1、第第2 2章章 数数 学学 模模 型型 为了从理论上对控制系统进为了从理论上对控制系统进 行性能分析，首先要建立系统行性能分析，首先要建立系统的数学模型。的数学模型。系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。间的内在关系。系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择。在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组的形式；在择。在时间域，通常采用微分方程或一
2、阶微分方程组的形式；在复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。必须指出，建立合理的数学模型，对于系统的分析和研究极必须指出，建立合理的数学模型，对于系统的分析和研究极为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全表达为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全表达出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷的考虑。一般是出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷的考虑。一般是根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系统内在本
3、质特性，又能简化分析计算工要因素，建立既能反映系统内在本质特性，又能简化分析计算工作的模型。作的模型。学习目的学习目的1.了解建立系统数学模型的一般步骤了解建立系统数学模型的一般步骤2.掌握拉氏变换和反变换方法掌握拉氏变换和反变换方法3.掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、复数域；解析式、图示式）复数域；解析式、图示式）4.了解非线性数学模型线性化的方法了解非线性数学模型线性化的方法 5.熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立过程过程 内容提要内容提要本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域本章主
4、要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域模型模型运动微分方程和复数域模型运动微分方程和复数域模型传递函数传递函数的建立、数学模型的图示法的建立、数学模型的图示法方框图和信号流图方框图和信号流图的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换 重重 点点传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函数的推导数的推导 难难 点点实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导 建立系统数学模型，一般采用解析法或实验法。所谓解析法建立系统数学模型，一般采用解析法或实验法。所谓解析法建模，即
5、依据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论建模，即依据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型。本章仅讨论解推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型。本章仅讨论解析建模方法，关于实验法建模将在后面的章节进行介绍。析建模方法，关于实验法建模将在后面的章节进行介绍。2.1 2.1 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程 2.1.1 2.1.1 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：(1)分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统分析系统的工
6、作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。和各元件的输入、输出量。(2)从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量 所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分方程。所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分方程。(3)消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。间关系的微分方程。(4)写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与输出写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与输出有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项
7、按降幂排列。有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项按降幂排列。2.1.2 2.1.2 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 1机械系统机械系统 任何任何机械系统机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用质量质量、弹性弹性和和阻阻尼尼三个要素来描述。三个要素来描述。(1)机械平移系统机械平移系统 图图2.1所示为常见的所示为常见的质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统，图中的，图中的 、分别表示分别表示质量质量、弹簧刚度弹簧刚度和和粘性阻尼系数粘性阻尼系数。以系统
8、在静止平。以系统在静止平衡时的那一点为零点，即衡时的那一点为零点，即平衡工作点平衡工作点，这样的零位选择消除了重，这样的零位选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力力的影响。设系统的输入量为外作用力 ，输出量为质量块，输出量为质量块的位移的位移 。现研究外力。现研究外力 与位移与位移 之间的关系。之间的关系。在输入力在输入力 的作用下，质量块的作用下，质量块 将有加速度，从而产将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度和位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻生速度和位移。质量块的速度和位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力尼力 和弹性力和弹性力 。这两个力反馈作用于质量块上，影。这两个力反馈作用于质量
9、块上，影响输入响输入 的作用效果，从而使质量块的速度和位移随时间发的作用效果，从而使质量块的速度和位移随时间发mK tfiB)(otx tfi)(otx tfim tfB tfK tfi 图图2.1 机械平移系统力学模型机械平移系统力学模型生变化，产生生变化，产生动态过程动态过程。根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律，有，有 点击观看公式推导点击观看公式推导 由由阻尼器阻尼器、弹簧弹簧的特性，可写出的特性，可写出 由以上三个式子，消去由以上三个式子，消去 和和 ，并写成标准形式，得，并写成标准形式，得 一般一般 、均为常数，故式（均为常数，故式（2.1）为）为二阶常系数线二阶常系数线性微分方程性微
10、分方程。它描述了输入。它描述了输入 和输出和输出 之间的动态关系。之间的动态关系。方程的系数取决于系统的方程的系数取决于系统的结构参数结构参数；而方程的阶次等于系统中独；而方程的阶次等于系统中独2io2d()()()()dBKf tftftmxttod()()dBftBx tto()()KftKx t tfB tfK2oooi2dd()()()()ddmx tBx tKx tf ttt（2.1）mKB tfi)(otx立的立的储能元件储能元件（惯性质量、（惯性质量、弹簧）的数量。弹簧）的数量。当质量当质量 很小可忽略不计很小可忽略不计时，系统由并联的时，系统由并联的弹簧弹簧和和阻阻尼器尼器组成
11、，如图组成，如图2.2所示。所示。此时，系统的运动方程此时，系统的运动方程为为一阶常系数微分方程一阶常系数微分方程 这说明，这说明，同一系统由于同一系统由于简化程度的不同，可以有不简化程度的不同，可以有不同的同的数学模型数学模型。ooid()()()dBx tKx tf tt图图2.2 弹簧弹簧-阻尼系统力学模型阻尼系统力学模型 (2)机械旋转系统机械旋转系统 包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将系统非常相似。只是这里将质量质量、弹簧弹簧、阻尼阻尼分别变成分别变成转动惯转动惯量量、扭转弹簧扭转弹簧、旋转
12、阻尼旋转阻尼。图图2.3所示为一所示为一机械旋转系统机械旋转系统，旋转体通过柔性轴（用扭转，旋转体通过柔性轴（用扭转弹簧弹簧 表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。受与旋转速度成正比的阻尼力矩。设齿轮转角设齿轮转角 为为系统输入量系统输入量，旋转体转角，旋转体转角 为为系统输系统输出量出量，据此建立系统的，据此建立系统的运动微分方程运动微分方程（忽略轴承上的摩擦）。扭（忽略轴承上的摩擦）。扭转弹簧左、右端的转角分别为转弹簧左、右端的转角分别为 、，设它加给旋转体的，设它加给旋转体的扭矩为扭矩为 （当（当 时
13、，弹簧的扭矩为零），则时，弹簧的扭矩为零），则 旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩 作用，作用，因而有因而有扭矩平衡方程扭矩平衡方程 io()()()KTtKtt2o2d()()()dKBJtTtT ttK)(it)(ot)(it)(ot)(tTBoi)(tTK和和旋转阻尼特性方程旋转阻尼特性方程 由以上三式整理可得由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程机械旋转系统运动微分方程 图图2.3 机械旋转系统力学模型机械旋转系统力学模型 od()()dBT tBtt2oooi2dd()()()()ddJtBtKtKttt（2.2）2电气系统电气系统
14、电阻电阻 、电感电感 和和电容器电容器 是电路中的三个基本元件。是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。电气系统数学模型电气系统数学模型 无源电路网络无源电路网络如图如图2.4所示，设输入端电压所示，设输入端电压 为系统输入量。电容器为系统输入量。电容器 两端电压两端电压 为系统输出量。现研究为系统输出量。现研究输入电压输入电压 和输出电压和输出电压 之间的关系。电路中的电流为中之间的关系。电路中的电流为中间变量。间变量。RLCCLR)(ituC)(otu)(itu)(otu图图2.4 无源电路网络无源电路网络 CLR
15、 根据根据基尔霍夫定律基尔霍夫定律，有，有 点击观看公式推导点击观看公式推导 消去中间变量消去中间变量 ，稍加整理，即得，稍加整理，即得 一般假定一般假定 、都是常数，则上式为都是常数，则上式为二阶常系数二阶常系数线性微分方程线性微分方程。若。若 ，系统也可简化为，系统也可简化为一阶常微分方程一阶常微分方程 有源电路网络有源电路网络如图如图2.5所示，设电压所示，设电压 为系统输入量，电为系统输入量，电压压 为系统输出量。现建立为系统输出量。现建立 与与 之间的关系式之间的关系式。id()1()()ddi tuRi tLi tttCo1()dui ttC)(ti2oooi2dd()()()()
16、ddLCu tRCu tu tu ttt（2.3）0LRLC)()()(ddRCiootututut（2.4）)(itu)(otu)(itu)(otuoid()()du tRCu tt 图图2.5 有源电路网络有源电路网络 图中图中 点为运算放大器的反相输入端，点为运算放大器的反相输入端，为运算放大器为运算放大器的开环放大倍数。因为的开环放大倍数。因为 且一般且一般 值很大，所以值很大，所以 点电位点电位 运算放大器的输入阻抗一般都很高，故而可认为运算放大器的输入阻抗一般都很高，故而可认为 因此，可以得到因此，可以得到 即即 oo()()Au tK ut AoKoKoo()0AuutK)()(
17、21titi oid()()du tu tCRt oid()()du tRCu tt （2.5）3流体系统流体系统 流体系统比较复杂，但经过适当简化也可以用流体系统比较复杂，但经过适当简化也可以用微分方程微分方程加以加以描述。描述。图图2.6所示为一简单的所示为一简单的液位控制系统液位控制系统。在此系统中，箱体通。在此系统中，箱体通过输出端的过输出端的 节流阀对外节流阀对外供液。设流供液。设流入箱体的流入箱体的流量量 为系为系统输入量，统输入量，液面高度液面高度 为输出为输出量，下面列量，下面列写液位波动写液位波动的的运动微分方程运动微分方程。i()q t)(tH图图2.6 液位控制系统液位控
18、制系统 根据流体连续方程，可得根据流体连续方程，可得 式中式中 箱体的截面积。箱体的截面积。设液体是不可压缩的，通过节流阀的液流是紊流，则其流量设液体是不可压缩的，通过节流阀的液流是紊流，则其流量公式为公式为 式中式中 由节流阀通流面积和通流口结构形式决定的由节流阀通流面积和通流口结构形式决定的系数，通流面积不变时系数，通流面积不变时 为常数。为常数。消去中间变量消去中间变量 得液位波动方程为得液位波动方程为 显然，式（显然，式（2.8）是一个）是一个非线性微分方程非线性微分方程。4模型分析模型分析 将上述系统模型进行比较，可清楚地看到，物理本质不同的将上述系统模型进行比较，可清楚地看到，物理
19、本质不同的 )()(d)(doitqtqttHA（2.6）A)()(otHatq（2.7）aao()q t)()(d)(ditqtHattHA（2.8）系统，可以有相同的数学模型。反之，同一数学模型可以描述物系统，可以有相同的数学模型。反之，同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方信息方法法，从信息在系统中传递，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。而、转换的方面来研究系统的功能。而从动
20、态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样，这样就有可能利用电系统来模拟其它系统，进行实验研一样，这样就有可能利用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性
21、，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。用线性微分方程描述的系统，称为用线性微分方程描述的系统，称为线性系统线性系统。如果方程的系。如果方程的系数为常数，则称为数为常数，则称为线性定常系统线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而；如果方程的系数不是常数，而是时间是时间 的函数，则称为的函数，则称为线性时变系统线性时变系统。线性系统的特点是具有。线性系统的特点是具有线性性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同时作用线性性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同时作用t于线性系统的总响应，等于各输入单独作用时产生的响应之
22、和。于线性系统的总响应，等于各输入单独作用时产生的响应之和。用非线性微分方程描述的系统称为用非线性微分方程描述的系统称为非线性系统非线性系统，如前述的液，如前述的液位控制系统。位控制系统。在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用 阶常系阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为 ，系统的输出量为系统的输出量为 ，则单输入、单输出，则单输入、单输出 阶系统常系数线阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式性微分方程有如下的一般形式 （2.9）式中式中 ，和和 ，由系统结由系统结 构参数决定的实常
23、数。构参数决定的实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是所以总是 n)(itx)(otxn1ooo011o1ddd()dddnnnnnnxxxaaaa x tttt1iii011i1ddd()dddmmmmmmxxxbbbb x tttt nm 0a1ana0b1bmb2.2 2.2 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性线性微分方程微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换
24、拉普拉斯变换求求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。而是一种较为简便的工程数学方法。2.2.1 2.2.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间如果有一个以时间 为自变量的实变函数为自变量的实变函数 ，它的定义，它的定义 域是域是 ，那么，那么 的拉普拉斯变换定义为的拉普拉斯变换定义为 式中，式中，是复变数，是复变数，（、均为实数），均为实数），称为称为拉普拉斯积
25、分拉普拉斯积分；是函数是函数 的拉普拉斯变换，它是一的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称个复变函数，通常也称 为为 的的象函数象函数，而称，而称 为为 的的原函数原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。是表示进行拉普拉斯变换的符号。0edstF sL f tf tt(2.10)t tf0t tfsjs0est)(sF tf)(sF tf tf)(sF 式（式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数价的复变函数
26、 。2.2.2 2.2.2 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数如图单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在所示，它表示在 时刻突然作用时刻突然作用于系统一个幅值为于系统一个幅值为1的不变量。的不变量。单位阶跃函数单位阶跃函数的的拉氏变换拉氏变换式为式为 当当 ，则，则 。)(sF)0(1)0(0)(1ttt)(1 t0t0e1d
27、e)(1)(1)(0stststttLsF0)Re(s0elimstt所以所以 2.指数函数指数函数 的拉氏变换的拉氏变换 指数函数指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。是常数。令令 则与求单位阶跃函数则与求单位阶跃函数同理同理，就可求得，就可求得 ssstLst1)1(00e1)(1（2.11）attf e 0)(0dedeeettLsFtasstatatass1assLsFat11e)(1 （2.12）a图图2.7 单位阶跃函数单位阶跃函数 3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设设 ，则，则 由由欧拉公式欧拉公式，有
28、，有 所以所以 ttfsin)(1ttfcos)(201desinsin)(tttLsFstj2eesinjjtttttsFsttsttdeedeej21)(0j0j1ttsttstsdeedej210)j(0)j(0ej10ej1j21)j()j(tstsss22j1j1j21sss (2.13)同理同理 4.单位脉冲函数单位脉冲函数(t)的拉氏变换的拉氏变换 单位脉冲函数单位脉冲函数是在持续时间是在持续时间 期间幅值为期间幅值为 的的矩形波。其幅值和作用时间矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于的乘积等于1，即，即 。如图如图2.8所示。所示。单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表的数学表达式为达式
29、为 (2.14）222cossFsLts)0(t111图图2.8 单位脉冲函数单位脉冲函数 0001lim0tttt 和其拉氏变换式为其拉氏变换式为此处因为此处因为 时时，故积分限变为，故积分限变为 ttLsstde1lim00 00de1limtstt 0t0 sstsss e11lime1lim000!2111lim220sss1!21lim220sss (2.15)5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数的拉氏变换 单位速度函数单位速度函数，又称，又称单位斜坡函数单位斜坡函数，其数学表达式为，其数学表达式为见图见图2.9所示。所示。单位速度函数单位速度函数的的拉氏变换式拉氏变换式为为 00
30、tf ttt 0dettsFst图图2.9 单位速度函数单位速度函数 利用利用分部积分法分部积分法 令令 则则 所以所以当当 时，时，,则则 000dduvuvvu,eddsttutv1dd,esttuvs tsstsFststde1e000)Re(s0elimstt 021de10stssFst （2.16）6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的拉氏变换 单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为的数学表达式为 如图如图2.10所示。所示。其其拉氏变换拉氏变换式为式为 通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换表（见附录表（
31、见附录A）中直接查出。）中直接查出。200102tf ttt图图2.10 单位加速度函数单位加速度函数（2.17）23112F sLts Re0s 2.2.3 2.2.3 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可使运算简化。和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可使运算简化。1.叠加定理叠加定理 拉氏变换拉氏变换也服从线性函数的也服从线性函数的齐次性齐次性和和叠加性叠加性。1）齐次性齐次性 设设 ，则，则 式中式中 常数。常数。（2）叠加性叠加性
32、 设设 ，则，则 两者结合起来，就有两者结合起来，就有 这说明这说明拉氏变换拉氏变换是是线性变换线性变换。sFtfL L af taF s（2.18）a sFtfL11 sFtfL22 1212L ftftF sFs（2.19）1212L aftbftaF sbFs 2.微分定理微分定理 设设 则则 式中式中 函数函数 在在 时刻的值，即时刻的值，即初始值初始值。同样，可得同样，可得 的各阶导数的的各阶导数的拉氏变换拉氏变换是是 sFtfL)0()(d)(dfssFttfL)0(f0t tf)0()0()0()(d)(d)0()0()0()(d)(d)0()0()(d)(d1212333222
33、nnnnnnffsfssFsttfLff sfssFsttfLfsfsFsttfL（2.20）tf式中式中 ，原函数各阶导数在原函数各阶导数在 时刻的值。时刻的值。如果函数如果函数 及其各阶导数的初始值均为零（称为及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始零初始条件条件），则），则 各阶导数的各阶导数的拉氏变换拉氏变换为为 3.复微分定理复微分定理 若若 可以进行可以进行拉氏变换拉氏变换，则除了在，则除了在 的的极点极点以外，以外，式中，式中，。同样有。同样有)0(f)0(f 0t tf tf 23nnL ftsF sL fts F sL fts F sL fts F s（2.21）tf)(sF
34、sFsttfLdd （2.22）F sL f t一般地，有一般地，有 4.积分定理积分定理设设 ，则，则 式中式中 积分积分 在在 时刻的值时刻的值。当当初始条件为零初始条件为零时，时，对对多重积分多重积分是是 sFstftL222dd d11,2,3,dnnnnL t f tF sns （2.23）sFtfL)0(1)(1d)()1(fssFsttfL（2.24）)0()1(fttfd)(0t)(1d)(sFsttfL （2.25）)0(1)0(1)(1d)()1(nnnnnfsfssFsttfL（2.26）当当初始条件为零初始条件为零时，则时，则 5.延迟定理延迟定理 设设 ，且，且 时，
35、时，则，则 函数函数 为原函数为原函数 沿沿时间轴延迟了时间轴延迟了 ，如图如图2.11所示。所示。)(1d)(sFsttfLnnn （2.27）0t sFtfL 0f t)(e)(sFtfLs（2.28）f t f t图图2.11 函数函数 f t 6.位移定理位移定理 在控制理论中，经常遇到在控制理论中，经常遇到 一类的函数，它的一类的函数，它的象函数象函数只需把只需把 用用 代替即可，这相当于在复数代替即可，这相当于在复数 坐标中，坐标中，有一位移有一位移 。设设 ，则，则 例如例如 的的象函数象函数 ，则，则 的的象函数象函数为为 7.初值定理初值定理 它表明它表明原函数原函数在在 时
36、的数值。时的数值。即即原函数原函数的初值等于的初值等于 乘以乘以象函数象函数的终值。的终值。tatcose22cossLtscos t)(etfatssaas)()(easFtfLat sFtfL（2.29）22)(coseasastLat0t 0limlimtsf tsF s（2.30）s 8.终值定理终值定理 设设 ，并且，并且 存在，则存在，则 即即原函数原函数的终值等于的终值等于 乘以乘以象函数象函数的初值。的初值。这一定理对于求这一定理对于求瞬态响应瞬态响应的稳态值是很有用的。的稳态值是很有用的。9.卷积定理卷积定理 设设 ，则有，则有即两个即两个原函数原函数的的卷积分卷积分的的拉氏
37、变换拉氏变换等于它们等于它们象函数象函数的乘积。的乘积。式（式（2.32）中，）中，为为卷积分卷积分的数学表示，定义为的数学表示，定义为 10.时间比例尺的改变时间比例尺的改变 sFtfL)(limtft)(lim)()(lim0ssFftfst （2.31）s sFtfL sGtgL)()()(sGsFtgtfL（2.32）)(tgtftgtftgtf0d)()()()(式中式中 比例系数比例系数 例如，例如，的的象函数象函数 ，则，则 的象函数为的象函数为 11.拉氏变换的积分下限拉氏变换的积分下限 在某些情况下，在某些情况下，在在 处有一个处有一个脉冲函数脉冲函数。这时必须。这时必须明确
38、明确拉普拉斯积分拉普拉斯积分的下限是的下限是 还是还是 ，因为对于这两种下限，因为对于这两种下限，的的拉氏变换拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：)()(cscFctfL （2.33）c ttf e 11essFLtttf5.0e212222e25.0ssFLtfLt tf0t00 tf ttftfLstde0 ttftfLttftfLststdede000 若在若在 处处 包含一个包含一个脉冲函数脉冲函数，则，则 因为在这种情况下因为在这种情况下显然，如果显然，如果 在在 处处没有脉冲函数没有脉冲函数，则有，则有2.2.4 2.2.4 拉普
39、拉斯反变换拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的公式为拉普拉斯反变换的公式为 式中式中 表示拉普拉斯反变换的符号表示拉普拉斯反变换的符号 通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数原函数 。0t tf tfLtfL 000dettfst tf0t tfLtfL jj1de)(j21)(ccstssFsFLtf（2.362.36）1L tf 1.部分分式展开法部分分式展开法 在控制理论中，常遇到的在控制理论中，常遇到的象函数象函
40、数是是 的的有理分式有理分式 为了将为了将 写成部分分式，首先将写成部分分式，首先将 的分母的分母因式分解因式分解，则有则有 式中，式中，是是 的根的负值，称为的根的负值，称为 的的极极点点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2.的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换 snnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()()(sF)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsF1p2pnp0)(sA)(sF，)()()()()(211110nmmmmpsps
41、psbsbsbsbsAsBsFniiinnpsApsApsApsA12211 （2.37）)(sF)(sF式中，式中，是待定系数，它是是待定系数，它是 处的留数，其求法如下处的留数，其求法如下再根据再根据拉氏变换拉氏变换的的迭加定理迭加定理，求，求原函数原函数 例例 2.1 求求 的原函数。的原函数。解解:首先将首先将 的分母因式分解的分母因式分解，则有，则有 iAipsipsiipssFA)(（2.38）nitPiniiiiApsALsFLtf1111e)()()6(2)(22ssssssF sF23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2
42、)(0201ssssssssssFA158)3()2)(3(2)3)(3232ssssssssssFA即得即得 3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换含有共轭复数极点时的拉氏反变换 如果如果 有一对有一对共轭复数极点共轭复数极点 ，其余极点均为，其余极点均为各不相同的各不相同的实数极点实数极点。将。将 展成展成 54)2()2)(3(2)2)(2223ssssssssssFA31)(sF1581s5431s21s31)()(11LsFLtf15811Ls54311Ls21s )0(e54e1583123ttt)(sF1p2p)(sF)()()()(3211110nmmmmpspspspsbsbsb
43、sbsFnnpsApsApspsAsA332121)(式中，式中，和和 可按下式求解可按下式求解即即 因为因为 （或（或 ）是复数，故式（）是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得即得 、两个常数。两个常数。例例 2.2 已知已知 ，试求其，试求其部分分式。部分分式。解解:因为因为 1A2A21212121)()(PsPsPsPsAsApspssF或或 （2.392.39）2121)()()(2133212121PsPsPsPspspspsApsApspsAsA
44、pspssFnn或或 2121)()()(2133212121PsPsPsPspspspsApsApspsAsApspssFnn或或1p2p、1A2A2nndnd()(j)(j)F ss ss2nndnd()(j)(j)F ss ss（2.402.40）含有一对共轭复数极点含有一对共轭复数极点 ，和一个和一个极点极点 ，故可将故可将 式（式（2.40）因式分解成）因式分解成以下求系数以下求系数 、和和 。由式（由式（2.40）和式（）和式（2.41）相等，有）相等，有用用 乘以上式两边，并令乘以上式两边，并令 ，得到得到 1ndjs 1ndjs 03s312ndnd()(j)(j)AAsAF
45、ssss（2.41）1A2A3A23n12ndndndnd(j)(j)(j)(j)AAsAs sssss（2.422.42）ndnd(j)(j)ssndjs jndnd2n12jssAsAs2n1nd2nd(j)jAA上式可进一步写成上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得联立以上两式，可求得为了求出系数为了求出系数 ，用，用 乘方程（乘方程（2.42）两边，并令）两边，并令 ，将将 代入，得代入，得将所求得的将所求得的 、值代入（值代入（2.41），并整理后得），并整理后得 的的部分分式部分分式 nd1n21djjAAA n1n
46、2d1dAAA 12n12AA 3As0s2nd1s22nn30ndndndnd1(j)(j)(j)(j)SAss1A2A3A)(sF查拉氏变换表便得查拉氏变换表便得 ，结果见式（结果见式（3.16）。例例 2.3 已知已知 求求 。解解:将将 的分母因式分解的分母因式分解，得，得 nndnd21()(j)(j)sF ssss nn2222ndnd1()()ssss)()(1tfsFL)1(1)(2sssssF)(tf)(sF1)23j21)(23j21(1)(2210ssAsAsAsssssF1)1(1020ssssssA利用方程两边实部、虚部分别相等得利用方程两边实部、虚部分别相等得 解得
47、解得 ，所以所以 23j212123j2122)1()1(1ssAsAssssss21)23j21(23j21123j21AA23)(2321)(212121AAAA02A，11A11)1(1)(22sssssssssF这种形式再作适当变换这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得查拉氏变换表得 11)(2sssssF2223211sss22222321212321211ssss222223212323212321211ssss )0(23sine57.023cose1)(2121ttttftt 4.中含有重极点的拉氏反变换中含有重极点的拉氏反变换 设设 有有 个个重根重根，则，则 将上式展开成部分
48、分式将上式展开成部分分式 式中，式中，的求法与单实数极点情况下相同。的求法与单实数极点情况下相同。，的求法如下：的求法如下：)(sF0)(sAr nrrmmmmpspspsbsbsbsbsF101110)(nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)(（2.432.43）1rA2rAnA01A02ArA0 0001psrpssFA 0002ddpsrpssFsA 002203dd!21psrpssFsA例例 2.4 设设 ，试求，试求 的部分分式。的部分分式。解解:已知已知 含有含有2个重极点，可将式（个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得）的分母因式分解得
49、以下求系数以下求系数 、和和 。)0(eee)!2()!1()()(1010)2(02)1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr(2.44）2n2n)()(sssF)(sF2n2n)()(sssF（2.452.45）sAsAsAsF3n022n01)(（2.46）01A02A3A、00)1()1(0dd)!1(1psrrrrpssFsrA将所求得的将所求得的 、值代入式（值代入式（2.46），即得即得 的部分的部分分式分式 查拉氏变换表可得查拉氏变换表可得 。例例 2.5 求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解解:将将 展开为部分分式展开为部分分式1)()(ddnn22
50、n2n2n2n02ssssssAs1)(02n2n3ssssA01A02A3A)(sFssssF11)(n2nn)(1tfsFL 1232ssssF sFn2n2n2n01n)()(ssssA上式中各项系数为上式中各项系数为 于是于是查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得 11232212322201sssssA 221231223sssssA 122221)(2ssssF0e2e2)(2tttftt 2113132123dd2222202sssssssssssAs 2113132123dd2222202sssssssssssAs 2113132123dd2222202sssssssssssAs12
