1、第二章7把握热点考向考点一考点二考点三理解教材新知应用创新演练 向量作为一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学向量作为一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用和物理学中具有广泛的应用 问题问题1：利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？：利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？提示：计算长度、角度，研究平行与垂直问题都可转化提示：计算长度、角度，研究平行与垂直问题都可转化为向量法去解决为向量法去解决 问题问题2：物理学中力、速度、位移的合成与分解，用向量：物理学中力、速度、位移的合成与分解，用向量法解释实质是什么？法解释实质是什么？提示：实质就是向量的加减法提示：实质
2、就是向量的加减法 问题问题3：利用向量可解决解析几何中哪些问题？：利用向量可解决解析几何中哪些问题？提示：两点的距离提示：两点的距离(线段的长度线段的长度)、直线夹角等问题、直线夹角等问题 1点到直线的距离公式点到直线的距离公式 点点M(x0，y0)到直线到直线l：axbyc0的距离的距离d .2直线直线l：axbyc0的法向量的法向量 (1)与直线的方向向量与直线的方向向量 的向量称为该直线的法向量的向量称为该直线的法向量 (2)若直线若直线l的方向向量的方向向量v(b，a)，则直线，则直线l的法向量的法向量n (a，b)垂直垂直 1确定直线的方向向量与法向量是用向量法解确定直线的方向向量与
3、法向量是用向量法解决直线问题的关键决直线问题的关键 2用向量法解决几何问题或物理问题的关键是用向量法解决几何问题或物理问题的关键是转化为向量问题，即建立向量模型，解决向量问题后转化为向量问题，即建立向量模型，解决向量问题后再作出相应问题的结论再作出相应问题的结论 例例1已知直线已知直线l过点过点A(1,1)，且它的一个法向量为，且它的一个法向量为n(2,1)(1)求直线求直线l的一般方程；的一般方程；(2)若与直线若与直线l垂直的直线垂直的直线l1经过点经过点B(2,0)，求，求l1的一般的一般方程方程 思路点拨思路点拨确定直线的斜率后，再写出方程确定直线的斜率后，再写出方程 精解详析精解详析
4、(1)直线直线l的一个法向量为的一个法向量为n(2,1)，直线直线l的一个方向向量为的一个方向向量为v(1,2)直线直线l的斜率为的斜率为2.直线直线l的点斜式方程为的点斜式方程为y12(x1)整理得整理得2xy10.故直线故直线l的一般方程为的一般方程为2xy10.1过点过点A(1,2)，且平行于向量，且平行于向量a(3,1)的直线方程为的直线方程为 _答案：答案：x3y702已知直线已知直线l1；ax2y60与与l2：x(a1)ya21 0平行，求实数平行，求实数a的值的值 解：解：直线直线l1的法向量的法向量n1(a,2)，直线直线l2的法向量的法向量n2(1，a1)，l1l2，n1n2
5、，a(a1)120，解得，解得a1或或a2.当当a1时，时，l1：x2y60，l2：x2y0，l1l2.当当a2时，时，l1：xy30，l2：xy30.l1与与l2重合，舍去重合，舍去a2.综上所述，综上所述，a1.例例2已知正方形已知正方形ABCD中，中，E，F分别是分别是CD，AD的中点，的中点，BE，CF交于点交于点P.求证：求证：(1)BECF；(2)APAB.思路点拨思路点拨先建立坐标系，再利用向量的坐标先建立坐标系，再利用向量的坐标进行证明进行证明 精解详析精解详析建立如图所示的平建立如图所示的平面直角坐标系，设面直角坐标系，设AB2，则，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)
6、，E(1,2)，F(0,1)一点通一点通利用向量证明几何问题有两种途径：利用向量证明几何问题有两种途径：(1)基向量法：通常先选取一组基底基向量法：通常先选取一组基底(模及两者之间的模及两者之间的夹角已知的向量夹角已知的向量)，然后将问题中出现的向量用基底表示，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系原为几何关系 (2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的何中长度、垂直、平行等问题很容易地
7、转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化坐标化3求证：平行四边形对角线的平方和等于其四条边的平求证：平行四边形对角线的平方和等于其四条边的平 方和方和4如右图，等腰直角三角形如右图，等腰直角三角形ABC中，中，ACBC，D是是BC的中点，的中点，E是是AB上上的点，且的点，且AE2BE，求证：，求证：ADCE.证明：证明：如右图，以如右图，以C为坐标原点，以为坐标原点，以CA、CB所在的直线为所在的直线为x轴、轴、y轴建立轴建立坐标系，设坐标系，设A(a,0)，ACBC，B(0，a)(1)如果他径直游向河对岸，水
8、的流速为如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进？他实际前进的速度大小为多少？的速度大小为多少？思路点拨思路点拨解本题首先要根据题意作图，再把物解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解理问题转化为向量的有关运算求解(6分分)一点通一点通 1用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问
9、题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系向量的区别与联系 2速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则形法则和三角形法则 3在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一之一5两个大小相等的共点力两个大小相等的共点力F1，F
10、2，当它们夹角为，当它们夹角为90时，时，合力大小为合力大小为20 N，则当它们的夹角为，则当它们的夹角为120时，合力大时，合力大 小为小为 ()答案：答案：B6两个力两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质作用于同一质点，使该质 点从点点从点A(20,15)移动到点移动到点B(7,0)(其中其中i、j分别是与分别是与x轴、轴、y轴同方向的单位向量轴同方向的单位向量)求：求：(1)F1，F2分别对该质点所做的功；分别对该质点所做的功；(2)F1，F2的合力的合力F对该质点所做的功对该质点所做的功 1用向量方法解决几何问题的关键是将几何问用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题对具体的问题是选用向量几何题转化为向量问题对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键法还是向量坐标法是解题的关键 2用向量解决物理问题需注意：用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来量用几何图形表示出来(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解转化为数学问题求解(3)最后要将数学问题还原为物理问题最后要将数学问题还原为物理问题 点击下图进入应用创新演
