1、第第2章章 推理与证明推理与证明创造过程是一个艰苦曲折的过程创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理数学家创造性的工作是论证推理,即证即证明明.但这个证明是通过合情推理、通过但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的猜想而发现的波利亚波利亚2.1.2演绎推理演绎推理合情推理合情推理l归纳推理归纳推理 从从特殊特殊到到一般一般l类比推理类比推理 从从特殊特殊到到特殊特殊从具体问从具体问题出发题出发观察、分析观察、分析比较、联想比较、联想提出猜想提出猜想归纳归纳类比类比复习回顾复习回顾问题情境问题情境 我们知道合情推理所得结论不一定我们知道合情推理所得结论不一定正确正确,那么怎样
2、推理所得的结论就一定那么怎样推理所得的结论就一定正确呢正确呢?又怎样证明一个结论呢又怎样证明一个结论呢?-演绎推理演绎推理 观察与思考观察与思考1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,铜能够导电铜能够导电.铜是金属铜是金属,(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,是合情推理吗？学生活动学生活动 从从一般性一般性的原理出发，推出某个的原理出发，推出某个特殊特殊情情况下的结论，这种推理称为况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理 2.2.注：注：演绎推理是由演绎推理是由一
3、般一般到到特殊特殊的推理；的推理；“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；包括是演绎推理的一般模式；包括大前提大前提-已知的一般性原理；已知的一般性原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结结 论论-据一般原理据一般原理,对特殊情况做出的判断对特殊情况做出的判断 1.演绎推理演绎推理建构数学建构数学:3.3.三段论的基本格式三段论的基本格式MP（M是是P）SM（S是是M）SP（S是是P）（大前提）（大前提）（小前提）（小前提）（结（结 论）论）4.4.三段论推理的依据三段论推理的依据,用用集合集合的观点来理的观点来理解解:若集合若集合M M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质
4、P,SP,S是是M M的的一个子集一个子集,那么那么S S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P.P.M MS Sp p 观察与思考观察与思考1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,所以，铜能够导电所以，铜能够导电.铜是金属铜是金属,所以所以,(2,(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,大前提大前提小前提小前提结结 论论结结 论论小前提小前提大前提大前提恢复成完全三段论。的图象是一条抛物线”、把“函数例112xxy解：二次函数的图象是一条抛物线解：二次函数的图象
5、是一条抛物线 （大前提（大前提）21yxx函数是二次函数（小前提）结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12xxy感受理解感受理解说明说明:为了方便为了方便,在运用三段论推理时在运用三段论推理时,常常常采用省略大前提或小前提的表述方式常采用省略大前提或小前提的表述方式.例例2.已知已知lg2=m,计算计算lg0.8解解（1）lgan=nlga(a0)lg8=lg23lg8=3lg2(2)lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)lg0.8=lg(8/10)lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1=3m-1大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论数学应用数学应用0bam
6、bmam证明：abmbabmab ama bm（）（）又 a（a+m）0b ama bmbbma ama amaam（）（）。（）（）4b ma b mba mb例。已 知，均 为 正 实 数，a，求 证：a思考：例的证明过程包含了几个三段论？思考：例的证明过程包含了几个三段论？4b ma b mba mb例。已知，均为正实数，a，求证：a证证(1)不等式两边乘以同一个正数不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)ba,m0,(小前提小前提)所以所以 mbma (结结 论论)(2)不等式两边加同一个数不等式两边加同一个数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)mb
7、ma,ab=ab (小前提小前提)所以所以ab+mbab+ma 即即 b(a+m)a(b+m)(结结 论论)(3)不等式两边同除以一个正数不等式两边同除以一个正数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)b(a+m)0,(小前提小前提)b ama bmb bma ama ama am（）（）所以，即。（）（）证证(1)不等式两边乘以同一个正数不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立不等式仍成立(大前提大前提)ba,m0,(小前提小前提)所以所以 mbma (结结 论论)(2)不等式两边加同一个数不等式两边加同一个数,不等式仍成立不等式仍成立,(大前提大前提)mbma,ab=ab (小前提小前提
8、)所以所以ab+mbab+ma 即即 b(a+m)a(b+m)(结结 论论)(结结 论论)演绎推理具有如下特点演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完结论完全蕴涵于前提之中。全蕴涵于前提之中。(2)在演绎推理中在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联前提与结论之间存在必然的联系系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。学中严格
9、证明的工具。(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。作用，有助于科学的理论化和系统化。归纳小结归纳小结练习练习1 1：把下列推理恢复成完全的三段论：把下列推理恢复成完全的三段论:是直角三角形；，所以，三边长依次为）因为（ABCABC5431.522的图象是一条直线）函数（xy课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习（大前提）形是直角三角形两条边的平方和的三角一条边的平方等于其它）（1（小前提），而，的三边长依次为222345543ABC（结论）是直
10、角三角形ABC（大前提）的图象是一条直线一次函数）（)0(2kbkxy（小前提）是一次函数函数52xy（结论）的图象是一条直线函数52xy练习练习2.2.指出下列推理中的错误指出下列推理中的错误,并分析产生错误的并分析产生错误的原因原因;(1)(1)整数是自然数整数是自然数,-3-3是整数是整数,-3-3是自然数是自然数;(2)(2)无理数是无限小数无理数是无限小数,是无限小数是无限小数,是无理数是无理数.）（333.03131课堂练习课堂练习大前提大前提 错误错误推理形推理形式错误式错误 推推 理理 合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊到一般特殊到一般)类比类比(特殊到特殊特殊到特
11、殊)三段论三段论(一般到特殊一般到特殊)回顾小结回顾小结1.分类分类.2.合情推理与演绎推理的区别:(1)特点特点 归纳是由特殊到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;演绎推理是由一般到特殊的 推理.(2)从推理的结论来看从推理的结论来看：合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.回顾小结回顾小结(1)(1)数学结论、证明数学结论、证明思路的发现思路的发现,主主要靠合情推理要靠合情推理.(2)(2)演绎推理是证明数学结论、建演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要立数学体系的重要思维过程思维过程.3.合情推理与演绎推理的相关说明：合情推理与演绎推理的相关说明：回顾小结回顾小结布置作业布置作业1.P37.习题习题2.1.第第7题题;2.完成练习册完成练习册.有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。
