1、第十二章 多因子变异分析1第十二章 多因子变异分析2课程目标 了解多因子设计变异数分析的原理 了解并能区分各种变异效果 了解交互作用的特性与图示法 了解单纯主要效果检验的原理与技术 了解型I到型IVSS的差异 熟习多因子ANOVA的SPSS统计应用第十二章 多因子变异分析3多因子设计（factorial design)研究者同时采用两个或以上的自变项研究者同时采用两个或以上的自变项XA、XB对于对于某一个依变项的影响某一个依变项的影响 当研究者所使用的自变项是类别变项，依变项是连续变项时，所使用的统计分析技术称为多因子变异数分析(Factorial ANOVA)研究中包含两个自变项，称为二因子
2、变异数分析（two-way analysis of variance），依此类推。SSB的复杂化的复杂化 组间离均差平方和（SSB）：组间变异视不同的因子有不同的效果考验程序第一节第十二章 多因子变异分析4变异拆解 拆解原理拆解原理 依变项的总变异可切割成导因于自变项影响的变异与导因于误差的变异两个部份。导因于自变项影响的变异:主要效果(Main effects)的平均数变异:指各自变量不同水平在依变项上得分的平均数的变动情形。这些平均数又称为边缘平均数（marginal means）。交互效果(Interaction effects)的平均数变异:指自变数交叉影响下在依变项上得分的平均数的变
3、动情形。这些平均数又称为细格平均数（cell means）。导因于误差的变异:指各细格内的原始分数的变动情形，属于随机性误差。第二节第十二章 多因子变异分析5二因子变异数分析的平均数双向表与组间效果 獨變項 B 水準 1 水準 2.水準 q Mean 水準 1 11Y 21Y.1qY.1Y 水準 2 12Y 21Y.2qY.2Y:.:獨變項A 水準 p pY1 pY2.pqY.pY Mean 1.Y 2.Y.qY.GY A主主要要效效果果B主要效果主要效果AB交互效果交互效果（AB interaction effect）第二节第十二章 多因子变异分析6拆解公式WABBATotalSSSSSSS
4、SSSnpqYYYYSSijkijknipjqkGijktotal221112)()(npqYnqYYYnqSSijkpjiikpjGjA21212.)()()(npqYnpYYYnpSSijkqkijkqkGkB21212.)()()(npqYnpYnqYnYYYYYnYYYYYYnSSijkqkijkpjijkpjqkijkpjqkGkjjkpjqkGkGjGjkAB21212112112.112.)()()()()()(pjqkijkijknipjqkjkijkwnYYYYSS11221112)(第二节第十二章 多因子变异分析7整体考验与摘要表（完全独立设计）整体效果考验整体效果考验 主
5、要效果与交互效果都是整体考验 各效果的均方和作为分子，误差变异误（MSw）作为分母，相除得到F值。變異來源 SS df MS F 組間 A SSA k-1 SSA/dfA MSA/MSw B SSB l-1 SSB/dfB MSB/MSw AB SSAB(k-1)(l-1)SSAB/dfAB MSAB/MSw 組內(誤差)SSw N-kl SSw/dfw 全體 SSt N-1 第十二章 多因子变异分析8二因子变异数分析假设考验决策树 交互效果 單純主要效果 顯著 主要效果 不顯著 多重比較 顯著 不顯著 接受 H0 k=2 k3 顯著 不顯著 接受 H0 拒絕 H0 拒絕 H0 多重比較 接受
6、 H0 k=2 k3 顯著 不顯著 接受 H0 拒絕 H0 拒絕 H0 顯著 不顯著 表示顯著後的決策 表示不顯著的決策 第二节第十二章 多因子变异分析9单纯主要效果 交互效果显著，需进行单纯主要效果的事后检验。交互效果显著，需进行单纯主要效果的事后检验。当交互效果显著时，反应出两个因子对于依变项的影响互相有所关连，因此个别主要效果的意义不再值得信赖，以以AB两个独变项为例两个独变项为例:A因子单纯主要效果（simple main effect of the A factor）:在考虑B的不同水平条件下，检视A因子对于依变项的影响，分别检验在b1、b2、b3三种限定条件下的A效果。B因子单纯主
7、要效果（simple main effect of the B factor）:在考虑A的不同水平条件下，检视B因子对于依变项的影响，分别检验在a1与a2两种限定条件下的B因子效果。A 因子的單純主要效果檢定:當限定於 B 因子之 b1水準時:H1:A1B1?A2B1 當限定於 B 因子之 b2水準時:H1:A1B2?A2B2 當限定於 B 因子之 b3水準時:H1:A1B3?A2B3 B 因子的單純主要效果檢定:當限定於 A 因子之 a1水準時:H1:A1B1?A1B2?A1B 當限定於 A 因子之 a2水準時:H1:A2B1?A2B2?A2B 第二节第十二章 多因子变异分析10单纯主要效果
8、考验摘要表（完全独立设计）變異來源 SS df MS F A 因子效果 在 b1條件下 SSA|b1 p-1 SSA|b1/dfA MSA|b1/MSw 在 b2條件下 SSA|b2 p-1 SSA|b2/dfA MSA|b2/MSw 在 b3條件下 SSA|b3 p-1 SSA|b3/dfA MSA|b3/MSw B 因子效果 在 a1條件下 SSB|a1 q-1 SSB|a1/dfB MSB|a1/MSw 在 a2條件下 SSB|a2 q-1 SSB|a2/dfB MSB|a2/MSw 組內(誤差)SSw N-pq SSw/dfw 第二节第十二章 多因子变异分析11混合设计变异数分析 混合
9、设计变异数分析混合设计变异数分析 部份因子采用相依设计，部份因子采用独立设计 混合了独立样本与相依样本ANOVA的双重特征，因此称为混合设计（mixed design）组间效果组间效果 A主要效果：A因子（独立）效果 B主要效果：B因子（相依）效果 AB交互效果：AB因子交互（相依）效果 虚无假设如下：A主要效果H0：a1=a2=ap B主要效果bH0：b1=b2=bq AB交互效果bH0：a1b1=a2b1=apbq第三节第十二章 多因子变异分析12混合设计的资料形式A 因子 B 因子效果(k=1,q)j=1p 區組設計i=1,n b1 b2.bq Block Mean.pY block 1
10、 Y111 Y112.Y1pq.11Y block 2 Y211 Y212.Y2pq.21Y a1:.:block n Yn11 Yn12.Ynpq.1nY 11.Y 12.Y.qY1.1.Y block n+1 Y(n+1)11 Y(n+1)12.Y(n+1)pq.2)1(nY a2:.:block 2n Y(2n)11 Y(2n)12.Y(2n)pq.22nY 11.Y 12.Y.qY2.2.Y:block(p-1)n+1*Y*11 Y*12.Y*pq.*pY ap:.:block np Y(np)11 Y(np)12.Y(np)pq.)(pnpY 11.Y 12.Y.pqY.pY qY.
11、1.Y 2.Y.qY.GY A主主要要效效果果B主要效果主要效果AB交互效果交互效果（AB interaction effect）A因因子子：独独立立样样本本B因子：相依样本因子：相依样本受受试试者者间间效效果果受受试试者者间间效效果果第三节第十二章 多因子变异分析13变异数拆解公式组间与组内效果的拆解区组间与区组内效果的拆解residualABBsubjectbAblockwblockbTotalSSSSSSSSSSSSSSSS.*.residualsubjectbABBAwithinbetweenTotalSSSSSSSSSSSSSSSS.*第三节第十二章 多因子变异分析14相依设计的两种
12、摘要表的形式變異來源 SS df MS F 組間 SSbetween pq-1 A SSA p-1 SSA/dfA MSA/MSb.s Bb SSB q-1 SSB/dfB MSB/MSr ABb SSAB(p-1)(q-1)SSAB/dfAB MSAB/MSr 組內 SSwithin pq(n-1)SSw/dfw b.subject SSb.s p(n-1)SSb.s/dfb.s 殘差(誤差)SSr p(n-1)(q-1)SSr/dfr 全體 SStotal npq-1 註：標示b者為區組設計因子 變異來源 SS df MS F 受試者間效應 A SSA p-1 SSA/dfA MSA/MS
13、b.subject b.subject SSb.s p(n-1)SSb.s/dfb.s 受試者內效應 Bb SSB q-1 SSB/dfB MSB/MSr A Bb SSAB(p-1)(q-1)SSAB/dfAB MSAB/MSr 殘差(誤差)SSr p(n-1)(q-1)SSr/dfr 全體 SStotal npq-1 註：標示b者為相依設計因子，需以殘差為誤差項。第三节第十二章 多因子变异分析15多因子变异数分析的图示 交互作用交互作用(a)非次序性关系(b)次序性关系(c)部分非次序性关系第四节第十二章 多因子变异分析16交互效果不显著的主要效果图示(a)A与B主要效果不显著 (b)A与
14、B主要效果均显著(c)A主要效果显著但B不显著 (d)B主要效果显著但A不显著第四节第十二章 多因子变异分析17型I、II、III、IV平方和 型型I平方和平方和 阶层化拆解原理（hierarchical decomposition of the sum-of-squares method）每一个变异源的SS在计算时，会针对模型中已存在的其他变异源的相互关系而加以调整。先进入模型者不受控制，晚进入模型者则会被先进入模式的变项控制住，得到边际影响力（marginal influences）时机时机 共变量分析（ANCOVA）：共变量必须最先进入模型，而且共变量的SS不应受到其他各变异源的影响。多
15、项式回归模式：在较高阶项进入之前，较低阶项的SS应先予以计算 纯巢状模式（purely nested model）（第一个被分析的效应会套在第二层效应里，第二层效应又巢套在第三更高阶的效应里时。）第五节第十二章 多因子变异分析18型II平方和 型型II平方和平方和 变异源SS的计算，调整了模型当中其他与该变异源无关联的变异源的关系。可以让研究者得知某一个变异源在排除所有效应后的净效果，在特殊情况下可以使用之，例如特殊的巢状模型。仅有主要效果的模型中，型II平方和是一种完全排除的净效果检验 例如多元回归模型，就是以此一方法来排除独变项之间共变的影响 仅适用于只有主要效果（没有交互效果）的变异数分
16、析模型中第五节第十二章 多因子变异分析19型III平方和 型型III平方和平方和 变异源SS的计算，调整了它与模型当中其他所有变异源的关系 是最严格的控制关系，排除效果最彻底 适合对于各组人数不等时的不平衡ANOVA分析，可以将各细格人数差异的影响降至最低 细格样本数多非相等，应以型III平方和来进行变异数的估计 第五节第十二章 多因子变异分析20型IV平方和 型型IV平方和平方和 适用于当ANOVA当中存在着遗漏细格（空白细格）（missing cells）（多因子交互影响的各细格中，有某一个细格完全没有数据时）的情况下 利用遗漏以外的细格的对比加以估计，然后平均分配到较高阶变异源，使得其他未遗漏细格的变异源得以补入SS当中 若有遗漏细格时，以型I、II、III来计算SS会产生低估的现象 第五节第十二章 多因子变异分析21Time for restChapter 12 is done here.See you later!
