。 图(a) 图(b) 解：图(a) 图(b) kN14.67 )5 . 07 . 0( 20017. 4 2 2 kN8 .76 )5 . 02( 200389. 0 2 2 30 10 P L P L (4545 6) 等边角钢 y z 123 超过比例极限时压杆临界应力超过比例极限时压杆临界应力 A Fcr cr 一、一、 基本概念基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。 3.柔度： 2 2 2 2 2 2 )/()( E iL E AL EI A F cr cr 2.细长
8、压杆的临界应力： 惯性半径。 A I i ）杆的柔度（或长细比 i L 2 2 E cr 即：即： 4.大柔度杆的分界： Pcr E 2 2 欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P P P E 2 求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P 二、中小柔度杆的临界应力计算二、中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 PS 时： scr ba s s b a 界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps ba cr i L cr 界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临 S 2 2 E cr 临界应力总图 S 时： scr ba cr P S b a s s P P
9、 E 2 2.抛物线型经验公式 2 11 ba cr S c E AA 56. 0 43. 016 2 53 ，锰钢：钢和钢、对于 。时，由此式求临界应力 c 我国建筑业常用： Ps 时： 2 1 c scr s 时： scr 例例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式 求临界压力和安全系数。 4 1 2 1 cm63.23 ,cm367. 8 y IA zy II cm68. 1 367. 82 26.47 min A I i 1233.89 68.1 150 c i l 解：一个角钢： 两根角钢图示
10、组合之后 4 1min cm26.4763.2322 yy III 所以，应由抛物线公式求临界压力。 y z MPa7 .18) 123 3 .89 (43. 01 235)(43. 01 22 c scr kN304107 .18110367. 82 64 crcr AP 02. 2 150 304 P P n cr 安全系数 124 压杆的稳定校核及其合理截面压杆的稳定校核及其合理截面 一、压杆的稳定容许应力一、压杆的稳定容许应力: : 1.安全系数法确定容许应力: W cr W n 2.折减系数法确定容许应力: W 的函数。它是折减系数 , 二、压杆的稳定条件二、压杆的稳定条件: : W
11、 A P 例例6 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直 径为： d = 0.3m，试求此杆的容许压力。 80 3 . 0 461 i L xy 解：折减系数法 最大柔度 x y面内， =1.0 z y面内， =2.0 160 3 . 0 462 i L zy T1 A B W T2 x y z O W kN911011117. 0 4 3 . 0 6 2 WBCBC AP 求折减系数 求容许压力 117. 016030003000,80: 22 时木杆 四、压杆的合理截面四、压杆的合理截面: : i L 2 min 2 )( L EI P cr min A I i
12、 maxmin II 合 理 保国寺大殿的拼柱形式保国寺大殿的拼柱形式 1056年建，“双筒体”结构，塔身平面年建，“双筒体”结构，塔身平面 为八角形。经历了为八角形。经历了1305年的八级地震。年的八级地震。 4 1 4 1 0 2 1 cm6 .25,cm3 .198 ,cm52. 1,cm74.12 yz II zA 4 1 cm6 .3963 .19822 zz II )2 /( 2 2 011 azAII yy )2/52. 1 (74.126 .252 2 a 时合理即 2 )2/52. 1 (74.126 .253 .189 :a 例例7 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为 球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？ 解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。 两根槽钢图示组合之后， cm32. 4a P L z0 y y1 z C1 a 5 .106 1074.122 106 .396 67 . 0 2 67 . 0 4 8 1 A Ii L z 3 .99 10200 10200 6 922 P p E kN8 .443 )67 .00( 106 .396200 )( 2 2 2 2 l EI P cr 求临界力： 大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
