1、2.5 行列式的应用行列式的应用 公式公式一、伴随矩阵及逆矩阵一、伴随矩阵及逆矩阵 用用二、克拉默法则及其应二、克拉默法则及其应 四、小节、思考题四、小节、思考题 的方程组的重要定理的方程组的重要定理 于方程个数于方程个数三、关于未知数个数等三、关于未知数个数等 定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所 构成的如下矩阵构成的如下矩阵 A ij A 称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵. 也记作也记作 adjA. A 一、伴随矩阵及逆矩阵计算公式 注意下标注意下标 T ij nnnn n n A AAA AAA AAA A 21 22212 12111 定理定
2、理1 . IAAAAA 证明证明 , ij aA 设设 , ij bAA 记记 则则 jninjijiij AaAaAab 2211, ij A nnnn n n nnnn n n AAA AAA AAA aaa aaa aaa AA 21 22212 12111 21 22221 11211 即即 ij AAA ij A . IA 同理可得同理可得 n k kjkia AAA 1 ij A ij A . IA nnnn n n nnnn n n AAA AAA AAA aaa aaa aaa AA 21 22212 12111 21 22221 11211 AAaAaAa nn 111212
3、1111 AAaAaAa nnnnnnnn 2211 , A A A A O O 故故 时，也有时，也有事实上，当事实上，当0 A 1 n AA 推论推论时，有时，有当当阶矩阵阶矩阵对对0, AAn 1 n AA 证明证明 两边取行列式，得两边取行列式，得对对IAAA n n AIAIAAAAA .,命题得证命题得证等式最两端同除以等式最两端同除以A .证毕证毕 . IAAAAA 即即 定理定理2 2 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 , 1 1 A A A A0 A 证明证明 必要性必要性，若，若 可逆，可逆， A. 11 IAAA 使使即有即有 , 1 1 IAA故故且
4、可顺便得到且可顺便得到所以所以. 0 A .的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 由由时时充分性，当充分性，当,0 A 1 1 AA IAAAAA , IA A A A A A . 1 A A A 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得 证毕。证毕。 ，可得，可得同理，由同理，由IAAAAA .)( 1 A A A . 1 AAA , 1 IBA显然显然, 0 A故故 , 1存在 存在因而因而 A于是于是 BIB B AA 1 111 AIAABA 证毕证毕 ., 1 ABIBAIAB则则或或若若 推论推论 证明证明 . ,0,0 非奇异矩阵非奇异矩阵 称为称为时时当当称为奇异矩阵称为奇异矩
5、阵时时当当AAAA .为非奇异矩阵为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是是可逆阵的充要条件是由此可得由此可得AA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 矩阵乘积可逆与否的判定 设A、B均为n阶方阵，则 若A或B不可逆，则AB必不可逆 AB可逆，则A、B均可逆 由|AB|=|A|B|以及可逆与矩阵奇异性的关 系可得证。 , 331 212 321 A. 1151 531 132 B 解解 331 212 321 A 010 430 321 . ,?, 矩阵矩阵 求出其逆求出其逆若可逆若可逆是否可逆是否可逆下列矩阵下列矩阵BA例例 1 1 010 430 321 01 43 4 , 0
6、.A可逆可逆所以所以 , 3 33 21 11 A, 4 31 22 12 A, 5 31 12 13 A .A,A ,A,A,A,A 34 1103 3332 31232221 同理可求得同理可求得 代数余子式的符号不能丢代数余子式的符号不能丢 可得可得由由, 331 212 321 A 332313 322212 312111 1 1 AAA AAA AAA AA A A . 315 404 133 4 1 1151 531 132 B由于由于, 0 .B不可逆不可逆故故 . )3( )2()1( A A 列式列式 除以原矩阵的行除以原矩阵的行；到到对角线元调换符号后得对角线元调换符号后得
7、 将副将副对调主对角线元；对调主对角线元；即即 . 54 32 22的逆矩阵的逆矩阵阶矩阵阶矩阵求求例例 A 可逆，且可逆，且知知由由解解AA022 5 11 A 4 12 A3 21 A 2 22 A 所以所以 24 35 22 11 2212 21111 AA AA AA A A .解毕解毕 说明：说明：的的阶矩阵的求逆，有所谓阶矩阵的求逆，有所谓对对2 ,“两调一除”法“两调一除”法 试求试求阶方阵，且阶方阵，且是是设矩阵设矩阵例例, 033 mAA 1 2 AAA 来处理，由来处理，由化为化为 也也较多，所以尝试将较多，所以尝试将因为表达式中因为表达式中解解 A AA 1 m A mA
8、AAA 131 22 即得即得 233 )2()2()2(mmAmAm .解毕解毕 , 1 A A A , 1 n AA ,mA AkkA 3 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 设线性方程组设线性方程组 , 21 不全为零不全为零若常数项若常数项 n bbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组; , 21 全为零全为零若常数项若常数项 n bbb 此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念 二、克拉默法则 定理定理 3 如果线性方程组如果
9、线性方程组 )1( 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 0 . D D x, D D x, D D x, D D x n n 2 3 2 2 1 1 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即 j DD j n nnj ,nnj ,nn nj ,j , j aabaa
10、aabaa D 111 11111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解 可以表为可以表为 1 证明证明 njnnjnnnnn jjnn jjnn AbAxaxaxa AbAxaxaxa AbAxaxaxa 2211 2222222121 1111212111 得得个方程个方程的的依次乘方程组依次乘方程组 列元素的代数余子式列元素的代数余子式中第中第用用 ,1 , 21 n AAAjD njjj 在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得 n , 1 11 1 1 1 n k kjk n n k kjknj n k kjkj n k kjk
11、Ab xAaxAaxAa 由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ., 2 , 1njDDx jj . D D x, D D x, D D x, D D x n n 2 3 2 2 1 1 ,Dx j的系数等于 的系数等于上式中上式中 ; 0的系数均为的系数均为而其余而其余jixi . j D又等式右端为又等式右端为 于是于是 2 当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解 0 D 2 由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价, 2 1故故 . D D x, D D x, D D x, D D x n n 2 3 2 2 1 1 也是方程组的也是方程组的 解解. 1
12、 逆否命题逆否命题 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式必为零的解，则它的系数行列式必为零. . 1 齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 3 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 对对 推论推论1 1 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解只有零解. . , 0 AD 3 3 三、重要定理 0 Ax 或或 推论推论2 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 3有非零解有非零解, ,
13、则它则它 的系数行列式必为零的系数行列式必为零. . 零解零解 而言，至少有一个而言，至少有一个对齐次线性方程组对齐次线性方程组0 Ax 0 21 n xxx 的逆否命题为的逆否命题为所以，推论所以，推论1 例例 4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0 , 132 , 22 321 321 321 xxx xxx xxx 解解 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 111 312 121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 知方程组有唯一解，知方程组有唯一解， 同理可得同理可得 110 311 122 1 D, 5 101 312 121 2 D ,10
14、011 112 221 3 D, 5 故方程组的唯一解为故方程组的唯一解为: , 1 1 1 D D x, 2 2 2 D D x. 1 3 3 D D x .解毕解毕 例例 5 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01 ,032 ,0421 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解？有非零解？ 解解 111 132 421 D 101 112 431 101 112 431 3121431 3 3121 23 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则 0 D 所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解. 20 ,3 )(2)(3( 四、小结 牢
15、记公式牢记公式. 1. IAAAAA 以及由此而来得以及由此而来得 , 1 n AA , 1 1 AA.)( 1 A A A , 1 A A A 阶矩阵阶矩阵会使用会使用阶矩阵的逆矩阵时，要阶矩阵的逆矩阵时，要在求在求22. 2 特有的特有的,“两调一除”法“两调一除”法 质：质：还有两个不太常用的性还有两个不太常用的性 ,)( 2 AAA n AkkA n 1 )( 3. 3. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ; (2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. . 4. 4. 克拉默法则建立了线性方
16、程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. . .)3( )2( )1( AA A 除以原矩阵的行列式除以原矩阵的行列式 ；后得到后得到将副对角线元调换符号将副对角线元调换符号 对调主对角线元；对调主对角线元；即即 ,“两调一除”法“两调一除”法 思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默 法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何? 思考题解答思考题解答 不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.
