大学精品课件：结构动力学-8.ppt

1、3.3 3.3 振型分解法振型分解法 一一. .振型正交性振型正交性 i i振型振型 Ni i i i X X X X 2 1 ii Xm 1 2 1 ii Xm 2 2 2 NiiN Xm 2 1 m 2 m i X1 N m i X 2 Ni X i i振型上的振型上的 惯性力惯性力 Ni i i N i NiiN ii ii X X X m m m Xm Xm Xm 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ii Xm 2 jj Xm 1 2 1 jj Xm 2 2 2 NjjN Xm 2 1 m 2 m j X1 N m j X 2 Nj X j j振型振型 Ni i i i X

2、 X X X 2 1 i i振型上的惯性力振型上的惯性力 在在j j振型上作的虚功振型上作的虚功 jiijiiij XXmXXmW 22 2 211 2 1 i T ji XmX 2 j j振型上的惯性力振型上的惯性力 在在i i振型上作的虚功振型上作的虚功 j T ijji XmXW 2 ijji WW 由虚功互等定理由虚功互等定理 0)( 22 i T jij XmX i T jj XmX 2 0 i T j XmX 1 m 2 m i X1 ii Xm 1 2 1 N m ii Xm 2 2 2 NiiN Xm 2 i X 2 Ni X 1 m 2 m j X1 jj Xm 1 2 1

3、N m jj Xm 2 2 2 NjjN Xm 2 j X 2 Nj X i i振型上的惯性力振型上的惯性力 在在j j振型上作的虚功振型上作的虚功 jiijiiij XXmXXmW 22 2 211 2 1 i T ji XmX 2 j j振型上的惯性力振型上的惯性力 在在i i振型上作的虚功振型上作的虚功 j T ijji XmXW 2 ijji WW 由虚功互等定理由虚功互等定理 0)( 22 i T jij XmX i T jj XmX 2 0 i T j XmX 振型对质量的正交性的物理意义振型对质量的正交性的物理意义 0 2 i T jiij XmXW i i振型上的惯性力在振型上

4、的惯性力在j j振型上作振型上作 的虚功等于的虚功等于0 0 振型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: : iii XmXk 2 i T jii T j XmXXkX 2 0 i T j XkX 1 m 2 m i X1 ii Xm 1 2 1 N m ii Xm 2 2 2 NiiN Xm 2 i X 2 Ni X 1 m 2 m j X1 jj Xm 1 2 1 N m jj Xm 2 2 2 NjjN Xm 2 j X 2 Nj X 振型对质量的正交性的物理意义振型对质量的正交性的物理意义 0 2 i T jiij XmXW i i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j j振型上作振型上作 的

5、虚功等于的虚功等于0 0 振型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: : iii XmXk 2 i T jii T j XmXXkX 2 0 i T j XkX 振型对刚度的正交性的物理意义振型对刚度的正交性的物理意义 i X1 1 P 2 P N P i X 2 Ni X i XkP 0 i T j T j XkXPX i i振型上的弹性力在振型上的弹性力在j j振型上作振型上作 的虚功等于的虚功等于0 0 振型正交性的应用振型正交性的应用 1.1.检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。 例例: :试验证振型的正确性试验证振型的正确性 m m m 2 2.2.对耦联运动微分方程组作

6、解对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等耦运算等等. . 1 897. 0 ; 1 23. 2 21 XX m l EI m EI l 1 y 2 y 3 1 7 48 7 18 7 18 7 12 l EI k m m m XmX T 00031. 0 1 897. 0 20 0 123. 2 21 )/(000154. 0 1 897. 0 7/487/18 7/187/12 123. 2 3 21 lEIXkX T 例例: :已知图示体系的第一振型已知图示体系的第一振型, , 试求第二振型试求第二振型. . ; 1 23. 2 1 X m l EI m EI l 1 y 2 y 0 20

7、0 123. 2 22 12 21 X X m m XmX T 解解: : 0223. 2 2212 mXmX 23. 2 2 22 12 X X 1 897. 0 2 X 例例: :已知图示体系在动荷载作用下的振幅为已知图示体系在动荷载作用下的振幅为 解解: : 5 . 1 3455. 1 1 23. 2 2 5 . 3 1145. 3 5000. 3 1145. 3 A 试从其中去掉第一振型分量试从其中去掉第一振型分量. . 2211 XDXDA 2121111 XmXDXmXDAmX TTT 2 9729. 6 945.13 11 1 1 m m XmX AmX D T T 11 XDA

8、A 1 897. 0 5 . 1 5 . 1 3455. 1 A 2 5 . 1X 212211 2 1 5 . 12XXXDXDDXA i ii 1 897. 0 ; 1 23. 2 21 XX m l EI m EI l 1 y 2 y 二二. .振型分解法振型分解法( (不计阻尼不计阻尼) ) 运动方程运动方程 )()()(tPtyktym 1 m 2 m )( 1 ty )( 1 tP N m )( 2 tP)(tP N )( 2 ty )(tyN 设设 N i ii tDXty 1 )()( ),2, 1(Nj )() )() )( 11 tPtDXktDXm N i ii N i

9、ii )() )() )( 11 tPXtDXkXtDXmX T j N i ii T j N i ii T j )()()(tPXtDXkXtDXmX T jjj T jjj T j )()()( * tPtDKtDM jjjjj * j M-j j振型广义质量振型广义质量 * j K-j j振型广义刚度振型广义刚度 )( * tPj-j j振型广义荷载振型广义荷载 )(tD j * j M )( * tPj * j K 折算体系折算体系 j jj XmXk 2 j T jjj T j XmXXkX 2 *2 / jjj MK 二二. .振型分解法振型分解法( (不计阻尼不计阻尼) ) 运动

10、方程运动方程 )()()(tPtyktym 1 m 2 m )( 1 ty )( 1 tP N m )( 2 tP)(tP N )( 2 ty )(tyN 设设 N i ii tDXty 1 )()( ),2, 1(Nj)()()( * tPtDKtDM jjjjj * j M-j j振型广义质量振型广义质量 * j K-j j振型广义刚度振型广义刚度 )( * tPj-j j振型广义荷载振型广义荷载 )(tD j * j M )( * tPj * j K 折算体系折算体系 计算步骤计算步骤: : 1.1.求振型、频率求振型、频率; ; 2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;

11、3.3.求组合系数求组合系数; ; 4.4.按下式求位移按下式求位移; ; N i ii tDXty 1 )()( 例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. . mmm 21 解解: : mXmXM T 2 11 * 1 tP tP tPXtP T sin 0 sin 11)()( 1 * 1 计算步骤计算步骤: : 1.1.求振型、频率求振型、频率; ; 2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ; 3.3.求组合系数求组合系数; ; 4.4.按下式求组合系数按下式求组合系数; ; N i ii tDXty 1 )()( 1 m 2 m )( 1 ty tPsin

12、)( 2 ty EIEI 3 /415.3mlEI 3 2 3 1 045.22692. 5 ml EI ml EI 1 1 1 X 1 1 2 X mXmXM T 2 22 * 2 tPtPXtP T sin)()( 2 * 2 例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. . mmm 21 解解: : mXmXM T 2 11 * 1 tP tP tPXtP T sin 0 sin 11)()( 1 * 1 1 m 2 m )( 1 ty tPsin )( 2 ty EIEI 3 /415.3mlEI 3 2 3 1 045.22692. 5 ml EI ml EI 1 1 1

13、 X 1 1 2 X mXmXM T 2 22 * 2 tPtPXtP T sin)()( 2 * 2 * 1 * 11 2 11 /)()()(MtPtDtD )( 1 tD * 1 M tPsin * 1 K t EI Pl sin10411.2 3 2 * 2 * 22 2 22 /)()()(MtPtDtD t EI Pl tDsin101054.0)( 3 2 2 tDtD st sin)( 1, 11 t m P sin /1 1 2 222 1 1 例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. . mmm 21 解解: : 1 m 2 m )( 1 ty tPsin

14、)( 2 ty EIEI 3 /415.3mlEI 3 2 3 1 045.22692. 5 ml EI ml EI 1 1 1 X 1 1 2 X tDtD st sin)( 1, 11 t m P sin /1 1 2 222 1 1 t EI Pl sin10411.2 3 2 * 2 * 22 2 22 /)()()(MtPtDtD t EI Pl tDsin101054.0)( 3 2 2 2211 )(DXDXty t EI Pl t EI Pl ty ty sin101054. 0 1 1 sin10411. 2 1 1 )( )( 3 2 3 2 2 1 t EI Pl sin

15、10 3059. 2 5167. 2 3 2 例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. . mmm 21 解解: : 1 m 2 m )( 1 ty tPsin )( 2 ty EIEI 3 /415.3mlEI 3 2 3 1 045.22692. 5 ml EI ml EI 1 1 1 X 1 1 2 X 2211 )(DXDXty 2211 )(DXDXty t EI Pl t EI Pl ty ty sin101054. 0 1 1 sin10411. 2 1 1 )( )( 3 2 3 2 2 1 t EI Pl sin10 3059. 2 5167. 2 3 2 E

16、I Pl A A 3 2 2 1 10 3059. 2 5167. 2 从结果看从结果看, ,低阶振型贡献大低阶振型贡献大 一般不需要用全部振型叠加一般不需要用全部振型叠加, , 用前几个低阶振型叠加即可。用前几个低阶振型叠加即可。 例二例二. .求图示体系在突加荷载作用下的位移反应求图示体系在突加荷载作用下的位移反应. . 解解: : m1 2 k 1 EI 1 EI 1 k m2 kNP8 已知已知: : ;102;103 3 2 3 1 kNkkNk ;10200 21 kgmmm加荷前静止。加荷前静止。 ss/125.24;/1899. 9 21 2 1 1 X 2/ 1 1 2 X

17、kgXmXM T 51000 11 * 1 kgXmXM T 12750 22 * 2 kNtPXtP T 16 8 0 21)()( 1 * 1 kNtPXtP T 4)()( 2 * 2 t dt M P tD 0 1 1 * 1 * 1 1 )sin( )( )( )cos1( 1 1 * 1 * 1 t M P )cos1(0032.0 1t )cos1(000534.0)( 22 ttD )( 2/1 1 )( 2 1 )( )( 21 2 1 tDtD ty ty t ty 2 11 cos000534.0 cos0032.000267.0 t ty 2 12 cos000267.

18、0 cos0064.000667.0 1 m 2 m )( 1 ty )( 1 tP N m )( 2 tP)(tP N )( 2 ty )(tyN 三三. .振型分解法振型分解法( (计阻尼计阻尼) ) 阻尼力阻尼力 )(tycfD 1D f 2D f DN f NNNN N N ccc ccc ccc c 21 22221 11211 -阻尼矩阵阻尼矩阵 ij c -当质点当质点j j有单位速度有单位速度 , ,其余质点速度为其余质点速度为0 0时时, ,质点质点i i上的阻尼力上的阻尼力. . )1( j y 若下式成立若下式成立 jiC ji XcX j j T i* 0 则将则将 称

19、作正交阻尼矩阵称作正交阻尼矩阵, , 称作振型称作振型j j的广义阻尼系数的广义阻尼系数. . c * j c 运动方程运动方程 )()()()(tPtyktyctym 设设 N i ii tDXty 1 )()( ),2, 1(Nj)()()()( * tPtDKtDCtDM jjjjjjj 1 m 2 m )( 1 ty )( 1 tP N m )( 2 tP)(tP N )( 2 ty )(tyN 1D f 2D f DN f 三三. .振型分解法振型分解法( (计阻尼计阻尼) ) 运动方程运动方程 )()()()(tPtyktyctym 设设 N i ii tDXty 1 )()( ),2, 1(Nj)()()()( * tPtDKtDCtDM jjjjjjj 令令 * 2 jjjj MC * /)()()(2)( jjjjjjjj MtPtDtDtD j -第第j j振型阻尼比振型阻尼比( (由试验确定由试验确定).). 计算步骤计算步骤: : 1.1.求振型、频率求振型、频率; ; 2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ; 4.4.求组合系数求组合系数; ; 5.5.按下式求位移按下式求位移; ; N i ii tDXty 1 )()( 3.3.确定振型阻尼比确定振型阻尼比; ; 作业作业: : 201201页页 8 8- -9 9