1、8.5 空间向量及其在立体几何中的应用高考数学高考数学考点一用向量法证明平行、垂直考点一用向量法证明平行、垂直1.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:共线向量定理可以分解为两个命题(a,b(b0)为空间内任意两个向量):(i)ab存在唯一实数,使得a=b;(ii)若存在实数,使得a=b,则ab,其中命题(ii)是空间向量共线的判定定理.(2)四点共面的充要条件:a.空间一点P位于平面ABC的充要条件是存在有序实数对(x,y),使=x+y成立;b.对空间任意一点O,有=x+y+z,若x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面,反之亦成立.(3)空间向量基本定理:a.空间任意三个不共面的向量都可以
2、构成空间的一组基底;b.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.AP AB AC OP OA OB OC 考点清单考点清单2.与空间向量运算有关的结论设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)aba=b(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3(R);(2)abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0;(3)|a|=;(4)cos=.3.与空间向量有关的问题(1)空间直角坐标系(i)一般建立右手直角坐标系;(ii)建立的空间直角坐标系必须满足三坐标轴两两垂直,让尽可能多的点落到坐标轴上或第一象限(第一象限内点的坐标都为正).(2)直线的方向向量和平面的法向量2a2221
3、23aaa|a ba b1 1223 3222222123123aba ba baaabbb(i)直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量可以有无数个.(ii)平面的法向量:a.一个平面的法向量是与平面垂直的直线的方向向量,因此一个平面的法向量有无数个,其中任意两个都是共线向量,但零向量不能作为平面的法向量.b.平面法向量的求法:首先要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解.具体的步骤为:设平面的法向量为n=(x,y,z),找出(求出)平面内的两个不共线的向量a,b,根据法向量的定义得由此可建立关于x、y、z的方程组,解方程组,并取其中的一
4、组解,该组解可作为法向量的坐标.4.利用空间向量解决平行、垂直问题设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面,的法向量分别为u,v,则0,0,n an b(1)lmaba=kb,kR且k0;(2)lauau=0;(3)uvu=v,R且0;(4)lmabab=0;(5)laua=ku,kR且k0;(6)uvuv=0.考点二用向量法求空间角与距离考点二用向量法求空间角与距离1.空间角的计算(1)异面直线所成角公式:设a、b分别为异面直线l1、l2的方向向量,为l1、l2所成的角,则cos=|cos|=.(2)线面所成角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与所成的角
5、,则sin=|cos|=.(3)二面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=.2.点到平面的距离公式P为平面外一点,a、n分别为平面过P点的斜向量、法向量,d为P到的距|a ba b|a na n1212|n nn n离,则d=|a|cos|=.|a nn注意线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离公式求解.3.两点间的距离:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为|=.AB 222212121(-)(-)(-)x xy yz z拓展延伸拓展延伸1.最小角定理:平面的斜线和
6、它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.三余弦公式:cos=cos1cos2(如图所示,其中1是斜线OA与平面所成的角,2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,是斜线OA与平面内的直线AC的夹角).考法一考法一求异面直线所成角的方法求异面直线所成角的方法知能拓展知能拓展例例1在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.315565522解析解析解法一:以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0,),D1(0,1,0),D(0,1,),B1(1,0,0),所以
7、=(0,1,-),=(1,-1,-),所以cos=.则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为|cos|=,故选C.解法二:如图,连接A1D,交AD1于点O,331AD 31DB 31AD 1DB 1111|ADDBAD DB 0 1 1(-1)(-3)(-3)25 551AD 1DB 55四边形ADD1A1为矩形,A1O=OD,再取A1B1的中点E,连接OE,D1E,则OEDB1,且OE=DB1,AD1与DB1所成角即为D1OE或其补角.AB=BC=1,AA1=,123AD1=2,D1E=,DB1=,OD1=AD1=1,OE=.在D1OE中,由余弦定理的推论得cosD1OE=.异面直线AD1与
8、DB1所成角的余弦值为,故选C.21125222211(3)1252222111-2ODOE D EOD OE222551-2252 12 5555答案答案 C例例2如图,在四面体ABCD中,O为BD中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.(1)求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.2解析解析(1)证明:连接OC,由CB=CD,AB=AD,O为BD的中点,得AOBD,COBD,CO=,AO=1.在AOC中,AC2=AO2+OC2,故AOOC.又BDOC=O,因此AO平面BCD.(2)如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(
9、0,0),D(-1,0,0),=(1,0,-1),=(-1,-,0),22-CD OD322-AD OD3AB CD 3|cos|=,异面直线AB与CD所成角的余弦值为.AB CD|AB CDAB CD 2424方法总结方法总结向量法求异面直线所成角建立空间直角坐标系后,确定两直线的方向向量a,b,则两直线所成角满足cos=.|a ba b考法二考法二求直线与平面所成角的方法求直线与平面所成角的方法例例3 (2018浙江,19,15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1
10、平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解题导引解题导引解法一:建立空间直角坐标系,求出各点的坐标.(1)利用=0及=0得出AB1平面A1B1C1.(2)求出平面ABB1的法向量n以及直线AC1的方向向量,利用sin=求得.解法二:(1)在AA1B1中,由勾股定理的逆定理得AB1A1B1,在AB1C1中,由勾股定理的逆定理得AB1B1C1,从而得AB1平面A1B1C1.(2)过C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,利用面面垂直的性质得C1D面ABB1,从而得出AC1与平面ABB1所成的角为C1AD,解三角形得出其正弦值.1AB11AB 1AB11AC 11|A
11、C|AC|nn 解析解析解法一:(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的非负半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,1).因此=(1,2),=(1,-2),=(0,2,-3).3331AB311AB 311AC 3由=0得AB1A1B1.由=0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知=(0,2,1),=(1,0),=(0,0,2).设平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由得可取n=(-,1,0)
12、.所以sin=|cos|=.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.解法二:(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB得AB1=A1B1=2,所以A11AB11AB 1AB11AC 1AC 3AB 31BB1AB0,BB0,nn 30,20,xyz31AC 11|AC|AC|nn 391339132+A=A,故AB1A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1BC,CC1BC得B1C1=,由AB=BC=2,ABC=120得AC=2,由CC1AC,得AC1=,所以A+B1=A,故AB1B1C1.又A1B1B1C1=B1,因此AB1平面A1B1C1.(
13、2)如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.21B21B21A531321B21C21C由B1C1=,A1B1=2,A1C1=得cosC1A1B1=,则sinC1A1B1=,所以C1D=,故sinC1AD=.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.52216717311C DAC39133913方法总结方法总结1.定义法(1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定垂足的位置是关键;(2)证:证明所
14、作的角为直线与平面所成的角;(3)求:构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.2.公式法sin=(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离,l为该点到斜足的距离,为斜线与平面所成的角).3.向量法sin=|cos|=(其中AB为平面的斜线,n为平面的法向量,为斜线AB与平面所成的角).hlAB|AB|AB|nn 考法三考法三求二面角的方法求二面角的方法例例4 (2017课标,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.解题导引解题导引(1)由
15、已知得ABPA,ABPD,从而得出AB平面PAD,最后获证平面PAB平面PAD.(2)解法一:建立空间直角坐标系,写出各点坐标,分别求出平面PBC与平面PAB的法向量n与m,从而利用向量法求结果.解法二:取PB的中点F,由PAB为等腰三角形得AFPB,由PBC为等边三角形得CFPB,从而得AFC为二面角A-PB-C的平面角,在AFC中由余弦定理的推论得AFC的余弦值.解析解析(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,又APPD=P,AP、PD平面PAD,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解法一(向量法):在平面P
16、AD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,又ADAB=A,可得PF平面ABCD.以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.FA AB 由(1)及已知可得A,P,B,C.所以=,=(,0,0),=,=(0,1,0).设n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,则2,0,0220,0,22,1,022-,1,02PC 22-,1,-22CB 2PA 22,0,-22AB 即可取n=(0,-1,-).设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,则即可取m=(1,0,1).则cos=-.易知二面角A-PB-C为钝二面角,
17、所以二面角A-PB-C的余弦值为-.解法二(定义法):根据题意可设AB=1,PC0,CB0,nn 111122-xy-z0,222x0.2PA0,AB0,mm 22222x-z0,22y0.|n mn m3333因为ABCD,APD=BAP=CDP=90,PA=PD=AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,且AD=PC=PB=CB=,取PB的中点F,连接AF,CF,在等腰三角形PAB中,可得AFPB,在等边三角形PBC中,可得CFPB,所以AFC为二面角A-PB-C的平面角,由(1)知AB平面PAD,2又AD平面PAD,所以ABAD.所以平行四边形ABCD是矩形,连接AC,则AC=.在AF
18、C中,AC=,AF=,FC=,由余弦定理的推论可得cosAFC=-,所以二面角A-PB-C的余弦值为-.332262222-2AFCFACAF CF3333方法总结方法总结1.向量法:利用公式cos=(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.2.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图(1),AOB为二面角-l-的平面角.3.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),AOB为二面角-l-的平面角.4.垂线法(三垂线定理法):过二
19、面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),ABO为二面角-l-的平面角.1212|n nn n立体几何中常见的探索型问题有以下两种类型:(1)条件追溯型:解决此类问题的基本策略为执果索因,其结论明确,需要求出使结论成立的充分条件,将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切点.但在执果索因的过程中,常常会犯的错误是将必要条件当成充要条件,应引起注意.(2)存在判断型:解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略为:先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导
20、出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在;若导出与条件相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统方法解决起来难度比较大,若用空间向量通过待定系数法求解存在性问题,则思路简单,解法固定,操作方便.实践探究实践探究例例如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ABAC,AB=AC=,点E在AD上,且AE=2ED.(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF平面PAC;(2)当二面角A-PB-E的余弦值为多少时,直线PC与平面PAB所成的角为45?2解题导引解题导引(1
21、)欲证平面PEF平面PAC,结合题意只需证EF平面PAC(也许有考虑证明AC平面PEF的,但此路不通),把证“面面垂直”转化为证明“线面垂直”是通法,PAEF易证,再证EFAC是关键,同一平面内证线线垂直问题,用平面几何知识证明即可.(2)这是已知结论找充分条件的问题,由线面角定义,易得APC=45,反推出AP的长,再通过建系求得二面角A-PB-E的余弦值.解析解析(1)证明:ABAC,AB=AC,ACB=45,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ACD=45,则AD=CD,(1分)又ABAC,BC=AC=2AD,(2分)AE=2ED,CF=2FB,AE=BF=AD,四边形ABFE
22、是平行四边形,ABEF,(3分)ACEF,PA底面ABCD,PAEF,(4分)PAAC=A,EF平面PAC,EF平面PEF,平面PEF平面PAC.(5分)(2)PAAC,ACAB,PAAB=A,AC平面PAB,则APC为PC与平面223PAB所成的角,若PC与平面PAB所成的角为45,则tanAPC=1,即PA=AC=,(6分)取BC的中点G,连接AG,则AGBC,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,-1,0),C(1,1,0),E,P(0,0,),=,=,(7分)ACPA220,032EB 51,-,03EP 20,-,23设平面PBE的法向量
23、为n=(x,y,z),则即令y=3,则x=5,z=,n=(5,3,),(9分)易知=(1,1,0)是平面PAB的一个法向量,(10分)cos=,结合图形可知当二面角A-PB-E的余弦值为时,直线PC与平面PAB所成的角为45.(12分)EB0,EP0,nn 5-0,32-20,3xyyz22AC AC 53262 232 23例例已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,定点M在棱AB上(不与端点A,B重合),点P是平面ABCD内的动点,且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线创新思维创新思维解题导引解题导引本题考查
24、立体几何中点的轨迹问题,关键是能够通过建立空间直角坐标系,求出动点满足的方程,从而求得轨迹.解析解析作PFAD,PEA1D1,垂足分别为F,E.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系:设M(0,t,0),P(x,y,0),由正方体的性质可知,PF平面ADD1A1,PE2=y2+a2,PM2=x2+(y-t)2,PE2-PM2=y2+a2-x2-(y-t)2=a2,整理得x2=2ty-t2P的轨迹是抛物线.答案答案 D如何学好高中数学1、培养良好的学习兴趣。兴趣是最好的老师。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功
25、者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢?(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。(2)听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。(3)思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。(4)听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的?(5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有
26、回归现实才能对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。2、建立良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。3、有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力
27、。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。5、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主
28、动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神;正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质;在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6、认真听好每一节。在新学期要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。
