1、7.4 线性变换线性变换 一、线性变换的定义一、线性变换的定义 二、线性变换的性质二、线性变换的性质 三、小结、思考题三、小结、思考题 定义：定义：设设 与与 是两个集合，所谓是两个集合，所谓 到到 的一的一 个变换个变换( (或或映射映射) )就是指一个法则就是指一个法则, ,它使它使 中任一个中任一个 元素元素 都有都有 中一个确定的元素中一个确定的元素 与之对应与之对应. .如果如果 映射映射 使元素使元素 与元素与元素 对应对应, ,则记为则记为 称为称为 在变换在变换 下的下的象象, ,而而 称为称为 在变换在变换 下的一个下的一个原象原象. .象的全体称为象集象的全体称为象集, ,
2、记作记作 , ,即即 显然显然 M M M ()= , (M) (M)= = ()|M , (M)M . MM M M M 1. 映射 2. 线性变换 定义：定义：设设 分别是实数域分别是实数域 上的上的 维和维和 维线维线 性空间性空间, , 是一个从是一个从 到到 的变换的变换, ,且满足且满足 1) 1) 任给任给 成立成立 2) 2) 任给任给 成立成立 则则 就称为从就称为从 到到 的一个的一个线性变换线性变换, ,记作记作 nm V ,W R n V m W nm 12n ,V , 2 121 ( + )( )( ); n V ,kR, (k )k( ), n V m W nm :
3、VW ., , 2)( 下的象下的象在变换在变换代表元素代表元素或或变换变换 代表线性代表线性一般用黑体大写字母一般用黑体大写字母 TTT BAT 说明说明: .)1(组合的对应的变换组合的对应的变换线性变换就是保持线性线性变换就是保持线性 , ,. mnn n WV V V 如如果果那那么么 是是一一个个从从线线性性空空间间到到其其 自自身身的的线线性性变变线线性性空空间间 中中换换 称称的的线线性性变变换换为为 从线性空间从线性空间 到其自身的线性变换到其自身的线性变换 Vn 下面主要讨论线性空间下面主要讨论线性空间 中的线性变换中的线性变换 Vn , 3中 中在线性空间在线性空间xP例1
4、例1 . )1( 是一个线性变换是一个线性变换微分运算微分运算D , 3 01 2 2 3 3 xPaxaxaxap ,23 12 2 3a x axa Dp , 3 01 2 2 3 3 xPbxbxbxbq ,23 12 2 3b x bxb Dq )()()()( 0011 2 22 3 33ba x baxbaxba D )( qpD 从而从而 )()(2)(3 1122 2 33ba x baxba )23()23( 12 2 312 2 3b x bxba x axa ;DqDp )()( 01 2 2 3 3a kx a k xa k xa kDkpD )23( 12 2 3a
5、x axa k .kDp .,)( )2( 0 也是一个线性变换也是一个线性变换那么那么如果如果T a pT );()()( 00 qTpT ba qpT ).()( 0 pkT a kkpT . , 1)()3( 11 性变换性变换 但不是线但不是线是个变换是个变换那么那么如果如果 T p T , 1)( 1 qp T , 211)()( 11 q T p T 但但 ).()()( 111 q T p T qp T 所以所以 ., cossin sincos 的几何意义的几何意义说明说明平面上的一个变换平面上的一个变换确定确定 由关系式由关系式 TTxOy y x y x T 例2例2 解解
6、 ,sin ,cos ry rx 记记 于是于是 y x T cossin sincos yx yx cossinsincos sinsincoscos rr rr , )sin( )cos( r r . : 角角转转 向旋向旋把任一向量按逆时针方把任一向量按逆时针方变换变换上式表明上式表明 T x y o p p1 证明证明 设设 .,VxgVxf 则有则有 dttgtfxgxfT x a dttgdttf x a x a xgTxfT 例例 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数定义在闭区间上的全体连续函数组成实数 域上的一个线性空间域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换，在这个空间中变换
7、是一个线性变换是一个线性变换. dttfxfT x a V xkfT 故命题得证故命题得证. dttkf x a tdtfk x a .xfkT 证明证明 则有则有 E EE V , 设设 . kEkkE 例例 线性空间线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）中的恒等变换（或称单位变换） ： 是线性变换是线性变换 .,VE V E 所以恒等变换所以恒等变换 是线性变换是线性变换 E 证明证明 000000 设设 ,V 则有则有 .0000 kkk 所以零变换是线性变换所以零变换是线性变换 例例 线性空间线性空间 中的零变换中的零变换 ： 是线性是线性 变换变换 00 VO 证明证明 , 3 32
8、1321 Rbbbaaa 332211 ,bababaTT 0 , 3232 2 11 bbaaba 0 ,0 , 32 2 132 2 1 bbbaaa . TT 证毕证毕. 例例 在在 中定义变换中定义变换 则则 不是不是 的一个线性变换的一个线性变换 0 , 32 2 1321 xxxxxxT 3 R 3 RT ;, 00. 1 TTT . ,. 3 2121 亦线性相关亦线性相关 则则线性相关线性相关若若 m m T TT ; ,. 2 2211 2211 mm mm TkTkTkT kkk 则则若若 二、线性变换的性质 . , 2121 不一定线性无关不一定线性无关 则则线性无关线性
9、无关若若 mm TTT 注意注意 证明证明 , 21n VT 设设, 21n V 则有则有 , 2211 TT使使从而从而 2121 TT , 21n VTT ; 21n V 因因 11 kTk , 1n VTkT , 1n Vk 因因 由于由于 , nn VVT 由上述证明知它对由上述证明知它对 中的线中的线 n V 线性运算封闭，线性运算封闭， 故它是故它是 的子空间的子空间 n V .), ()( . 4 的象空间的象空间称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间 是一个线性空间是一个线性空间的象集的象集线性变换线性变换 T VV TT nn 证明证明 , 21T S 若若, 0, 0 2
10、1 TT 则则 2121 TTT 0 ; 21T S , 1 RkST 若若则则 00 11 kkTkT . 1T Sk ,对线性运算封闭对线性运算封闭因此因此 T S, nT VS 又又 .的子空间的子空间是是故故 nT VS ., 0,0. 5 的核的核称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间是是 的全体的全体的的使使 TSV TVST Tn nT 阶矩阵阶矩阵设有设有n 例7例7 ),( 21 21 22221 11211 n nnnn n n aaa aaa aaa A 为为中的变换中的变换定义定义其中其中)(, 2 1 xTy R a a a n ni i i i ),( ,)( R
11、 xAxxT n .为线性变换为线性变换则则T , R ba n 设设 则则 )(baT )(baA AbAa );()(bTaT )(kaT)(kaA kAa ).(akT 量空间量空间 所生成的向所生成的向的象空间就是由的象空间就是由又又 n T, 21 , )( 21 2211 R xxx xxx y R T n nn n . 0 间间 的解空的解空就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组的核的核 Ax S T T 三、小结 要证一个变换要证一个变换 是线性变换，必须证是线性变换，必须证 保持保持 加法和数量乘法，即加法和数量乘法，即 , TTT . kTkT T T 若证一个变换若证一个变换 不是线性变换，只须证不是线性变换，只须证 不保不保 持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可 TT
