1、第第6 6章章 扭扭 转转 标题标题 第第6 6章章 扭扭 转转 6 6- -2 2、 扭矩计算和扭矩图扭矩计算和扭矩图 6 6- -1 1、扭转概念、扭转概念 6 6- -3 3、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 6 6- -4 4、圆轴扭转时的变形计算、圆轴扭转时的变形计算 6 6- -5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 6 6- -1 1、概述概述 汽车传动轴汽车传动轴 汽车方向盘汽车方向盘 6 6- -1 1、概述概述 丝锥攻丝丝锥攻丝 6 6- -1 1、概述概述 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方
2、向方向 相反且相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用 ( (扭转力偶扭转力偶) ), ,其相应的内力分量称为其相应的内力分量称为扭矩扭矩. .使使 杆件的横截面绕轴线产生相对转动杆件的横截面绕轴线产生相对转动( (扭转变扭转变 形形) )。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。扭转。 6 6- -1 1、扭转概念扭转概念 A B A B j j g g m m g g：剪切角剪切角 g g ( (剪应变剪应变) j j：相对扭转角相对扭转角 外力
3、偶作用平面和杆件横截面平行外力偶作用平面和杆件横截面平行 第一节第一节 概概 述述 扭转扭转 直接计算直接计算 1.1.外力偶矩外力偶矩 6 6- -2 2、扭矩计算和扭矩图、扭矩计算和扭矩图 按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算 电机每秒输入功：电机每秒输入功： 外力偶作功完成：外力偶作功完成： )N.m(1000 k PW 60 2 n MW e k P k P 已知已知: :轴转速轴转速n n 转转/ /分分 钟钟, ,输出功率输出功率P Pk k 千瓦千瓦 求：力偶矩求：力偶矩M Me e 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 T = Me 2.2.扭矩
4、和扭矩图扭矩和扭矩图 8 8- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 T = Me 用截面法用截面法 求扭矩求扭矩 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩和扭矩图扭矩图 0 x M 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 ee MTTM, 0 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 扭矩正负规定扭矩正负规定 右手螺旋法则右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负( (- -) ) 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 扭矩图扭
5、矩图: :当作用在轴上的力偶矩有多个时当作用在轴上的力偶矩有多个时, ,以横轴表示横以横轴表示横 载面位置载面位置x,x,纵轴表示相应扭矩纵轴表示相应扭矩T,T,这种图线称为扭矩图这种图线称为扭矩图. . ( ( 解解: : (1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩 由公式由公式 Pk k/n 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 例题例题6 6- -2 2- -1 1 (2)(2)计算扭矩计算扭矩 (3) (3) 扭矩图扭矩图 8 8- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 6 6- -2 2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 R0 -薄
6、壁圆筒薄壁圆筒 规定：规定：矢量方向与横截面外矢量方向与横截面外 法线方向一致的扭矩为正法线方向一致的扭矩为正 m m 0 R 第三节第三节 切应力互等与剪切胡克定律切应力互等与剪切胡克定律 m T 1 1 扭矩扭矩 切应力切应力 对应对应 扭转扭转 扭转实验前扭转实验前 平面假设平面假设成立成立 相邻截面绕轴线作相对转动相邻截面绕轴线作相对转动 横截面上各点的剪（切）应横截面上各点的剪（切）应 力的方向必与圆周线相切。力的方向必与圆周线相切。 纵线纵线 圆周线圆周线 扭转实验后扭转实验后 结论结论 扭转扭转 e Mr 0 A dA 得：得： 0 2 A M e 其中：其中： 2 00 rA
7、Me r0 x dA 由几何关系知：由几何关系知： lr /g gG 剪切胡克定律剪切胡克定律 （线弹性范围适用）（线弹性范围适用） O T T O 另外有另外有： ）（ 12 E G G为材料的剪切弹性模量为材料的剪切弹性模量 扭转扭转 二、二、剪应力互等定理剪应力互等定理 在微元体相互垂在微元体相互垂 直两个平面上，剪应力必成对存在，且直两个平面上，剪应力必成对存在，且 数值相等，方向则共同指向或共同背离数值相等，方向则共同指向或共同背离 这两个平面的交线。这两个平面的交线。(图中对图中对dz轴取矩轴取矩) 6 6- -3 3、切应力互等定理与剪切胡克定律、切应力互等定理与剪切胡克定律 g
8、G g 剪切胡克定律剪切胡克定律 (扭转试验表明扭转试验表明) 式中G剪切弹性模量； 剪应变。 dydzdxdydydz 0 z M a b dx a b T T 一一、横截面上的应力横截面上的应力 1、变形几何关系变形几何关系 第四节第四节 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 xd dj g 扭转扭转 g g Me Me dx O2 jd g g g g 2、物理关系物理关系(剪切虎克定律剪切虎克定律) x GG d dj g gG O r 3、力学关系力学关系 p 2 d d d d I x GdA x GdAT AA j j 极惯性矩极惯性矩 A dAI 2
9、p dA dA ：点到截面形心的距离 ：横截面上的扭矩 T I T p p W T I Tr p max r I W p p 二、应力公式二、应力公式 1)横截面上任意点：横截面上任意点： 2)横截面边缘点：横截面边缘点： 其中：其中： max d/2 O T 抗扭截面模量抗扭截面模量 (系数系数) 32 4 p d I 16 3 p d W ()1( 3232 4 4 44 p D dDI)1( 16 4 3 p D W max D/2 O T d/2 空心圆空心圆 实心圆实心圆 扭转扭转 I Ip p 与与 W Wp p 的计算的计算 实心轴实心轴 6 6- -3 3、圆轴扭转时截面上的应
10、力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 空心轴空心轴 令令 则则 6 6- -3 3、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 实心轴与空心轴实心轴与空心轴 I Ip p 与与 W Wp p 对比对比 1 1、切应力计算、切应力计算 令令 抗扭截面系数抗扭截面系数 6 6- -4 4、圆轴扭转应力与强度条件、圆轴扭转应力与强度条件 已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最最 大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴空心圆轴 的内外直径之比的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长。二轴长 度相同。度相同。
11、 求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外 直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。 解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴实心轴 3 1 6 16 716 2 0 045m=45mm 40 10 . .d 6 6- -4 4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题例题8 8- -2 2 7 5 95499549716 2N m 100 . . x P MT n max1 3 11 16 40MPa xx P MM Wd TT 已知：已知：P P7.5kW,
12、 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大最大 切应力切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的空心圆轴的 内外直径之比内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长度。二轴长度 相同。相同。 求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外 直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。 空心轴空心轴 d20.5D2=23 mm ( 3 2 46 16 716 2 0 046m=46mm 1-40 10 . .D 6 6- -4 4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 ( max2 34 2 2
13、16 40MPa 1 xx P MM WD TT 确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴空心轴 D D2 246 mm46 mm d d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴 d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横 截面面积之比：截面面积之比： ( 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 4 4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 三三、强度条件强度条件 强度条件强度条件： ， 许用切应力许用切应力；
14、 p max ma W T x 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状纯剪切状 态态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行： 强度校核强度校核; 选择截面选择截面; 计算许可荷载。计算许可荷载。 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与与 许用正应力许用正应力 之间存在下述关系：之间存在下述关系： 对于塑性材料对于塑性材料 (0.5一一0.577) 对于脆性材料，对于脆性材料， (0.81.0)
15、l 式中，式中， l代表许用拉应力。代表许用拉应力。 扭转扭转 例例 某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚壁厚t=2.5mm，传递扭矩传递扭矩 T=1.98kN m， =100MPa，试校核轴的强度试校核轴的强度。 33p p 444 4 p 103 .20 2/ 101 .77)1 ( 32 mm D I W mm D I 5 .97 P MPa W Tmax max 解解：计算截面参数：计算截面参数： 由强度条件：由强度条件： 故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一
16、，故空心轴空心轴 较实心轴合理较实心轴合理。 MPa dW Tmax max 5 .97 16/ 1098. 1 3 3 p ( 3 1 334. 0 44 )2( 2 2 2 dtDD A A 实 空 MPa5 .97 max 若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使 ，则，则 由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。 空心轴与实心轴的截面空心轴与实心轴的截面 面积比面积比(重量比重量比)为：为： 扭转扭转 已知：已知：P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2， n n1 1= =n n2 2=120r/min,z=120r/m
17、in,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1= = 70mm, 70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm. =35mm. 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。 P P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kW n n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min 360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速 M M1 1=T=T1 1
18、=1114 N.m=1114 N.m M M2 2=T=T2 2=557 N.m=557 N.m M M3 3=T=T3 3=185.7 N.m=185.7 N.m 2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩 4 4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题例题- -3 3- -3 3 3 ( 16.54MPaPa 1070 111416 E 9-3 1P 1 max W T ( .69MPa22Pa 1050 55716 H 9-3 2P 2 max W T ( .98MPa12Pa 1053 7 .18516 C 9-3 3P 3 max W T 3 3、计算各轴的横截面上
19、的、计算各轴的横截面上的 最大切应力最大切应力 4 4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 3 一一、扭转时的变形扭转时的变形 计算目的计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。：刚度计算、为解超静定问题作准备。 l l x GI T 0 p ddjj相对扭转角相对扭转角： GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 II、刚度条件刚度条件 180 max max GI T 其中：其中： 许用扭转角，许用扭转角， 取值可根据有关设计标淮或规范取值可根据有关设计标淮或规范 确定。确定。 扭转扭转 第五节第五节 等直圆杆在扭转时的变形等直
20、圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 单位长度的扭转角单位长度的扭转角： p d d GI T x j 相对扭转角相对扭转角 抗扭刚度抗扭刚度 5 5、圆轴扭转时的变形计算、圆轴扭转时的变形计算 n i Pi ii GI lT 1 j 单位长度扭转角单位长度扭转角 扭转刚度条件扭转刚度条件 许用单位扭转角许用单位扭转角 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴： 2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴： 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 扭
21、转强度条件扭转强度条件 扭转刚度条件扭转刚度条件 已知已知T T 、D D 和和，校核强度校核强度 已知已知T T 和和， 设计截面设计截面 已知已知D D 和和，确定许可载荷确定许可载荷 已知已知T T 、D D 和和/ / ，校核刚度校核刚度 已知已知T T 和和/ / ，设计截面设计截面 已知已知D D 和和/ / ，确定许可载荷确定许可载荷 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 例题例题- -5 5- -1 1 传动轴的转速为
22、传动轴的转速为n n=500r/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率 P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。 已知已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和 和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和
23、从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ? 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d n P M e 1 1 9549mN7640 500 400 9549 mN3060 400 160 12 ee MMmN4580 400 240 13 ee MM 解：解： 1.1.外力外力 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 例题例题- -5 5- -2 2 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .82 1070 764016 16 3 3 6 3 1 T d 按刚度条件按刚度条件 mm4 .8
24、6m104 .86 11080 180764032 18032 3 4 29 4 2 1 G T d 3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640 mN4580 ( mm4 .86 1 d 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d 3 1 max 16 d T j j 18032 4 1 max dG T 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d
25、mN7640 mN4580 ( mm3 .69m103 .69 1070 458016 16 3 3 6 3 2 T d mm76m1076 11080 180458032 18032 3 4 29 4 2 2 G T d mm76 2 d 5.5.选同一直径时选同一直径时 mm4 .86 1 dd 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 6.6.将将主动轮按装在主动轮按装在 两从动轮之间两从动轮之间 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d mN7640 mN4580 ( 2e M C B A 1e M 3e M 1 d 2 d 受力合理受力合理 mN3060 mN4580 ( ( 5 5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 P108 6-2 6-3 6-5
