1、2)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.3.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)42.线性非齐次方程线
2、性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐方程通解形式非齐方程通解形式与齐方程通解相比与齐方程通解相比:)(xuC.)()(dxxPexuy5常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数设通解形式设通解形式 dxxPexuy)()(,)()()()(
3、)(dxxPdxxPexPxuexuy6代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解7.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 18例
4、例2.解方程.)1(1225xxyxdyd解解:先解,012xyxdyd即12xxdyyd积分得,ln1ln2lnCxy）（即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得:Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(9例例3.解方程.)1(1225xxyxdyd)(代公式代公式另解另解 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxxdxxeCdxex1212251)()ln()ln()(1212251xxeCdxex22111)()(xCdxxCxx2321321)()(10yyxyy
5、dydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncoslnsin2 Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 4例例11CxdexQeyxdxPxdxP)()()(例例5.求方程023ydyxyyxxd的通解.解解:注意,2xdxxd用ydy这是以 为因变量,y 为自变量的一阶线性方程xyyxydxd22yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式,得ex yyd2 1yeyyd2ydClnyy1yCy ln乘方
6、程两边,得y1 lnCyd即所求通解为eyyx.C12例例6 6 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 13 dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 14伯努利伯努利(Bernoulli
7、)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.15,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn16
8、例例1.求方程2)ln(yxaxyxdyd的通解.解解:令,1 yz则方程变形为xaxzxdzdln其通解为ez 将 代入,得原方程通解:1 yz1)ln(22xaCxyxdx1exa)ln(xdx1Cxd 2)ln(2xaCx17.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得得两两端端除除以以21y例例 218例例3 3 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxd
9、yydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 19;)(sin1.22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 20;.yxdxdy13解解,uyx 令令,1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cy
10、xy 11 yeCxy或或另解另解.yxdydx 方程变形为方程变形为21思考与练习思考与练习判别下列方程类型xdydyxyxdydx)1()ln(ln)2(xyyxdydx02)()3(3ydxxdxy0)(2)4(3ydxyxdyydxxdyxy)2ln()5(提示提示:xxdydyy1可分离变可分离变量方程量方程xyxyxdydln齐次方程齐次方程2212xyxxdyd线性线性方程方程2212yxyydxd线性线性方程方程2sin2yxxyxxdyd伯努利伯努利方程方程22三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)
11、()(dxxPexuy令令;1zyn 令令23P315 1(1)(3)(6)(7)(10);2(2)(4)(5),3,4,6,7(2)(3)(5)，8(1)(2)(3)。作业7-424一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、xexyysincos ；2 2、0)ln(ln dyyxydxy；3 3、02)6(2 ydxdyxy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy；2 2、.0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题25三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运
12、动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系.四、四、求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.26五、五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程,然后求出通解然后求出通解
13、:1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12.六、六、已知微分方程已知微分方程)(xgyy ,其中其中 0,010,2)(xxxg,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy ,满满足条件足条件0)0(y,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程.27练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)(；2 2、Cyyx 2lnln2；3 3、2321yCyx .二、二、1 1、15sincos xexy；2 2、113322 xexxy.三、三、)1(022121tmkekmktkkv .四、四、1 1、Cxxy ；2 2、)32(ln32322 xxCyx.28五、五、1 1、Cxyx 2)(2；2 2、Cxxy 1sin1；3 3、Cxxyxy 4)2sin(2.六、六、1,)1(210,)1(2)(xeexexyyxx.
