1、1 2 第十章第十章 力矩分配法力矩分配法 101 引 言 102 力矩分配法的基本原理 103 用力矩分配法计算连续梁 3 101 引 言 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。 渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计 算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同， 易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求 得杆端弯矩。在结构设计中
2、被广泛采用。 返返 回回 4 102 力矩分配法的基本原理 力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连 续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。 1.劲度系数、传递系数 劲度系数(转动刚度)Sij 定义如下：当杆件AB的A端转 动单位角时，A端(又称近端)的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB 表示。它标志着该杆端抵抗转动能 力的大小，故又称为转动刚度。 则劲度系数与杆件的远端支承 情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： A B EI L 1 MAB =4i MBA A B EI 1 MAB =3i SAB=MAB=4i 远端铰支时： SAB=MAB=3i SAB
3、=3i A B 1 远端滑动支撑时： EI MAB =i MBA SAB=MAB=i SAB=i 远端自由时： A B 1 MAB =o EI SAB=MAB=0 SAB=0 SAB=4i 返返 回回 5 (2) 传递系数Cij A B EI L 1 MAB =4i A B EI 1 MAB =3i SAB=MAB=4i SAB=MAB=3i A B 1 EI MAB =i MBA =-i SAB=MAB=i A B 1 MAB EI SAB=MAB=0 当近端A转动时，另一端B(远端) 也产生一定的弯矩，这好比是近端 的弯矩按一定比例传到远端一样， 故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由 A端向B
4、端的传递系数传递系数，用CAB表示。 即 或 MBA=CABMAB 远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB=1 由表右图或表(101)可得 MBA =2i 返返 回回 6 2. 力矩分配法的基本原理 现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。 1 2 3 4 q P (a) 1 2 3 4 (b) MP图 F 21 MF 12 M F 14 M F 41 M 图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角 Z1，其典型方程为 r11Z1+R1P=0 绘出MP图（图b), 可求得自由项为 R1P= R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为
5、刚臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的 差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩。 1 F 12 M F 13 M F 14 M 返返 回回 7 r11= 式中S1j代表汇交于结点1的各 杆端劲度系数的总和。 1 2 3 4 (c) 1M 图 1Z1 2i12 4i12 3i13 i14 绘出结构的 图（见图c)， 计算系数为： 解典型方程得 Z1= 然后可按叠加法 M= 计算各杆端的最后弯 弯矩。 4i12+3i13+i14 = S12+S13+S14 = S1j 返返 回回 8 M12= M13= M14= 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。
6、 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端， 因此称为分配弯矩，12 、13 、 14等称为分配系数分配系数， 其计算公式为 1j= (101) 结点1的各近端弯矩为： 返返 回回 9 1j = (101) 显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即 1j =1 。 各远端弯矩如下 M21= M31= M41= 各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1 角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系 数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩。 返返 回回 10 得出上述规律后，便可不必绘 MP 、 图，也不必列
7、出典 和求解 型方程，而直接按以上结论计算各杆端 弯矩。 ，其过程分为两步： (1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有 不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。 (2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加 入一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结 点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的 比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各 自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传 递弯矩。 返返 回回 11 例 101 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。 A B C D 30kN/m 50kN (a) 解： (1)计算各杆端分配系数 AB= AC=
8、 AD= AB=0.445 AC=0.333 AD=0.222 (2)计算固端弯矩 据表(101） EI 2EI 4m 2m 2m 12 qL2 = + 12 qL2 = + 8 3PL = 8 PL = (3)进行力矩的分配和传递 结点A的不平衡力矩为 A C D 杆 端 AB AC AD BA CA DA 0.445 0.333 0.222 分配系数 固端弯矩 -40 +40 0 75 -25 0 - -3535 分配弯矩 +15.5 +11.7 +7.8 +7.8 0 -7.8 -32.2 +55.5 最后弯矩 +11.7 -67.2 -32.8 0 B 55.5 60 11.7 67.
9、2 32.8 M图图 (kN.m) (b) 32.2 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。 +35+35 返返 回回 12 103 用力矩分配法计算连续梁 对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称 无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述 方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计 算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即 每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这 样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递， 直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次 渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。 返返 回回 13 例102 用力矩分配法计算图示连续梁。 0 1 2 3 25kN/m 400kN
10、 25kN/m 解： 固定1 2 结点。列表计 算如下: 12m 6m 6m 12m 分配系数 10= 12= 21= 23= 固端弯矩MF -300 +300 -600 +600 - -300300 -450 0 +150+150 结点1分配传递 +150+150 +150+150 +75+75 +75+75 结点2分配传递 - -129129 - -9696 - -6464 0 结点1分配传递 +32+32 +32+32 +16+16 +16+16 结点2分配传递 - -9 9 - -7 7 - -5 5 0 0.50.5 0.50.5 0.5710.571 0.4290.429 结点1分
11、配传递 +2+2 +3+3 +1+1 +1+1 结点2分配传递 - -1 1 0 最后弯矩最后弯矩M - -208208 +484+484 - -484 484 +553+553 - -553553 0 EI EI EI +225+225 - -225225 返返 回回 14 例103 用力矩分配法计算图示连续梁。 1.5kN/m 8kN 4kN 5m 8m 3m 5m 5m 1.5kN/m 8kN 4kN 4kN m 0.375 0.625 0.5 0.5 0.375 0.625 MF 0 +4.69 -8 +8 -9.38 +5.62 +2 +4 分分 配配 及及 传传 递递 -4.76
12、-2.86 -2.38 0 A B C D E F I 2I 2I I 0.8i i i 0.8i 1m A B C D E +1.24 +2.07 0 +1.03 +1.37 +1.36 +0.68 +0.68 -0.43 -0.25 -0.21 -0.25 -0.43 -0.21 -7.62 +3.31 +2.73 +0.42 +0.21 +0.21 +0.11 +0.11 -0.04 -0.07 -0.03 -0.07 -0.04 -0.03 +0.03 +0.03 +0.02 +0.02 -0.01 -0.01 -0.01 -0.01 M 0 +5.63 -5.63 +10.40 -10.40 +1.16 -1.16 +4 返返 回回 15 1.5kN/m 8kN 4kN A B C D E F I 2I 2I I M 0 +5.63 -5.63 +10.40 -10.40 +1.16 -1.16 +4 5.63 4.69 1.88 12 1.16 15 0 4 8.06 M图图 0 10.40 3.98 返返 回回
