1、1 9.6 对称结构的计算 对称结构是几何形状、 支座、 刚度 都对称. EI EI EI 1、结构的对称性： 对称轴 对称轴 l/2 l/2 a/2 a/2 EI1 EI1 EI2 EI2 2、荷载的对称性： 对称荷载绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载绕对称 轴对这后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。 对称轴 对称轴 EI EI 对称轴 q P P1 P1 对称荷载 对称轴 q P P1 P1 m 反对称荷载 2 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。 P P1 P2 一般荷载 a P/2 F F 对成荷载 a a P/2 W W 反对称荷
2、载 P/2 a a P/2 P1=F+W，P2=WF 3 3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法) P P2 一般荷载 X3 X2 X1 X2 X1=1 1 M X2=1 X2 2 M X3=1 3 M 0 32233113 0 0 0 3333 2222121 1212111 P P P X XX XX 力法方程降阶 如果荷载对称，MP对称， 3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，MP反对 称，1P=0， 2P=0， X1= X2 =0。 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 4 EI E
3、I EI 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 a a）位于对称轴上的截面的位移）位于对称轴上的截面的位移 ， 内力 P P C uc=0、c=0 P P QC=0 QC P C 等代结构 b b）奇数跨对称结）奇数跨对称结 构的等代结构是将构的等代结构是将 对称轴上的截面设对称轴上的截面设 置成定向支座。置成定向支座。 对称：uc=0,c=0 中柱： vc=0 P P C C P 等代结构 P P C 对称：uc=0, c=0 中柱： vc=0 P P C 对称：uc=0 中柱： vc=0 P 等代结构 c c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：）偶数跨对称结构在对称荷
4、载下等代结构取法：将对称轴将对称轴 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。 NC NC MC 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法) 5 P P C 2EI EI EI EI 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）、位于对称轴上的截面的位移 ， 内力 P P vc=0 P P NC=0，MC=0 QC P C 等代结构 P 等代结构 P 等代结构 C P P C 2EI P P C 2EI EI EI NC NC MC c）偶数跨对称结构的等代结构 将中柱刚度折半，结点形式不变 b
5、）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆将对称轴上的截面设置成支杆 7 198 103.5 81 135 kNm 例：绘制图示结构的内力图。 EI EI EI 6m 6m 23kN/m 等代结构的计算 103.5 81 135 M K kN m 198 198 103.5 81 135 kNm 396 207 等代结构 利用对称性计算要点： 选取等代结构； 对等代结构进行计算，绘制弯矩图； 利用对称或反对称性作原结构的弯矩图； 非对称荷载分成对称和分对称荷载。 EI EI 2EI EI EI 6m 6m 6m 46kN/m 8 P P EI=常数 l/2 l/2 l/2 P/2
6、P/2 l/2 P/2 l/2 l/4 P/2 l/2 l/4 X1 基本体系 l/2 X1=1 P/2 l/2 4 pl 1 M Mp 解: 11 x1+1P=0 11= 1P= EI ll EI4 3 11 4 1 2 1 1 1 EI Pl Pl llPll EI84482 1 1 2 X1= 6 Pl 先叠加等代结构的弯矩图 12 Pl 6 Pl 12 Pl 9 作图示刚架的弯矩图。 EI=常数。 P P P P P P A B C P C B Pl/8 Pl/8 Pl/8 Pl/8 P P P P l/2 l/2 l/2 l/2 A B C l/2 l/2 10 例题：用力法计算图示
7、结构并作M图。EI=常数。 2kN 4kN.m 4m 4m 2m 4m 4kN.m 4m 4m 4m 4kN.m 4kN.m X1 X1=1 4 M MP 4kN.m 4 解: 11 x1+1P=0 4 3 11 1 1 P X 64 4 4 4 1 1 P EI EI 3 256 4 4 4 3 4 2 4 4 2 1 1 11 EI EI 1 3 3 4 1 M图(kN.m) 2kN 2kN 11 无弯矩状态的判定： 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有
8、轴力。 P M=0 2）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力. P M=0 M=0 3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。 MP=0 MP=0 1P=0 110 X1= 1P/11=0 M=M1X1+MP=0 P P P P P 12 EI2 EI1 EI1 P l h P/2 P/2 P/2 P/2 求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。 M=0 P/2 P/2 等代结构 X1 基本体系 l/2 l/2 M X1=1 MP P/2 Pl/2 EI l Ph EI l h Ph 1 2 1 11 8 2 2 2 1 EI l EI h l 2 3 1 2 24 4 EI
9、l l l EI l h l 2 1 11 1 3 2 2 2 1 2 2 l I h I k 1 2 l Ph k k 2 1 6 6 X P 11 1 1 4 1 6 2 6 Ph k k 4 1 6 6 Ph k k 13 4 1 6 2 6 Ph k k 4 1 6 6 Ph k k 4 19 18 Ph 4 Ph 2 Ph 2 Ph k很小 弱梁强柱 k很大 强梁弱柱 4 Ph 4 19 20 Ph k=3 荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有 关，而与各杆的刚度绝对值无关。 内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者， 内力也大。 l I h I k 1 2 14 例：试用对称性计算图示
10、刚架，并绘弯矩图。 EI=C EA P P a a a a EI=C EA P/2 P/2 P/2 P/2 EI=C EA P/2 P/2 P/2 P/2 解：将荷载分为正对承和反对称两组 正对称结点荷载作 用下各杆弯矩为零 反对称荷载作用 取等代结构如下 1、取基本结构； 2、力法方程： = + EI=C EA P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 等 代 结 构 0 0 P/2 P/2 X1 基 本 体 系 0 1111 P X X1=1 1 M 2 3Pa X1 MP 2 Pa 3、绘 求系数 自由项 P MM , 1 4、解方程： 28 15 11 1 1 P X P EI
11、Pa EI a P 4 5 3 7 3 1 3 11 5、按 绘弯矩图。 P MXMM 11 15 1 27 15 1 27 ) 28 ( Pa M图 a 15 9-7 超静定拱的计算方法 16m 3m 16 X1 11 1 H P j cos 1 N 1 y M 0 1 1 11 X p 2 11 ds EI y j cos 2 ds EA 0 1 ds EI y M P 2 1 ds EA N 2 1 11 ds EI M EI 1 1 ds M M P p MP=M 0 j X1=1 x y X1=1 由于拱是曲杆111P不能用图乘法 基本体系是曲梁，计算1P时一般只 考虑弯曲变形， 计
12、算11时，有时（在平拱中）还要 考虑轴向变形 j j cos sin 0 H Q N j sin cos 0 H Q Q 0 Hy M M 求出H后，内力的计算与三铰拱相同 即： 三铰拱中： f M H C 0 两铰拱中： 11 1 H P 17 MP=M 0 0 0 E1A1 H=1 X1=1 11 MN 11 1 H P MP=M 0 ds EI M M P P 1 1 ds EA N ds EI M 2 1 2 1 11 落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构 如果如果E E1 1A A1 1，则，则H H* *HH，因而两者的受力状态基本相同。，因而两者的受力状态基本相同。 如果如果E E1
13、 1A A1 100，则，则H H* *00，这时，带拉杆的三铰拱实际一，这时，带拉杆的三铰拱实际一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。 由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适 当的加大拉杆的刚度。当的加大拉杆的刚度。 H*=1 11 MN ds EA N ds EI M 2 1 2 1 * 11 11A E l 11 11 * 11 AE l * 11 * 1 * P H P P P ds EI MM 1 1 * 1 * 11 * 1 * P H 18 例：EI=常数，求H。拱轴线方程为 xlx l
14、f y 2 4 0.5l 0.5l f q y x B A q ql 8 1 ql 8 3 ql 16 2 x l ql M 8 1 0 l x l 2 qx qlx M 2 2 1 8 3 0 f ql H P 16 2 11 1 EI l f dx x l x l f EI l 15 8 4 1 2 0 2 2 11 dx yM dx y EI l p l 1 0 0 1 0 2 11 解: 简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取 ds=dx,cosj=1(平拱,f/l0.2)。 (0x0 P i j j i dx EI M M dxX EI M M P j j i dx M X M EI M
15、 EI i dx M M 0 i 0 iP j ij X 即： ij iP ij iP ij iP ij iP 41 M 4m 2m 2m 4m 200kN 150 100 60 20 30 15 40 I=2 I=2 I=1 I=1 M图（kN.m) B A XA=1 4 4 200 3 80 1 2 40 20 4 4 3 4 2 2 4 100 2 4 V A 2 4 200 2 1 A X1=1 1 1 1 0 40 1 4 2 15 30 1 1 4 2 60 30 2 1 4 2 20 40 1 1 ds I M ds EI M M 0 ds EI M 封闭框 结论:当结构只受荷载
16、作用时, 沿封闭框形的M/EI图形的 总面积应等于零。 42 X1=1 M1 1 1 1 q=23kN/m 6m 6m EI EI EI A B X1 X1 =1 6 6 M1 198 103.5 81 135 M kNm 0 6 81 135 6 2 6 6 2 6 3 6 5 . 103 2 3 6 2 2 198 6 1 1 EI 0 1 2 6 81 135 3 2 2 6 81 1 1 EI 43 静 定 结 构 超 静 定 结 构 荷载作用 支座移动 温度改变 内 力 变 形 位 移 内 力 变 形 位 移 由平衡条件求 不产生内力 不产生变形 综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
17、M = EI t h 静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表 ds h t M ds EI MM a cR ds EI MM ds EA NN ds EI MM ds EI MM ds h t M a cR GA kQ EA N EI M , GA kQ EA N EI M , 0 ,t h t a a , EA N EI M 44 超静定结构的特性：超静定结构的特性： 1、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系；、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系； 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出， 还必须考虑变形条
18、件；还必须考虑变形条件； 3、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产 生内力。生内力。 4、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特 征有关，即与刚度有关。征有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载外因引荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载外因引 起的内力与各杆的刚度绝对值有关。起的内力与各杆的刚度绝对值有关。 5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较 高的防御能力。高的防御能力。 6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小 局部的内力幅值和位移幅值。局部的内力幅值和位移幅值。 l/2 l/2 l/2 l/2 P P P P Pl/4 Pl/4 46
