1、-1第五讲 微积分的产生 早在2500多年前，东西方都已萌发了微积分思想的萌芽。随后阿基米德、刘徽各自为西方与中国微积分的发展开辟了道路。然而直到十多个世纪后，才有人继续他们的工作。这期间漫长的时间是微积分发展的一个蛰伏期。-21.1 解析几何的诞生 公元511世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，天主教会成为欧洲社会的绝对势力。在封建宗教统治下，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。1100年左右，贸易、旅游、战争（十字军东征）等因素促进了东西方文化的交流。随着东方文化的传入，欧洲开始从黑暗时代觉醒了。12世纪，大量的数学著作从阿拉伯文翻译成拉丁文，保存在阿拉伯人手中的希腊典籍又重返欧洲。在穿越过黑暗后
2、，欧洲出现的第一位伟大的数学家是意大利的斐波那契（约11701250），他的名著算盘书（也译作算经）是中世纪欧洲最重要的数学著。-3在书中斐波那契向欧洲介绍了印度阿拉伯数字。这对改变欧洲的数学面貌起到了极为重要的作用。另外算盘书中还载有如下的“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假 定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？对这个问题的回答，导致了著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，-4 欧洲数学的复苏过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进
3、步。特别是他们把亚里士多德、托勒玫的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。进入15、16世纪，西方数学的主要成就体现在代数学的迅速发展上。一方面，代数方程论取得了长足的进展，意大利数学家获得了三次、四次方程的公式解法。另一方面，人们在代数中引入符号，符号体系对于代数学本身的发展以及后来分析学的发展来说，都是至关重要的。-5 在符号体系上使代数产生最大变革的使法国数学家韦达（15401603），描述根与系数关系的韦达定理就是以他的名字命名的。他是第一个系统地在代数中使用字母的人，他的名著分析术引论被认为是一部符号代数的最早著作。韦达被誉为“代数学之父”。在韦达之
4、后，数学符号陆续被引入，符号体系不断得到改进和完善，最终形成了我们现在使用的简捷、优美的数学符号体系。-6 17世纪，随着社会生产力的发展，西方在天文、力学等方面获得一些新发现。比如德国天文学家开普勒发现行星沿着椭圆轨道运行，意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动等等，这些发现重新激发起人们对曲线研究的热情。而代数学科已日趋成熟并且其解决问题的威力也日渐显现。于是通过代数寻求解决几何问题，找到研究曲线额新途径成为数学发展的趋势。解析几何的出现成为大势所趋。-7 笛卡儿（15961649）法国哲学家、数学家。一生涉猎极广，他最有影响的方面是哲学和数学。在哲学上,笛卡儿被恩格斯誉为“现代哲学
5、之父”。在数学上，他贡献很多，比如用a,b,c表示已知数，用x,y,z表示未知数就是笛卡儿的创造。当然最重要的贡献就是创建了解析几何，跨出了从常量数学到变量数学的第一步，把被古希腊人割裂的代数与几何、数与形重新粘合在一起，使几何曲线与代数方程相结合，最重要的，它直接促使了微积分的诞生。1637年，笛卡儿出版了方法谈一书，在作为附录之一出现的几何学中，他阐述了解析几何的主要思想和方法。方法谈的出版标志着解析几何的诞生。-8 正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”-91.2 半个世纪的酝酿从前
6、面的学习我们知道，积分学的历史很早就开始了，其原因主要在于，人们不得不面对求曲边形的面积和不规则立体的体积，这些问题的求解成为积分概念形成的重要源泉之一。进入17世纪，数学家们开始需要求出更多曲线的长度、所围的面积，以及旋转所形成的几何体的体积等。虽然，当时数学家已经熟悉了阿基米德的方法，但这种方法过于复杂，一种粗糙的，不严格地，但却非常管用的方法被数学家们发展起来了。-10一、积分学的发展 最早使用这种成功的富有启发性的方法的是开普勒。开普勒（15711630），德国天文学家、物理学家和数学家。自幼体弱多病，但智力超群。1587年进入蒂宾根大学学习，胡到奥地利担任数学教师，1596年出版宇宙
7、的奥妙，初显光芒。1600年，开普勒到布拉格担任天文观测家第谷的助手。1601年第谷去世后，他接过了第谷一生积累的观测资料。开普勒毕生是一个狂热的毕达哥拉斯主义者。深信上帝是依照完美的数的原则创造世界的。他很早就接受了哥白尼的日心说，通过仔细分析研究第谷的资料，发现了行星沿椭圆轨道运行，并且提出了意义深远、影响巨大的行星运动三定律（即开普勒定律），为牛顿发现万有引力定律打下了基础。-11 开普勒在探索行星运动的规律时，遇到如何确定一个椭圆扇形的面积和椭圆弧长的问题。逐渐地，他建立起一种应用无穷小的方法。例1：圆的面积 例2：球的体积 1615年，开普勒出版数学著作测量酒桶的新立体几何。在该书中
8、，开普勒向人们展现了如何应用自己的新方法来解决更为复杂的问题，他最终给出了包括各种各样的旋成体在内的92种几何体体积的计算公式。-12 不难看出，开普勒随意使用的这种方法是粗糙的。比如在求圆的面积时，他把圆看作无穷多个无穷小的三角形，这意味着在这种情况下，圆周上的极短弧变成了三角形的底，半径变成了三角形的高。但实际上，无论这个弧多么小，它都是曲线，不可能是直的，而高总是小于圆的半径。尽管存在缺点，开普勒的方法仍然开辟了一个广阔的新思路。不久后，另一位数学家卡瓦列里进一步发展了这一方法，并成功地解决了开普勒提出但未能解决的某些较难的问题。-13 卡瓦列里，约1598年生于意大利米兰；1647年卒
9、于意大利波伦亚早年是耶稣会修士。后来，在伽利略的一个学生卡斯泰利引导下，开始研究几何学，并很快被欧几里德、阿基米德等人的经典著作所吸引，并表现出非凡的数学才能。1617年后，卡瓦列里直接就学于伽利略，此后卡瓦列里一直把自己看作伽利略的学生。1629年，卡瓦列里得到波伦亚大学的首席数学教职，并在这个岗位上一直工作到去世-14 卡瓦列里的主要贡献是建立了不可分量方法，代表作是1635年出版的用新方法促进的连续不可分几何学，该方法以下述假设为基础：线是由无穷多个点组成的，面是由无穷多条线组成的，体是由无穷多个面组成的。书中还给出卡瓦列里原理，与公元6世紀中国数学家祖暅的祖氏原理本质相同。依据上述原理
10、，他用几何方法求得若干曲边图形的面积，还证明了旋转体表面积和体积等公式。他在六个几何问题(1647)中进一步发展了他的方法。在以后十年中不可分量方法是数学家研究几何中无穷小问题引用最多的理论，被莱布尼兹誉为当时几何学的顶峰，对微积分的创立有重要影响。-15 卡瓦列里的方法与开普勒的方法有些差异.比如开普勒是认为几何图形是由同一维数的不可分量(无穷小的面积或体积)组成的;而卡瓦列里认为几何图形是由无穷多个较低维数的不可分量组成的.卡瓦列里推出了区间0,a上的曲线y=xn(n为正整数)下的图形面积为an+1/(n+1).从而在求积方法的统一行上迈出了决定性的一步,使早期积分学突破了体积计算的现实模
11、型而向一般算法过渡.然而,不可分量究竟是什么?卡瓦列里对此的解释是含糊的.比如不可分量究竟有没有宽度或厚薄呢?如果有?如果没有?-16 在卡瓦列里之后,沃利斯在他的名著无穷算术中,研究了分数幂的积分.用现代的符号表示他的结果就是,他给出了定积分:例:但幂指数为-1时,即双曲线y=1/x下的面积的计算却是一种不规则的情况.17世纪的英国数学家对此进行了研究,发现表示双曲线下面积的函数看起来很像是一个对数.直到18世纪的欧拉才完全弄清这个问题.-17 沃利斯(16161703)Wallis，John英国数学家。微积分学的先驱。1616年生于英国肯特郡的阿什福德，1703年卒于牛津。早年在剑桥大学学
12、习神学、医学、天文、数学等科，1640年获硕士学位。1649年起任牛津大学萨维尔教授。1656年出版他的名著无穷算术，引入了有理指数和负指数。这本书对于微积分的创建者之一的牛顿早期的数学工作有极大的影响。在论圆锥曲线中，沃利斯第一次摆脱锥线是锥面截线的看法，定义锥线为二次曲线。此外还有代数、力学等多种著作。我们现在使用的无穷大符号也是沃利斯的发明。沃利斯是他那个时代最有才能和最有独创精神的数学家之一，他推动英国数学界的发展长达半个多世纪，在这段时间中，他为了促使数学在英国能享有与在欧洲大陆相同的显赫地位而做出了极大的努力。1662年英国皇家学会成立，沃利斯是创建人之一。-18 另一位对积分早期
13、发展做出重要贡献的数学家是法国的帕斯卡。帕斯卡（16231662），中学物理教科书中帕斯卡定律的提出者。这位法国物理学家同时还是一位哲学家和数学家。帕斯卡是数学神童，12岁掌握了几何原本，16岁时发现了“帕斯卡神秘六边形定理”即一个内接于圆锥曲线的六边形，其相对各边的三个交点共线。尽管帕斯卡生命短暂，但他的名字却与帕斯卡三角、概率论、世界第一台数字计算器的发明者以及微积分等联系在一起。-19 1654年，帕斯卡开始研究几个方面的数学问题。他深入探讨了不可分原理，得出求不同曲线所围面积和重心的一般方法，并以积分学的原理解决了摆线问题。他研究中使用的“特征三角形”曾给微积分的创建者之一的莱布尼兹以
14、很大启发。二、微分学的发展 在历史上，微分的思想直到17世纪才出现。这一时期，许许多多与微分思想相关的问题涌现出来。如运动问题、极值问题，特别是切线问题成为当时数学家们讨论最热烈的问题之一。-20 17世纪30年代解析几何创建后，许多著名的数学家都参与到这些问题的研究中，从而促进了微分学的诞生。笛卡儿在他的几何学中最早公开发表了一种求曲线切线的方法：圆法。这种利用圆以及方程重根的关系求切线的思路，本质上是一种代数方法，而且比较麻烦。此后，其他数学家相继发现和提出了一些不同的切线求法。例：笛卡儿的圆法。-21 17世纪30、40年代，意大利数学家托里拆利和法国数学家罗伯瓦尔从运动学的角度来考虑曲
15、线的切线，发展了利用瞬时运动的直观概念求切线的方法。他们的思想是把曲线看成动点的轨迹，把切线看成动点的瞬时运动的方向。于是当一个点的运动是由两个比较简单的运动合成时，运动的瞬时速度就可以通过这两个比较简单运动的瞬时速度用平行四边形法则确定出来。这种方法只对一些特殊问题有效，不具有通用性。-22一种既具有一般性，又简捷的方式是由费马给出的。费马（也译为“费尔马”）(16011665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。”“近代数论之父”作为17世纪最卓越的数学家，费马的职业却是律师，并以图卢兹议会的议员的身份终其一生。年仅30开始研究数学。除了费马大定理外，他和笛卡儿一起创建了解析几何，与帕斯卡
16、创立了概率论。此外他也是创建微积分的杰出的先驱者。-23 费马在积分与微分两方面都做出了重要贡献。我们这里介绍他在微分学方面的贡献。在这方面，他给出了一个统一的方法，用以解决微分学中的两个基本问题（极值和切线问题）。他的方法称为“虚拟等式法”。实际上，早在1629年费马就找到了这种方法，但世人到1637年才通过他的手稿求最大值和最小值的方法了解了他的这一工作。例：用这种方法可以推出y=xn的斜率是nxn-1.他用这种方法获得的结果是正确的，然而这种方法的逻辑基础并不清楚。-24 费马的方法对有些问题就不那么容易了，如笛卡儿向费马提出的求x3+y3-3xy=0的切线问题。作为对费马方法的改进，牛
17、顿的老师巴罗给出了一种更一般的做切线的方法。巴罗(16301677)，英国数学家、光学家。1643年入剑桥大学三一学院，1648年获学士学位，1662年任伦敦格雷沙姆几何教授，1664年任剑桥首届卢卡斯教授，1672年任三一学院院长。巴罗最重要的科学著作是光学讲义和几何学讲义，后者包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”已十分接近微积分基本定理，微积分的最终制定后来由其学生I.牛顿完成。巴罗最先发现了牛顿的天才，并于1669年自动辞去卢卡斯教授之职，举荐26岁的牛顿继任。-25 例：笛卡儿问题的巴罗解法 巴罗的方法了使用了一个三角形，帕斯卡也曾使用过，称为特征三角形，
18、也有人称之为“巴罗三角形”。在经过半个世纪的酝酿与如此众多的数学家的努力之后，微分和积分的大量知识积累起来了。但这些知识都是零散的，在创建微积分的过程中所需要的最后一步也是最关键的一步是：以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系，创立一套一般的符号体系，建立计算的正规程序或算法。这个工作是由两位巨人各自独立完成的。-26一、牛顿和流数术1.3 巨人登场：微积分的发现艾萨克牛顿爵士（1642年1727）英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。1687年发表的论文自然哲学的数学原理里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现
19、代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革命。-27 1、I dont know what I may seem to the world,but,as to myself,I seem to have been only like a boy playing on the sea shore,and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than
20、 ordinary,whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.译文：我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。2、If I can see a bit farther than some others,it is because I am standing on the shoulders of giants.译文：如果说我比别人看得更远些,那
21、是因为我站在了巨人的肩上.-28 牛顿生于1642年，是遗腹子且早产，生后勉强存活。2、3岁时母亲改嫁，与外祖母一起生活，读过了一个孤独寡欢的童年。少年牛顿不是神童，但酷爱读书与制作玩具。1661年进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研了笛卡儿、开普勒、伽利略和沃利斯等人的数学和物理学著作。就数学思想形成而言，笛卡儿的几何学与沃利斯的无穷算术对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年，牛顿躲避瘟疫离校回到家乡，度过了两年的乡村生活。他一生的三大成就（微积分、光的性质和万有引力定律）的蓝图都是在这一时期绘就的。-29 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反
22、复阅读笛卡儿的几何学，对迪卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。1665年夏至1667年春，牛顿在家乡继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明了“流数术”，次年5月又建立了“反流数术”。1666年10月，牛顿将这两年的研究成果整理成一篇总结性的论文，此文现以流数简论著称，流数简论是历史上第一篇系统的微积分文献。然而，遗憾的是牛顿只让它在朋友与同事中传阅，未正式发表。-30 在这篇论文中，牛顿以运动学为背景，实际上以速度的形式引进了“流数”概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在流数简论中提出微积分的基本问题如下：（a)设有两个或更多个物体A,B,C在同一时
23、刻内描画线段x,y,z。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p,q,r,的关系。（b)已知表示线段x和运动速度p,q之比p/q的关系方程式，求另一线段y。-31 在解决问题中，牛顿引入了时间的无穷小瞬o的概念，并指出：“正如速度为p的物体A在某一瞬描画的无穷小线段为po，速度为q的物体B在同一瞬内将描画出无穷小线段qo，这样，若在某一瞬已描画的线段是x和y，则至下一瞬它们将变成x+po和y+qo。”我们以笛卡尔提出的问题为例，看看牛顿解决第一类为题的方法。例：笛卡尔问题的牛顿的解法。-32 牛顿对所有多项式给出了问题(a)的标准的算法。更值得关注的是牛顿对问题(b)的解法。事实上，牛顿是把
24、问题(b)看作问题(a)的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是，流数简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。牛顿在流数简论中是这样推导微积分基本定理的：面积z在点x处的变化率是曲线在该点处的y值。-33 作为例子，牛顿算出纵坐标为y=xn的曲线下的面积是xn+1/(n+1)；反之纵坐标为xn+1/(n+1)的曲线的斜率为xn。当然，流数简论中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。在牛顿之前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手
25、通过反微分计算面积。-34 牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术，并证明了二者的互逆关系而将这两类元算进一步统一成整体，正是在这个意义上，我们说牛顿发明了微积分。流数简论标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年回到剑桥，对自己的重大发现却未加宣扬。此后20多年，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了3篇微积分论文。-35 分析学（完成于1669年）、流数法（完成于1671年）和求积术（完成于1691年）。这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程。第一篇分析学体现了牛顿微积分与无穷级数紧密结合的特点。关于微积分本身，论
26、文一开始叙述了计算曲线y=f(x)下面积的法则。牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为o，回避了流数简论中的运动学背景，然而却将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为0，从而带上了浓厚的不可分量色彩。第二篇流数法可以看作是1666年流数简论的直接发展。牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对以物体速度为原型的流数概念作了进一步提炼，并首次正式命名为“流数”。-36 流数法以清楚明白的流数语言表述微积分的基本问题为：“已知流量间的关系，求流数关系”；以及反过来 “已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系”。大约到17世纪80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这
27、就是“首末比方法”的提出。该方法首先已几何的形式在自然哲学的数学原理（1687年）一书中发布，其详细的分析表述则是在求积术中给出的。-37 求积术是牛顿最成熟的微积分论著。例：流数的求法 牛顿在求积术中第一次引进了后来被普遍采用的流数记号，即点记号。牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。他的大多数著作都是经朋友再三催促下拿出来发表。上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇求积术（1704年），分析学和流数法分别发表于1711年和1736年。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著自然哲学的数学原理之中。-38 牛顿在数学上的贡献除了微积分的创立外还有：代数名著普遍算术包
28、含了方程论的许多重要成果。如虚根成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等。几何杰作三次曲线的枚举首创三次曲线的整体分类研究，是解析几何发展新的一页。此外，牛顿的数学工作还涉及数值分析、几何概率和初等数论等众多领域。-39 可能是由于早年经历所致，牛顿性格沉郁内向，不善在公众场合表达思想。牛顿终身未娶，晚年由外甥女凯瑟琳协助管家。牛顿的许多言论、轶闻，就是凯瑟琳和她丈夫记录流传下来的。1703年牛顿担任了皇家学会的会长。1705年被女王安娜封爵，达到了他一生荣誉之巅。1727年牛顿去世，葬礼极为隆重。当时参加了牛顿葬礼的伏尔泰“看到英国的大人物都争抬牛顿的灵柩”，感慨说：“英国人悼
29、念牛顿就像悼念一位造福于民的国王”。-40二、莱布尼兹的微积分在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼兹分享荣誉。莱布尼兹(16461716）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。“世界上没有两片完全相同的树叶”莱布尼兹-41 莱布尼兹1646年生于德国莱比锡一个教授家庭。他6岁时父亲去世，但给他留下了丰富藏书。1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、迪卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想。1667年，他获得阿尔特多夫大学
30、法学博士学位，这一年，莱布尼茨发表了第一篇数学论文论组合的艺术。次年担任了缅因茨选帝候的外交官，后被派往巴黎任大使。莱布尼兹在巴黎居留了4年（16721676），这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿呆在家乡的两年类比，莱布尼兹许多重大成就包括创立微积分都是这一时期完成或奠定了基础。1676年后，汉诺威成了他的永久居住地，在那里担任不伦瑞克公爵枢密顾问兼图书馆馆长。-42 在巴黎期间，莱布尼兹结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯。惠更斯先是交给他一个问题：求三角形数倒数组成的级数之和。他成功解决了这个问题后，在惠更斯的指点下，开始研究数学。通过自学卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，迅速走到数学的
31、前沿。不久后开始研究当时数学家普遍关注的求曲线的切线以及求平面曲线所围的面积、立体图形体积等问题。与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1673年，在研究帕斯卡的论文关于四分之一圆的正弦时，他从这篇短文的一个例子中“突然看到一束光明”。他发现可以对任意给定的曲线都可以构造论文中的那种特征三角形。-43 不久后，莱布尼兹根据惠更斯的劝告，又开始研读迪卡儿的理论，他发现“求切线不过是求差，求积不过是求和，只要这些差是不可比拟地小的”。这段来自莱布尼兹本人的话，是后来他对自己最初迈出的几步所做的总结。我们沿着他的总结，去看看他是如何从自己的
32、早期工作基础上拓展处微积分思想的。考虑定义在某区间上的一条曲线。把区间分为许多子区间，把每个分点xi对应的纵坐标记为yi。构造这些纵坐标差的序列yi,那么它的和等于最末和最开始的纵坐标的差（一般取最开始纵坐标为0）。莱布尼兹引进了新的记号dy表示无穷小的差，无穷多无穷小纵坐标的和用表示。那么就有dy=y。-44 反过来，也有dy=y，但没有明确的几何解释。莱布尼兹作了这样的修正：dydx=ydx。因而，莱布尼兹是把微分看作变量相邻两值无限小的差，而积分则是由变量分成无穷多个微分之和。事实上，莱布尼兹把最初的微积分就称为求差的方法与求和的方法。因为求差与求和的运算是互逆的，因此当莱布尼兹从这一思
33、路去发展微积分时，微积分定理是显然的。-45 与他关于特征三角形的研究相结合，他认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值但这些 差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和。在这种认识下，莱布尼兹在1677年的一篇手稿中用与牛顿不同的方式得到了微积分基本定理。在1693年的另一篇手稿中，莱布尼兹更清楚地阐述了微分与积分的互逆关系，表明他已经纯熟地掌握了微积分的原理。-46 如上所述，莱布尼兹从1672年开始认真研究数学，随后在巴黎的4年是他在数学方面“发明创造的黄金时代”，在这期间，他构想出他所建立的微积分的主要特征。此后多年，莱布尼兹又一直改进并发展自己
34、的微积分理论。1684年，莱布尼兹发表了题名简称为新方法的第一篇微分学论文，它概括、总结了莱布尼兹自1673年以来微分学研究方面取得的成果。其中明确陈述了他1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式，给出了复合函数的微分法则，并将乘积微分法推广到高阶微分的情形。-47 1686年，莱布尼兹又发表了题为深奥的几何与不可分量及无限的分析的第一篇积分学论文。这篇文章总结了他在积分学方面的多年研究成果，初步讨论了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的
35、微分，表示积分，这些符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。相对而言，牛顿的点符号在某些场合还在使用，而表示积分的撇符号完全被淘汰了。-48 除了创立微积分外，莱布尼兹还在许多方面发展了这门新的数学分支。如研究了无穷级数；在微分方程方面于1691年提出了求解常微分方程的分离变量法等。莱布尼兹还是位科学活动家，从1695年起，莱布尼茨就一直为在柏林建立科学院四处奔波1700年，终于一手促成了柏林科学院的创建并出任首任院长。彼得堡科学院、维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。据说他还曾写信给康熙皇帝建议成立北京科学院。-49 莱布尼茨一生没有结婚，没有在大学当教授。晚
36、年凄惨悲凉，1716年卧床一年后离开人世，终年70岁。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘书艾克哈特。一位朋友在回忆录中写道：莱布尼兹的“丧事办得更像是埋葬强盗，而不是为这个国家的光辉人物送行”。1793年，在他的居住地汉诺威人们为他建立了纪念碑；1883年，在莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，汉诺威市政府照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼茨故居”，供人们瞻仰。-50 然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，（牛顿：（16651667）莱布尼兹（16721676），但莱布尼兹成果的发表则早于
37、牛顿。莱布尼兹分别在1684年和1686年发表了他的微分和积分著作；而牛顿则是在1687年出版的自然哲学的数学原理中公开表述了他的微积分学说。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。三、巨人之争-51 优先权争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。微积分发明权的争论，对整个18世纪英国与欧洲大陆国家在数学发展上的分道扬镳，产生了严重影响。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科
38、学进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离分析的主流。分析的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼兹微积分方法的基础上而取得的。-52 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻
39、击最猛烈的是英国大主教贝克莱。他对微积分强有力的批评，对数学界产生了极大的震撼。1.4 第二次数学危机的出现-53 乔治贝克莱（1685年1753年），18世纪英国哲学家，西方近代主观唯心主义哲学的主要代表。他的最著名的哲学命题是“存在即是被感知”。1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，对莱布尼兹的微积分也捎带做出了非难。-54 例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一
40、个不为0的增量 x，由(x+x)2-x2，得到 2xx+(x2)，后再被 x 除，得到 2x+x，最后突然令 x=0，求得导数为 2x。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“消逝量的幽灵”。贝克莱对微积分学说的攻击主要出于维护宗教神学的动机，目的是要证明流数原理并不比基督教义“构思更清楚”、“推理更明白”。但他的许多批评却真正抓住了牛顿微积分理论中的缺陷，是切中要害的。-55 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际
41、应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。同时，也刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力。-561.5微积分的发展和完善 微积分的发展在英国和欧州大陆循着不同的路线进行。不列颠的数学家研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表包括泰勒，麦克劳林，棣莫弗，斯特林等人。其中麦克劳林是牛顿微积分学说的竭力拥护者，他发表了流数论试图用纯几何语言严密推演牛顿的流数论，虽然消除了贝克莱悖论，但并不是很成功。-57 欧洲大陆上推广莱布尼兹学说的数学家有瑞士伯努利、欧拉和法国学派的达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。微积分学说的最后完善直到19世纪才由法国格西和德国维尔斯特拉斯等人完成。
