1、7.5 线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示 一、线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示 二、线性变换在不同基下的矩阵二、线性变换在不同基下的矩阵 三、小结、思考题三、小结、思考题 , , , 2211 22221122 12211111 nnnnnn nn nn aaaT aaaT aaaT 一、线性变换的矩阵表示 定义 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 n V n V n , 21 T T 其中 , 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A AT nn , 2121 上式 , 2121nn TTTT 记记 可表
2、示为 那么， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵 n , 21 AT .)(,),(, 1 唯一确定唯一确定由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然 n TTA ?, ),(),( , , 2121 21 21 需要满足什么条件呢需要满足什么条件呢变换变换那么那么 下的象为下的象为在变换在变换也就是说基也就是说基的矩阵的矩阵 下下在基在基是线性变换是线性变换假设假设现在现在 T AT T TA nn n n 有有设设, 1 i n i inxV )( T)( 1 i n i ix T n i iiTx 1 )( x x x TTT n n 2 1 21 )(,),(),( ,),( 2 1 21 x x
3、 x A n n .),(),( 2 1 21 2 1 21 x x x A x x x T n n n n 即即 . , 为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换是以是以变换变换 并且所确定的并且所确定的变换变换上式唯一地确定了一个上式唯一地确定了一个 AT T .由上式唯一确定由上式唯一确定为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换以以TA . , , T AA T Vn 个线性变换个线性变换 也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵 可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在 . , 一对应的一对应的 线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定
4、一个基的条件下在给定一个基的条件下 结论 : ),(),( 2 1 21 2 1 21 可知可知 从关系式从关系式 x x x A x x x T n n n n , 21 下下在基在基 n ; 2 1 x x x n 的坐标为的坐标为 .)( )( 2 1 x x x ATT n 的坐标为的坐标为 有有因此按坐标表示因此按坐标表示, .)( AT . , 1, , 43 2 2 3 1 3 的矩阵的矩阵求微分运算求微分运算 取基取基中中在在 D pxp x p x p xP 例1例1 解解 ,00000 ,10001 ,02002 ,00303 43214 43213 43212 4321
5、2 1 pppppD pppppD ppppxpD pppp x pD 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为所以所以D . 0100 0020 0003 0000 A 一般来说，同一个线性变换在不同的基下有不 同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 二、线性变换在不同基下的矩阵 ,;, 2121nn 定理 设线性空间 中取定两个基 n V 由基 到基 的过渡矩阵为 ， 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ，那末 n , 21 n , 21 n V . 1 APPB PT AB 于是于是 nn TB , 2121 , 21 PT n PT n , 21 证明 P nn , 2121 ,
6、 2121 AT nn BT nn , 2121 AP n , 21 APP n 1 21 , 因为因为 线性无关，线性无关， n , 21 所以所以 .APPB 1 证毕证毕. 定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵 BA P 例 ., , , 12 2221 1211 212 下的矩阵下的矩阵在基在基求求 下的矩阵为下的矩阵为在基在基中的线性变换中的线性变换设设 T aa aa A T V , 01 10 ),(),( 2112 解 , 01 10 P即即 , 01 10 1 P 求得求得 下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是),( 12 T 01 10 01 1
7、0 2221 1211 aa aa B . 1112 2122 aa aa 01 10 1211 2221 aa aa ).(,ARTTA的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若 .,rn S TrT T 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若 . ,)( 的秩的秩性变换性变换 称为线称为线的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换定义2定义2 T V TT n 线性变换的秩 给定了线性空间给定了线性空间 的一组基以后，的一组基以后， 中的线中的线 性变换与性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在中的矩阵形成一一对应因此，在 线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用 变换来研究矩阵变换来研究矩阵 n R n R nn R 同一变换在不同基下的矩阵是相似的同一变换在不同基下的矩阵是相似的 三、小结
