2020年北京市高考数学模拟试卷（12）.docx下载_163文库

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2、1x）5，则 a3（） A40 B40 C10 D10 5 （4 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（） Ayx 2 By|lnx| Cy2 x Dyxsinx 6 （4 分）某几何体三视图如图所示，若它的体积是8 3，则 a（） A1 B3 C4 D2 7 （4 分）已知函数 f（x）= 1 x，若 alog52，blog0.50.2，c0.5 0.5，则（） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（c）f（a） Df（a）f（b）f（c） 8 （4 分）设an是公差为 d 的等差数列，Sn为其前 n 项和，则“d0”是“nN*，Sn

3、+1 Sn”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件第 2 页（共 16 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2+y21，若将军从点 A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（） A10 1 B22 1 C22 D10 10

4、（4 分）2018 年小明的月工资为 6000 元，各种途占比如图 1 所示，2019 年小明的月工资的各种用途占比如图 2 所示，已知 2019 年小明每月的旅行费用比 2018 年增加了 525 元，则 2019 年小明的月工资为（） A9500 B8500 C7500 D6500 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11（5 分）设集合 Am， 3， B1， m24，若 AB3，则实数 m 的值为 12 （5 分）已知点 A（0，3）抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M与其

5、准线相交于点 N若|FM|：|MN|1：2则 p 的值等于 13 （5 分）已知an是各项均为正数的等比数列，a11，a3100，则an的通项公式 an ；设数列lgan的前 n 项和为 Tn，则 Tn 14 （5 分）将函数 f（x）sin（2x 3）的图象向右平移 s（s0）个单位长度，所得图象经过点（ 2，1），则 s 的最小值是 15 （5 分）已知双曲线 C1：x2y21，曲线 C2： + =x2y2，则曲线 C1，C2的交点个数是个，原点 O 与曲线 C2上的点之间的距离最小值是三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分）第 3 页（共 16 页）

6、 16 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c= 3，且满足 + =3 （1）求角 C 的大小；（2）求 b+2a 的最大值 17 （14 分）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 app）获取新闻资讯为了解用户对某款新闻类 app 的满意度，随机调查了 300 名用户，调研结果如表：（单位：人）青年人中年人老年人满意 60 70 x 一般 55 25 y 不满意 25 5 10 （）从所有参与调研的人中随机选取 1 人，估计此人“不满意”的概率；（）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 1 人，估计恰有 1 人“满

7、意”的概率；（）现需从参与调研的老年人中选择 6 人作进一步访谈，若在“满意” 、 “一般” 、 “不满意”的老年人中各取 2 人，这种抽样是否合理？说明理由 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD已知 PAPDAB，APD90 （）证明：AD平面 PBC；（）证明：ABPD；（）求二面角 APBC 的余弦值 19 （14 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为1 2，F 是 E 的右焦点，过点 F 的直线交 E 于点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）（y1y20）当直线 AB 与 x 轴

8、垂直时，|AB| 3 第 4 页（共 16 页）（）求椭圆 E 的方程；（）设直线 l：x2a 交 x 轴于点 G，过点 B 作 x 轴的平行线交直线 l 于点 C求证：直线 AC 过线段 FG 的中点 20 （15 分）已知函数() = 23 1 2 2 + 1 2（aR 且 a0）（）当 a= 23时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间；（）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 21 （14 分）已知数列an为等差数列，且满足= 4 + 3，1= 3， +，又已知数列bn，且数

9、列bn满足 bn= 2 + 5，1 4 2+ 2， 5 ，nN+，则：（1）求an的通项公式；（2）求bn的最小项的值；（3）若1 ，nN+时，n 可取 7 个不同整数值，求实数 b 的取值范围第 5 页（共 16 页） 2020 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（12）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 a+bi（a，bR）是1 1+的共轭复数，则 a+b（） A1 B 1 2 C1 2 D1 【解答】解：1 1+ = (1)2 (1+)(1)

11、，是夹角为 60的单位向量，即| |1，| |1，则 = 1 2，则|4 3 |216 224 +9 2 13，则|4 3 |= 13；故选：C 4 （4 分）已知（1+x）5a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则 a3（） A40 B40 C10 D10 【解答】解：已知(1 + )5= 0+ 1(1 ) + 2(1 )2+ + 5(1 )5=2（1 第 6 页（共 16 页） x）5，则 a3= 5 3 （1）32240，故选：A 5 （4 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（） Ayx 2 By|lnx| Cy2 x Dyxsinx

12、【解答】解：Af（x）是偶函数，且在（0，+）上是减函数，满足条件 B函数的定义域为（0，+），函数为非奇非偶函数，不满足条件 C函数为非奇非偶函数，不满足条件 Df（x）xsin（x）xsinxf（x），f（x）为偶函数，在（0，+）不具备单调性，不满足条件故选：A 6 （4 分）某几何体三视图如图所示，若它的体积是8 3，则 a（） A1 B3 C4 D2 【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥 ABCDE，AB平面 BCDE，AB2，设正方形 BCDE 的边长为 a，则= 1 3 2 2 = 8 3，第 7 页（共 16 页）解得：a2 故选：D 7 （

13、4 分）已知函数 f（x）= 1 x，若 alog52，blog0.50.2，c0.5 0.5，则（） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（c）f（a） Df（a）f（b）f（c）【解答】解：0log51log52log551，0.50.20.5052= 2，10.500.5 0.50.512， bca0，且 f（x）在（0，+）上单调递减， f（b）f（c）f（a）故选：C 8 （4 分）设an是公差为 d 的等差数列，Sn为其前 n 项和，则“d0”是“nN*，Sn+1 Sn”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充

14、分也不必要条件【解答】解： “nN*，Sn+1Sn”an+10 “d0”与“nN*，an+10”相互推不出，与 a1的取值（正负）有关系， “d0”是“nN*，Sn+1Sn”的既不充分也不必要条件故选：D 9 （4 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2+y21，若将军从点 A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则

15、“将军饮马”的最短总路程为（） A10 1 B22 1 C22 D10 【解答】解：设点 A 关于直线 x+y3 的对称点 A（a，b）， AA的中点为（2+ 2 ， 2）， = 2 故 2 (1) = 1 +2 2 + 2 = 3 解得 = 3 = 1，第 8 页（共 16 页）要使从点 A 到军营总路程最短，即为点 A到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为32+ 12 1 = 10 1，故选：A 10 （4 分）2018 年小明的月工资为 6000 元，各种途占比如图 1 所示，2019 年小明的月工资的各种用途占比如图 2 所示，已知 2019 年小明每月的旅行

16、费用比 2018 年增加了 525 元，则 2019 年小明的月工资为（） A9500 B8500 C7500 D6500 【解答】解：由图 1 知 2018 年小明旅行月支出为：600035%2100 元， 2019 年小明每月的旅行费用比 2018 年增加了 525 元， 2019 年小明每月的旅行费用为 2625 元，由图 2 知 2019 年小明的月工资为：2625 35% =7500 元故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）设集合 Am，3，B1，m24，若 AB3，则实数 m 的值为 1 【解答

17、】解：集合 Am，3，B1，m24，AB3， 3 2 4 = 3，解得 m1 当 m1 时，A1，3，B1，3，AB1，3，不合题意，当 m1 时，A1，3，B1，3，AB3，符合题意实数 m 的值为1 故答案为：1 第 9 页（共 16 页） 12 （5 分）已知点 A（0，3）抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M与其准线相交于点 N若|FM|：|MN|1：2则 p 的值等于 2 【解答】解：由题意 F 的坐标（ 2，0），由抛物线的定义可得|MF|MK|，所以|KM|：|MN|1：2，则|KN|：|KM|= 3：1，所以3p23，p2

18、，故答案为：2 13 （5 分）已知an是各项均为正数的等比数列，a11，a3100，则an的通项公式 an 10n 1 ；设数列lga n的前 n 项和为 Tn，则 Tn (1) 2 【解答】解：设等比数列an的公比为q，由题知q0 a11， a3100， q= 3 1 =10， an10n 1； lganlg10n 1n1，T n= (1) 2 故填：10n 1，(1) 2 14 （5 分）将函数 f（x）sin（2x 3）的图象向右平移 s（s0）个单位长度，所得图象经过点（ 2，1），则 s 的最小值是 12 【解答】解：将函数 ysin（2x 3）的图象向右平移 s 个单

19、位长度，所得图象对应的函数为 ysin2（xs） 3 再由所得图象经过点（ 2，1），可得 sin（2s 3）sin（ 2 3 2s）1， 2 3 2s2k+ 2，kzsk+ 12，kz 故 s 的最小值是 12 故答案为： 12 15 （5 分）已知双曲线 C1：x2y21，曲线 C2： + =x2y2，则曲线 C1，C2的交点个数是 0 个，原点 O 与曲线 C2上的点之间的距离最小值是 2 【解答】解：联立方程组 2 2= 1 + = 2 2整理可得 x 2+y2xy，即（x1 2 ）2+ 3 4y 20， xy0，所以方程无解，即两条曲线没有交点；设曲线 C2上的点为（x，y）

20、，原点 O 与曲线 C2上的点之间的距离为 r= 2+ 2，第 10 页（共 16 页）设 xrcos， yrsin， 02，代入曲线 C2： + =x2y2，可得（rcos） 2+ （rsin） 2rcosrsin（r2cos2r2sin2），即为 r2= 1 2r 4sin2cos2=1 4r 4sin4，由 sin41，可得 4 2 1，即 r2，当 sin41，r 取得最小值 2，故答案为：0，2 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c= 3，且满足 +

21、=3 （1）求角 C 的大小；（2）求 b+2a 的最大值【解答】解：（1）由题意及正弦定理可得： 2+22 =3，由余弦定理得：a2+b2c22abcosC，所以 = 2+22 2 = 1 2，又 C 为ABC 内角， = 3；（2）由正弦定理可得： = = = 2，所以 a2sinA，b2sinB，又因为 A+B+C，所以 = 2 = 2( + 3)，所以 + 2 = 2( + 3) + 4 = + 3 + 4 = 5 + 3 = 27( + )，且 = 3 5 ，又因为 (0， 2 3 )，所以 sin（A+）max1，所以 + 2 27，即 b+2a 的最大

22、值为27 17 （14 分）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 app）获取第 11 页（共 16 页）新闻资讯为了解用户对某款新闻类 app 的满意度，随机调查了 300 名用户，调研结果如表：（单位：人）青年人中年人老年人满意 60 70 x 一般 55 25 y 不满意 25 5 10 （）从所有参与调研的人中随机选取 1 人，估计此人“不满意”的概率；（）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 1 人，估计恰有 1 人“满意”的概率；（）现需从参与调研的老年人中选择 6 人作进一步访谈，若在“满意” 、 “一般” 、 “不满意”的老年人中各

23、取 2 人，这种抽样是否合理？说明理由【解答】解：（）从所有参与调研的人共有 300 人，不满意的人数是 25+5+1040 记事件 D 为“从所有参与调研的人中随机选取 1 人此人不满意” ，则所求概率为 () = 40 300 = 2 15 （）记事件 M 为 “从参与调研的青年人中随机选取 1 人，此人满意” ，则() = 60 140 = 3 7；记事件 N 为“从参与调研的中年人中随机选取 1 人，此人满意” ，则() = 70 100 = 7 10；则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取 1 人，恰有 1 人满意”的概率为 ( + ) = () () + () ()

24、 = 3 7 (1 7 10) + (1 3 7) 7 10 = 37 70 （）这种抽样不合理理由：参与调研的 60 名老年人中不满意的人数为 20，满意和一般的总人数为 x+y50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取 2 人不合理合理的抽样方法是采用分层抽样，根据 x，y，10 的具体数值来确定抽样数值 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD已知 PAPDAB，APD90 （）证明：AD平面 PBC；（）证明：ABPD；（）求二面角 APBC 的余弦值第 12 页（共 16 页）【解答】解：

25、（）因为四边形 ABCD 为矩形，所以 ADBC，又因为 BC平面 PBC，AD平面 PBC，所以 AD平面 PBC；（）根据题意，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，由 ABAD，所以 AB平面 PAD，又因为 PD平面 PAD，所以 ABPD；（）取 AD 的中点为 O，显然 PO平面 ABCD，以 O 为坐标原点，分别以 OA，OE，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，不妨设 AB= 2，PAPD= 2，AD2，OP1，所以 A（1，0，0），B（1，2，0），C（1，2，0），P（0，0，1），D

26、（1，0，0）所以 = (1，2， 1)， = (2，0，0)， = (1，0， 1)，由（）可知，ABPD，由APD90，所以 PAPD，所以 PD平面 PAB，所以为平面 PAB 的一个法向量设平面 PBC 的一个法向量为 = (，)，则 = 0 = 0 ，即 + 2 = 0 2 = 0 ，取 y1，得平面 PBC 的一个法向量为 = (0，1，2)，第 13 页（共 16 页）则 cos ， = 2 23 = 3 3 ，由图可知，二面角 APBC 为钝角，所以二面角 APBC 的余弦值是 3 3 19 （14 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的

27、离心率为1 2，F 是 E 的右焦点，过点 F 的直线交 E 于点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）（y1y20）当直线 AB 与 x 轴垂直时，|AB| 3 （）求椭圆 E 的方程；（）设直线 l：x2a 交 x 轴于点 G，过点 B 作 x 轴的平行线交直线 l 于点 C求证：直线 AC 过线段 FG 的中点【解答】解：（）由 = = 1 2，得 = 1 2 ，所以 = 2 2= 3 2 因为直线 AB 经过点 F，且 y1y20，当直线 AB 与 x 轴垂直时，1= 2= = 1 2 ，则|y1|y2|= 3 4a，且 y1y2，所以|AB|2|y1|= 3 2 ，

28、故3 2 = 3，得 a2，所以 = 3，c1 所以椭圆 E 的方程为 2 4 + 2 3 = 1 （）由（）有直线 l： x4，故 G （4， 0），因为 F （1， 0），则线段 FG 的中点为(5 2，0) 当直线 AB 与 x 轴垂直时，x1x21，y1+y20，且|1| = |2| = 3 2，故 A（1，y1），B（1，y1），C（4，y1），这时直线 AC 的方程为 1= 11 41 ( 1)，即 1= 2 3 1( 1) 令 y0，得 = 5 2，所以直线 AC 过线段 FG 的中点第 14 页（共 16 页）当直线 AB 不与 x 轴垂直时，可设

29、其方程为 yk（x1），代入 2 4 + 2 3 = 1，整理得（3+4k2）x28k2x+4（k23）0 所以1+ 2= 82 3+42，12 = 4(23) 3+42 因为 A （x1， y1）， B （x2， y2）， C （4， y2），所以直线 AC 的方程为 y= 21 41 ( 1) + 1 因为 y1k（x11），y2k（x21），所以21 41 (5 2 1) + 1= (21) 41 (5 2 1) +k （x11） = (21) 41 (5 2 1) + (1 1) =k 5 2(1+2)124 41 = 5 2 82 3+42 4(23) 3+42 4

30、 41 = 2024(23)4(3+42) (41)(3+42) = 0，这说明直线 AC 过点(5 2，0) 综上，可知直线 AC 过线段 FG 的中点 20 （15 分）已知函数() = 23 1 2 2 + 1 2（aR 且 a0）（）当 a= 23时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间；（）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 【解答】解：（）因为 a= 23时，() = 23 23 1 2 2+ 1 2，所以 f（x） 23 23 x，那么 f（1）1，f（1）23，所以曲线

31、 yf （x）在点（1， f （1））处的切线方程为： y23 = （x1），即 x+y23 10，（）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+），因为 f（x）23 x= 2+23 ，由x2+23xa0 可得：124a0，即 a3 时，有 x1= 3 + 3 ，x2= 3 3 ，x1x2，又当 x（0，3）时，满足 x1x20，所以有 x（0，x2）和（x1，+）时，f（x）0，即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+）上为减函数又 x（x2，x1）时，f（x）0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数当 a0 时，有 x10，x20，则 x（0，x1）时，f

32、（x）0，f（x）为增函数；x（x1， +）时，f（x）0，f（x）为减函数；当 a3 时，0，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）为减函数，第 15 页（共 16 页）综上所述，当 a0 时，在（0，3+3 ），f（x）为增函数；在（3+3 ，+），f （x）为减函数；当 0a3 时， f （x）在区间（0， 33 ）和（3+3 ， +）上为减函数，在（33 ， 3+3 ），f（x）为增函数；当 a3 时，在（0，+）上，f（x）为减函数（）因为 yf（x）有两个极值点 x1，x2，则 f（x）= 2+23 =0 有两个正根 x1， x2，则124a

33、0，x1+x223，x1x2a0，即 a（0，3），所以 f（x1）+f（x2）23（x1+x2）aln（x1x2） 1 2（1 2 + 22）+1 alna+a+7，若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20，构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，则 g（x）1+lnx 1 1lnx 1 ，且在（0，3）上为增函数，又 g（1）10，g（2）ln2 1 2 0，所以存在 x0（1，2），使得 g（x0）0，即 lnx0= 1 0，且 x（1，x0）时，g（x）0， g（x）单调递减，x（x0，2）时，g（x）0，g（x）单调递增，所以 g（x）在（

34、1，2）上有最小值 g（x0）x0lnx0x0lnx0+23（x0+ 1 0），又因为 x0（1，2），则 x0+ 1 0（2， 5 2），所以 g（x0）0 在 x0（1，2）上恒成立，即 f（x1）+f（x2）9lna 成立 21 （14 分）已知数列an为等差数列，且满足= 4 + 3，1= 3， +，又已知数列bn，且数列bn满足 bn= 2 + 5，1 4 2+ 2， 5 ，nN+，则：（1）求an的通项公式；（2）求bn的最小项的值；（3）若1 ，nN+时，n 可取 7 个不同整数值，求实数 b 的取值范围【解答】解：（1）设 anpn+q（p，q 为常数），

35、则 a1p+q3，1=a33p+q7，解得 p2，q1 an2n+1 第 16 页（共 16 页）（2）1n4 时，bnn2（2n+1）+5n22n+4（n1）2+3，可得 n1 时，bn取得最小值 3 5n 时，bnn2+（2n+1）2n2+2n1（n+1）22，可得 n5 时，bn取得最小值 34 综上可得：bn的最小项的值是第一项的值 3 （3）1n4 时，bnn22n+4， = 22+4 2+1 =f（n）可得：n1 时，f（1）1；n2 时，f（2）= 4 5；n3 时，f（3）1；n4 时，f（4） = 4 3 5n 时，bnn2+2n1， = 2+21 2+1 =f（n） f（5）= 34 11 1 f（x）= 22+2+4 (2+1)2 0（x5）函数 f（x）在 x5 时单调递增 n5 时，f（n）1 若1 ，nN+时，n 可取 7 个不同整数值，则 f（10）bf（11），解得：17 3 b 142 23 实数 b 的取值范围是（17 3 ，142 23

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