1、高中数学教法和学法探讨高中数学教法和学法探讨石家庄一中石家庄一中 郑景哲郑景哲数学是什么？数学是什么？纯数学的研究对象是现实世界的空间关系和数量纯数学的研究对象是现实世界的空间关系和数量关系关系.1.数学是一门科学数学是一门科学思维的科学思维的科学-要学会思考要学会思考经验的科学经验的科学-要学会积累要学会积累演绎的科学演绎的科学-要注重联系要注重联系2.数学是一门语言数学是一门语言文字语言文字语言 符号语言符号语言 图表语言图表语言最重要的一关学会进行最重要的一关学会进行”语言转换语言转换”3.数学是一个过程数学是一个过程抽象概括的过程抽象概括的过程-要寻找规律要寻找规律推理过程推理过程-符
2、合算理符合算理,有根有据有根有据4.数学是一种思想数学是一种思想符号、集合、函数、方程、数形结合、分类讨论符号、集合、函数、方程、数形结合、分类讨论转化与化归转化与化归汇报内容：汇报内容：（1）初高中衔接）初高中衔接（2）高考备考）高考备考一初高中衔接一初高中衔接新课程改革以来，我们每一届接新生的时新课程改革以来，我们每一届接新生的时候，总会有一个感觉，学生怎么比以前候，总会有一个感觉，学生怎么比以前“笨笨”了呢？固然有我们刚从高三下来的了呢？固然有我们刚从高三下来的错觉，问题是学生确实和以前相比发生了错觉，问题是学生确实和以前相比发生了巨大的变化巨大的变化,无论是计算能力，推理能力，无论是计
3、算能力，推理能力，记忆能力，还是规范性都有明显的下降，记忆能力，还是规范性都有明显的下降，为什么呢？为什么呢？以上表格引自苗孟义老师以上表格引自苗孟义老师1.初高中课程教材衔接上存在明显阶梯初高中课程教材衔接上存在明显阶梯 （1）抽象程度突变，高中的数学语言与初中有）抽象程度突变，高中的数学语言与初中有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合符号语言、函数语言、图形语言等。抽象的集合符号语言、函数语言、图形语言等。高一年级的学生一开始的思维梯度太大，以至集高
4、一年级的学生一开始的思维梯度太大，以至集合、函数等概念难以理解，觉得离生活很远，似合、函数等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很乎很“玄玄”。初高中数学对比初高中数学对比（2）思维方法向理性层次跃进，高一学生产生数）思维方法向理性层次跃进，高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学
5、习中习惯于这种机械的，便于操作的定势初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。故而导致成绩下降。（3）知识内容的整体数量剧增，高中数学比初中）知识内容的整体数量剧增，高中数学比初中数学的知识内容的数学的知识内容的“量量”上急剧增加了，单位时上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，间内接受知识信息的量
6、与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这也使很辅助练习、消化的课时相应地减少了。这也使很多学习被动的、依赖心理重的高一新生感到不适多学习被动的、依赖心理重的高一新生感到不适应。应。2.高中数学要求的深度难度大大提高：高中数学与高中数学要求的深度难度大大提高：高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度、能力要求都是初中数学相比，知识的深度、广度、能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习做好准备，高中数学很多地方难度大、方一步学习做好准备，高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的法新、
7、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的最值求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的最值求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的变形与灵活应用，空间概念的形成，排列组合应用变形与灵活应用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际问题等。有的内容还是初中教材都不讲的题及实际问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。会跟不上高中学习的要求。3.教师的授课模式有很大的不同：初中课堂教学量小、教师的授课模式有很大的不同：初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂较慢的速度，争取让全面同知识简单，通过教师课
8、堂较慢的速度，争取让全面同学理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后学理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多（有九门课学生同时学习），每天至少着课程开设多（有九门课学生同时学习），每天至少上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将大上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比
9、初中少。中数学学习的时间相对比初中少。4.初中学生自学能力低，大凡考试中所用的解题方法初中学生自学能力低，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，在初中教师基本上已反复训练，学生基和数学思想，在初中教师基本上已反复训练，学生基本上不需自学。但高中的知识面广，知识要全部要教本上不需自学。但高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类
10、型习题的解法。生失去一类型习题的解法。5.初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，知识面窄，对实际问题的思维受到了局限。就几何来知识面窄，对实际问题的思维受到了局限。就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的多
11、元化和广泛性多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻、严，将会使学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题，也将培养学生高素质思维，提密的分析和解决问题，也将培养学生高素质思维，提高学生的思维递进性。高学生的思维递进性。6.初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。一般地，答案是常数和定量。在高中数学学习中我在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。另外，在高中学习中我们还会通的普遍性和特殊性。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的
12、分析，探索出分析、解决问题的思路和解过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想。题所用的数学思想。心理学中有心理学中有“首因效应首因效应”，人有第一印，人有第一印象，初高中衔接如果处理不好，很多同象，初高中衔接如果处理不好，很多同学可能会对数学产生厌学情绪，这是我学可能会对数学产生厌学情绪，这是我们所不愿看到的。因此，我们要耐心，们所不愿看到的。因此，我们要耐心，给予学生成长所需要的时间，以促进学给予学生成长所需要的时间，以促进学生的顺理成长，基本上一个月，大部分生的顺理成长，基本上一个月，大部分学生就可以适应了，然后学习习惯再慢学生就可以适应了，然后学习习惯再慢慢的改进。
13、慢的改进。二高考备考二高考备考波利亚：学习数学就是学习解题。波利亚：学习数学就是学习解题。中学数学教学的首要任务就是加强解题的中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练。训练。对于教师而言，解题习惯与能力如何？是对于教师而言，解题习惯与能力如何？是否有研究题目的习惯？选题能力如何？都否有研究题目的习惯？选题能力如何？都直接关系到解题教学的效果，其核心内容直接关系到解题教学的效果，其核心内容应为选题，也就是题目是否具有典型性、应为选题，也就是题目是否具有典型性、代表性。代表性。数学高考的三个维度数学高考的三个维度1.知识与技能知识与技能2.思想与方法思想与方法3.能力与意识能力与意识 数学科的命题
14、，在考查基础知识的基础上，注数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。素养的要求。数学数学新新高考的高考的主要特点主要特点 立足基础立足基础 适度综合适度综合 注重思想注重思想 优化策略优化策略 能力立意能力立意 力求创新力求创新 把握实质把握实质 探索规律探索规律数学高考的数学高考的两个关注点两个关注点 立足基础立足基
15、础 能力立意能力立意 突出思维突出思维 淡化运算淡化运算 数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心.数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.数学思想是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展
16、和应用的过程中.本质简单说其实只是在说这种解法最简单本质简单说其实只是在说这种解法最简单,能够揭示更多的相关问题能够揭示更多的相关问题,更有启发性。这更有启发性。这就要求学生在学习生活中，不断地深化自己就要求学生在学习生活中，不断地深化自己的认识，优化自己的解法，以提升自己的思的认识，优化自己的解法，以提升自己的思维品质和思维方法维品质和思维方法,提高数学素养。提高数学素养。l考查到辅助角公式，辅助角的确定考查到辅助角公式，辅助角的确定以及取得最值的条件。考查细腻，以及取得最值的条件。考查细腻，师生都不太关注的考点师生都不太关注的考点2013新课标卷理新课标卷理卡住卡住2013年新课标理年新课
17、标理凑配法凑配法整式的除法整式的除法有没有简单的方法呢有没有简单的方法呢？以导数为背景与其他知识以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式等如函数、方程、不等式等)交汇命题利用导数解决相关问题，是命题的热点，交汇命题利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新解决该类问题要注意函数与方程、而且不断丰富创新解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学用综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养针对这一类题目，我们的措施是分散难点，以素养针对这一类题目，我们的措施是分
18、散难点，以基础知识、基本思想为切入点，加强平时的一点一滴基础知识、基本思想为切入点，加强平时的一点一滴的训练和培养的训练和培养,在提高熟练度和规范性的基础上，提升在提高熟练度和规范性的基础上，提升数学能力和思维品质。数学能力和思维品质。函数导数函数导数1、简单的函数求导、简单的函数求导2、求曲线的切线方程、求曲线的切线方程3、求曲线的切线方程、求曲线的切线方程切线与方程的解的问题切线与方程的解的问题4、求函数的单调区间、极值最值、求函数的单调区间、极值最值分离参数法：分离参数法：分离参数法：分离参数法：教材上说的是可导函数的导数小于零，则函数单调递减。教材上说的是可导函数的导数小于零，则函数单
19、调递减。此处说的是充分性，并没有说充要性。我们总结一下：此处说的是充分性，并没有说充要性。我们总结一下：5、由函数单调性求参数的范围、由函数单调性求参数的范围6、利用导数解决不等式问题、利用导数解决不等式问题 在教学中，注意分类讨论、数形结合、转化化归、函数方在教学中，注意分类讨论、数形结合、转化化归、函数方程等数学思想的渗透，在具体技能培养的同时，帮助学生程等数学思想的渗透，在具体技能培养的同时，帮助学生对对“大方向大方向”的把握。的把握。以几道高考题为例，分析这些问以几道高考题为例，分析这些问题的解法题的解法一、三种方法的展示一、三种方法的展示二、二元不等式的证明二、二元不等式的证明三、整
20、体代换法三、整体代换法2013年新课标卷理年新课标卷理运用特殊值缩运用特殊值缩小讨论的范围小讨论的范围分离参数法：分离参数法：分离参数法：分离参数法：高等数学背景：洛必达法则高等数学背景：洛必达法则分离参数法：分离参数法：分类讨论法分类讨论法分离参数法分离参数法放缩变形法放缩变形法放缩变形放缩变形 关于二元不等式的证明思想应该是来自于关于二元不等式的证明思想应该是来自于2004年全国年全国2的压轴题。证明方法大致有：的压轴题。证明方法大致有：1.把一个视为主元，另一个视为副元把一个视为主元，另一个视为副元,构造构造函数法；函数法；2.代入消元法代入消元法;3.比值减元法比值减元法;4.不不等式
21、放缩法等式放缩法;5几何意义转化法几何意义转化法.二元不等式二元不等式二元不等式二元不等式2012新课标卷理科新课标卷理科压轴题压轴题2012年新课标卷理科年新课标卷理科二元不等式二元不等式高等数学背景：泰勒展开式高等数学背景：泰勒展开式二元不等式二元不等式高等数学背景：拉格朗日中值定理及其逆命题高等数学背景：拉格朗日中值定理及其逆命题即可只要使得），（必存在一个数4)(,)()()(01212fxxxfxff二元不等式二元不等式二元不等式二元不等式二次求导二次求导二元不等式二元不等式 整体消元法或整体代换整体消元法或整体代换也是现在命题也是现在命题的一个趋势，的一个趋势，2012年文科年文科
22、21题，也是题，也是一道这样的题目，分离参数，整体代换，一道这样的题目，分离参数，整体代换，化超越式为一般式。化超越式为一般式。整体代换法整体代换法解析几何解析几何高考考查特点高考考查特点（）题型稳定（）题型稳定,整体平衡；（整体平衡；（2）能力立）能力立意，渗透数学思想；（意，渗透数学思想；（3）日益新颖，突出思维，淡化）日益新颖，突出思维，淡化运算。运算。近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型下几个类型:求曲线方程求曲线方程(类型确定、类型未定类型确定、类型未定);直线与圆锥曲线的交点问题直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问
23、题含切线问题);与曲线有与曲线有关的最关的最(极极)值问题值问题;与曲线有关的几何证明与曲线有关的几何证明(对称性或对称性或求对称曲线、平行、垂直求对称曲线、平行、垂直);探求曲线方程中几何量探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征及参数间的数量特征;由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定。重点就是两个问题，一个是已知曲线求方程，一个稳定。重点就是两个问题，一个是已知曲线求方程，一个是已知方程研究曲线的性质。近几年解析几何试题的难度
24、是已知方程研究曲线的性质。近几年解析几何试题的难度有所下降有所下降,选择题、填空题均属易中等题选择题、填空题均属易中等题,且解答题计算量且解答题计算量减少减少,思维量增大，突出数形结合，淡化繁琐计算。增加思维量增大，突出数形结合，淡化繁琐计算。增加圆的比重，削弱双曲线。加大与相关知识的联系圆的比重，削弱双曲线。加大与相关知识的联系(如向量、如向量、函数、方程、不等式等函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。求。加大探索性题型的分量。解析几何中基本的解题方法是使用解析几何中基本的解题方法是使用代数方程代数方程的方法研究直的方法研究
25、直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程握一些解方程(组组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就
26、是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值复求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用解析几何重点问题：解析几何重点问题：1.圆锥曲线定义；圆锥曲线定义；2.圆锥曲线方程；圆锥曲线方程；3.圆锥圆锥曲线几何性质（离心率及其范围问题）；曲线几何性质（离心率及其范围问题）；4.求点的轨迹方程问题；求点的轨迹方程问题；5.直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系（弦长问题，中点弦问题，定的位置关系（弦长问题，中点弦问题，定值定点问题，最值问题）；值定点问题，最值问题）；6.与圆综合的与圆综合的问题；问题；解
27、析几何简化运算的方法解析几何简化运算的方法1、回归定义；、回归定义；2、设而不求，整体运算；、设而不求，整体运算；3、利用图形的几何性质；、利用图形的几何性质；4、选用方程适、选用方程适当形式；当形式；5、换元引参；、换元引参；6、结构相同或相、结构相同或相近的近的“同理同理”1、圆锥曲线定义、圆锥曲线定义2、圆锥曲线方程、圆锥曲线方程3、圆锥曲线几何性质、圆锥曲线几何性质离心率及其范围离心率及其范围4、求点的轨迹方程、求点的轨迹方程求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系之间的关系F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求
28、曲线的类型，求曲线方程待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；写出动点的轨迹方程；(4)相关点法：动点相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点依赖于另一动点Q(x，y)的变化而变化，并且的变化而变化，并且Q(x，y)又在某已知曲线上，则可先用又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示的代数式表示x，y，再将，再将x，y代入已知代
29、入已知曲线得要求的轨迹方程；曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将时，可考虑将x，y均用一中间变量均用一中间变量(参数参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通表示，得参数方程，再消去参数得普通方程方程求点的轨迹方程：求点的轨迹方程：5、直线与圆锥曲线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系1考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想根与系数的关系、整体代入和设而不求
30、的思想2高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用用复习时，应从复习时，应从“数数”与与“形形”两个方面把握直线与圆锥曲线两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题参数问题及相关的不等式与等式的证明问题学
31、生容易忽略的联立后的二次项系数以及判别式学生容易忽略的联立后的二次项系数以及判别式的讨论。的讨论。（1）弦长问题）弦长问题（2）中点弦问题）中点弦问题（2）中点弦问题）中点弦问题（3）定值定点问题）定值定点问题解答此类问题的基本策略有以下两种：解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关示，再证明结论与求参数无关定值定点问题定值定点问题法一：设而不求。把
32、法一：设而不求。把PA,PB的斜率的斜率分别表示出来，由条件构造等式，分别表示出来，由条件构造等式，再把再把AB的斜率表示出来。的斜率表示出来。法二：设而求。设出直线法二：设而求。设出直线PA，与抛，与抛物线联立，求得物线联立，求得A的坐标，此时可用的坐标，此时可用同理，得到同理，得到B的坐标，再把的坐标，再把AB的斜的斜率表示出来率表示出来定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题定值定点问题（4）最值问题（函数问题）最值问题（函数问题）6、与圆综合的问题、与圆综合的问题与圆综合的问题与圆综合的问题2013年新课标理年新课标理
