1、第一节第一节 矩阵的秩矩阵的秩 一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的计算二、矩阵秩的计算 三、小结、思考题三、小结、思考题 . , , 1 2 阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵 阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在 不改不改元素元素处的个处的个），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉 列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在定义定义 kA kA knk mkkkAnm 一、矩阵秩的概念 . 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵 k n k m CCkAnm 0.)(. . )( 0 1 02 ArOA ArA rAD rD rA 即即等于零等于
2、零 并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵 的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于 ）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式 阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义 . )( 最高阶数最高阶数 中非零子式的中非零子式的是是的秩的秩矩阵矩阵AArAnm ，对于对于 T A)1().()(ArAr T 显然有显然有 ).,min()()2(nmAr nm .)()3(kArkA 阶子式不为零，则阶子式不为零，则有一个有一个若若 .)(1)4(kArkA 阶子式均为零，则阶子式均
3、为零，则的所有的所有若若 注意注意: 例例1 . 174 532 321 的秩的秩求矩阵求矩阵 A 解解 中，二阶子式中，二阶子式在在 A ，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3 . 0 32 21 ，且且0 A . 2)( Ar 例例2 . 00000 34000 52130 23012 的秩的秩求矩阵求矩阵 B 解解 行，行，”，其非零行有”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵是一个“行阶梯形矩阵3B .4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B , 0 400 230 312 而而 . 3)( Br 说明说明.非零行的行数非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其行阶梯形矩阵的秩即其 例例3 3
4、，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 5102 3120 2231 A , 02 20 31 二阶子式二阶子式 102 120 231 502 320 231 解解 计算计算A的的3阶子式，阶子式， , 0 , 0 510 312 223 512 310 221 , 0 , 0 . 0 . 2 Ar 做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 5102 3120 2231 A另解另解 , )( )( 0000 3120 2231 3r 2r 5102 3120 2231 23 13 得 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 Ar 此方法简单！此方法简单！ 问题：问题： ？若对，有没有
5、理论根据若对，有没有理论根据这种方法到底对不对？这种方法到底对不对？ 二、矩阵秩的计算 3定义定义矩阵为矩阵为称满足以下两个条件的称满足以下两个条件的nm 行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵： 元个数多；元个数多；个数比其上一行这种零个数比其上一行这种零 的话）前的零元的话）前的零元每行的非零元（如果有每行的非零元（如果有)1( . )2( 元素全为零元素全为零 则其下所有行的则其下所有行的如果某行没有非零元，如果某行没有非零元， 为为 ，则称其，则称其是是所在的列的其它元素都所在的列的其它元素都，且这些，且这些 行的首非零元均为行的首非零元均为若行阶梯形矩阵的非零若行阶梯形矩阵的非零 011 .行最
6、简形矩阵行最简形矩阵 . , 形矩阵形矩阵行变换把它变为行阶梯行变换把它变为行阶梯 总可经过有限次初等总可经过有限次初等对于任何矩阵对于任何矩阵 nm A 问题：问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ . ,2 BrArBA 则则若若定理定理 1定理定理 证明略！证明略！ 证明略！证明略！ 初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例例4 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求 的的求
7、矩阵求矩阵设设 A AA, 41461 35102 16323 05023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A 解解 41461 35102 16323 05023 A 05023 35102 16323 41461 14 r 05023 35102 11340 41461 )1( 42 r 05023 35102 16323 41461 14 r 12812160 1179120 11340 41461 )3( )2( 14 13 r r 05023 35102 11340 41461 )1( 42 r 12812160 1179120 11340 414
8、61 )3( )2( 14 13 r r 84000 84000 11340 41461 )3( 23 r )4( 24 r 00000 84000 11340 41461 (1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知 . 3)( Ar )1( 34 r 84000 84000 11340 41461 )3( 23 r )4( 24 r . )2(的一个最高阶子式的一个最高阶子式再求再求 A , 3)( Ar . 3阶阶的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为A 阶子式共有阶子式共有的的但但3A . 40 3 5 3 4 个个 CC 阶梯形矩阵为阶梯形矩阵为 的行的行则矩阵则矩阵
9、记记),(),( 42154321 aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A , 3)( Br 000 400 140 161 161 502 623 523 B .3阶非零子式阶非零子式中必有中必有故故 B.4个子式个子式且共有且共有 502 623 523 的前三行构成的子式的前三行构成的子式计算计算B 161 502 623 523 B . 016 则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式. A .解毕解毕 ，阶可逆矩阵阶可逆矩阵设设An , 0 A,AA的最高阶非零子式即为的最高阶非零子式即为 .)(nAr 故故 .为满秩矩阵为满秩
10、矩阵 ，故称可逆矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数可逆矩阵的秩等于阶数 .奇异矩阵为降秩矩阵奇异矩阵为降秩矩阵 :满秩矩阵满秩矩阵 阶满秩矩阵，则必有阶满秩矩阵，则必有 阶、阶、分别是分别是矩阵，而矩阵，而是任一是任一设设 n mQPnmA, 的推论：的推论：定理定理1 1推论推论 )()()(PAQrAQrPAr 证明：证明： .1 , 即知本推论成立即知本推论成立由定理由定理果，果， 结结作了有限次初等变换的作了有限次初等变换的均可看成是对均可看成是对 这样乘积矩阵这样乘积矩阵有限个初等矩阵的乘积有限个初等矩阵的乘积 ）可以表示成）可以表示成满秩矩阵（即可逆矩阵满秩矩阵（即可逆矩阵 A
11、PAQ AQPA 2推论推论的标准形分解为的标准形分解为矩阵矩阵若已知任一若已知任一Anm Q OO OI PPNQA r .)(的阶数）的阶数）（即单位矩阵（即单位矩阵则必有则必有 r IrAr 1即得。即得。提示：利用推论提示：利用推论 . IA的标准形必为单位阵的标准形必为单位阵显然，可逆矩阵显然，可逆矩阵 例例5 5 4 3 2 1 , 6063 3242 0842 1221 bA设设 .),(的秩的秩及矩阵及矩阵求矩阵求矩阵bABA 解解 ), , ( bABB 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为若若分析：分析： 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA ).()() , (
12、BrArbAB及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063 33242 20842 11221 B 13600 51200 02400 11221 )2( )2( 13 12 r r )3( 14 r 13600 51200 02400 11221 10000 50000 01200 11221 )1( ) 2 1 ( 23 2 r r )3( 24 r )2( )2( 13 12 r r )3( 14 r 00000 10000 01200 11221 )5( 43 r 34 r . 3)(, 2)( BrAr 10000 50000 01200 11221 )1( ) 2 1 ( 23
13、 2 r r )3( 24 r 三、小结 (2)(2)初等变换法初等变换法 1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法 (1)(1)利用定义利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 思考题1 , 6333 4222 211 k kk k A 已知矩阵已知矩阵 取何值时，取何值时，问：问：k )1(; 1)( Ar)2(; 2)( Ar)3(. 3)( Ar 解：解： 6333 4222 211 k kk k A )1(6)1(3)1(30 )1(4)1(2)1(20 211 2 kkk kkk k 0)1)(2(00 )1(2)1()1(0 211 kk kkk k ；时，时，即得，当即得，当1)(1 Ark ；时，时，当当2)(2 Ark . 3)(12 Arkk时，时，且且当当 0)1)(2(00 )1(2)1()1(0 211 kk kkk k A由由
