1、交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识土木工程测量土木工程测量 吴向阳吴向阳东南大学交通学院东南大学交通学院交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识5 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 测量误差概念测量误差概念（）（）5.2 评定精度的标准评定精度的标准（）5.3 观测值的精度评定观测值的精度评定（）（）5.4 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用（）5.5 权的概念权的概念（）（）一般了解基本掌握重点掌握交通学院交通学院 吴
2、向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识任何测量都不可避免地含有误差任何测量都不可避免地含有误差5.1 5.1 测量误差概念测量误差概念客观事物现象具有不确定性客观事物现象具有不确定性人们的认知能力具有局限性人们的认知能力具有局限性人们对客观事物或现象的认人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差识总会存在不同程度的误差交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识5.1.1 5.1.1 测量误差产生的原因测量误差产生的原因(1)(1)以上统称为观测条件观测条件测量仪器测量仪器(1)本身加工、装配等方面精度有限(2)搬运、使用中产生误差观
3、测者观测者(1)感官鉴别能力有限(2)工作态度、技术水平等因素外界环境外界环境温度、气压、风力、大气折光等因素的变化依据观测条件观测条件分为同精度观测同精度观测与不同不同精度观测精度观测交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识l 真误差=观测值真实值l 由于误差误差的存在，将使测量数据之间产生矛盾。l 平差平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉；同时评定测量的精度。l 平差平差可分为简易平差简易平差和严密平差严密平差。180)(180)(实际理论5.1.1 5.1.1 测量误差产生的原因测量误差产生的原因(2)(2)交通学院交通学院 吴向阳吴向阳
4、 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误系统误差差和和偶然误差偶然误差。定义定义在相同的观测条件下，对某量进行一系列观在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的测，如果误差出现的大小大小和和符号符号均均相同相同或按一定的或按一定的规律规律变变化，这种误差称为系统误差。化，这种误差称为系统误差。产生原因产生原因大多是由于大多是由于仪器仪器设备制造不完善。如钢设备制造不完善。如钢尺尺长的固定偏差、水准仪尺尺长的固定偏差、水准仪 角误差等。角误差等。影响特性影响特性有规律性、有累积性，但可以用计算公有
5、规律性、有累积性，但可以用计算公式改正或采取措施（如对称观测）消除或减弱。式改正或采取措施（如对称观测）消除或减弱。5.1.2 5.1.2 测量误差的分类测量误差的分类(1)(1)i粗差粗差错错误误误差！误差！交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 定义定义在在相同相同的观测条件下，对某量进行了的观测条件下，对某量进行了n n次观测，次观测，如果误差出现的如果误差出现的大小和符号大小和符号均不一定，则这种误差称为均不一定，则这种误差称为偶然误偶然误差差，又称为，又称为随机误差随机误差。例如，照准误差，读数误差等。例如，照准误差，读数误差等。产生原因产生原因来源于人
6、力不能控制的因素共同引起；来源于人力不能控制的因素共同引起；影响特性影响特性个体无规律（个体无规律（不能预知不能预知、不可避免）；但总、不可避免）；但总体具有统计体具有统计规律性规律性、可部分抵偿。、可部分抵偿。5.1.2 5.1.2 测量误差的分类测量误差的分类(2)(2)系统系统性误性误差差偶然偶然性误性误差差交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识系统误差系统误差反映了观测结果的准确度准确度，即外部符合程度外部符合程度。准确度是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。偶然误差偶然误差反映了观测结果的精密度精密度，即内部符合程度内部符合程度。精密度是指在同
7、一观测条件下多次观测时，各观测值之间相互的离散程度本章主要研究偶然误差本章主要研究偶然误差及其平差及其平差两者本质上的比较交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 定义定义多于必要观测的观测，称为多于必要观测的观测，称为多余观测多余观测。目的目的防止错误的发生、提高观测成果的质量。防止错误的发生、提高观测成果的质量。重要意义重要意义根据多次观测产生的差值（不符值、闭合根据多次观测产生的差值（不符值、闭合值）大小来评定测量的精度（精确程度）。决定观测是值）大小来评定测量的精度（精确程度）。决定观测是否超限！否超限！误差不超限误差不超限，则按偶然误差的规律加以处理，则按
8、偶然误差的规律加以处理闭合差闭合差调整，以求得最可靠的数值。调整，以求得最可靠的数值。误差超限，误差超限，则认为观测值中有错误，必须重新观测！则认为观测值中有错误，必须重新观测！5.1.3 5.1.3 多余观测多余观测交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 5.1.4 5.1.4 偶然误差的特性（偶然误差的特性（1 1）偶然误差的统计实例偶然误差的统计实例误差出现概率交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之
9、和=k1/n+k2/n+.=11、界限性、界限性2、单峰性、单峰性3、对称性、对称性4、抵偿性、抵偿性0limnn5.1.4 5.1.4 偶然误差的特性（偶然误差的特性（2 2）频率直方图频率直方图交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 当 n ，同时又无限缩小误差区间折线变成光滑曲线。称为正态分布正态分布曲线，完整地表示了偶然误差出现的概率。5.1.4 5.1.4 偶然误差的特性（偶然误差的特性（3 3）正态分布的数学方程为：正态分布的数学方程为：22221)(efy)(lim)(lim2称为标准差称为方差nnnn有限次时称为中误差m交通学院交通学院 吴向阳吴向
10、阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 在测量工作中，如何判断观测成果质量好坏？引入“精确度”概念，简称精确度包括精密度精密度和准确度准确度两方面。5.2 5.2 评定精度的标准评定精度的标准精密度精密度反映观测量的内部符合程度反映观测量的内部符合程度准确度准确度反映观测量的外部符合程度反映观测量的外部符合程度两者均高才两者均高才是真正的精是真正的精度高度高主要取决主要取决于偶然误于偶然误差的分布差的分布主要取决主要取决于系统误于系统误差的大小差的大小如何评价其精度如何评价其精度?对于基本排除系统误差，仅以偶然误差为主的一组观对于基本排除系统误差，仅以偶然误差为主的一组观测值，可以用测值，可
11、以用精密度精密度来评价观测值质量的优劣。来评价观测值质量的优劣。交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识mm，23容极 1,nvvmnm5.2 5.2 评定精度的标准评定精度的标准中误差极限误差相对误差SWDmD,绝对误差相对闭合差相对中误差交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识nnmn22221.5.2.1 5.2.1 中误差（中误差（1 1）nnlim式中为真误差的平方和，n为同精度观测次数。2、中误差定义的理解、中误差定义的理解 理论上理论上取标准差来反映观测结果的精度比较合适。1、中误差的定义、中误差的定义
12、实际工作实际工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此按有限次观测的偶然误差（真误差）求得的标准差定义为中误差m。实际上中误差实际上中误差m是是标准差的估值。标准差的估值。交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 5.2.1 5.2.1 中误差（中误差（2 2）3、不同中误差的正态分布曲线、不同中误差的正态分布曲线 f()0 0.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差 1122面积为122221)(ef提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。中误差中误差m结论相同结论相同中误差为标准差的近似值交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5
13、测量误差基本知识测量误差基本知识 5.2.1 5.2.1 中误差（中误差（3 3）4、用真误差计算中误差示例（方法一）、用真误差计算中误差示例（方法一）ili2i2iiil1060n10404n4.62 nm5.21 nm真值180度9595179 8000180 交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 中误差和真误差反映的都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，绝对误差并不能反映所有观测值的精度，如长度丈量的误差与长度大小有关。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用K表示。
14、相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。通常有相对中误差和相对闭合差两种。5.2.2 5.2.2 相对误差相对误差交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 根据偶然误差的第1个特性（界限性），在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差，简称限差。常用作观测成果取舍的标准。测量上常取两倍或三倍中误差中误差作为极限误差限，也称，即：限=2m(适中)或限=3m(偏宽)有时，甚至限=1m(偏严)超限的观测值应放弃或重测！5.2.3 5.2.3 极限误差极限误差%7.99997.0)3(%4.9595
15、4.0)2(%3.68683.0)1(mPmPmP交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 5.3 5.3 观测值的精度评定观测值的精度评定l 按观测条件划分按观测条件划分同精度观测值同精度观测值与与不同精度观测值不同精度观测值例如：相同类型仪器、相同测回数的水平角观测为同精度观测；否则，为不同精度观测；l 按观测量与求知量之间的关系划分按观测量与求知量之间的关系划分直接观测值直接观测值与与间间接观测值接观测值例如：钢尺量距属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 设对某未知量进行n次同精度观测，其
16、观测值分别为l1，l2，ln,则算术平均值为 设真值真值为X，真误差：nlnlllxn.215.3.1 5.3.1 算术平均值算术平均值nnlXlXlX.2211 xXnlXn0n无穷大有限次有限次观测值的算术平均值观测值的算术平均值x，可以作为该未知量的，可以作为该未知量的最或然值最或然值。论证其合理性与可靠性Xxnlim偶然误差偶然误差特性特性40limnn平差值平差值交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 利用观测值的利用观测值的改正数改正数进一步论证进一步论证算术平均值算术平均值作为作为最或然最或然值值符合符合最小二最小二乘乘原则原则。nnlxvlxvlx
17、v.2211将等式两端分别相加将等式两端分别相加 lnxv 带入，得将nlx 0lnlnv nlxlxdxvvdlxlxlxvvn:02.22221min则令改正数的平方和改正数的平方和最小：最小二乘最小：最小二乘原则原则5.3.2 5.3.2 观测值的改正值观测值的改正值交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 5.3.3 5.3.3 同精度同精度观测观测值值的的精度评定（精度评定（1 1）真值已知真值已知情况下情况下的精度评定的精度评定中误差中误差定义式定义式nm真值未知真值未知情况下情况下的精度评定的精度评定中误差中误差实用式实用式 1nvvm 1:nvvmn
18、miiv 代替真误差用改正数推导思路交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 nnlXlXlX.2211nnlxvlxvlxv.2211将两式左右两边分别相减xXvxXvxXvnn.2211将等号两端平方并求和将等号两端平方并求和 2xXnvv 213121222221222.2.nnnxXnnn式中：式中：nxXnxnX5.3.3 5.3.3 同精度同精度观测观测值值的的精度评定（精度评定（2 2）交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 nvvxXnvvnxXnnnn得代入得222131210.lim同精度观测值的中误差同精度观测值的
19、中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差 1nvvm 1nnvvnmmx性，仍具有偶然误差的特为两个偶然误差的乘积第二项中ijji5.3.3 5.3.3 同精度同精度观测观测值值的的精度评定（精度评定（3 3）5.4节节证明证明交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 例：对于某一水平角，在同样条件下用J6光学经纬仪进行6次观测，求其算术平均值 及观测值的中误差 以及算术平均值中误差 。xmxmililiv2ivxmxm 2.38.7163005362780 nmmnvvmnvvnllxx246278 0062780 l5.3.3 5.3.3 同精度同精度观测观测
20、值值的的精度评定（精度评定（4 4）交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 本节所要讨论的就是在本节所要讨论的就是在观测值中误差观测值中误差为已知的情况下，为已知的情况下，如何求如何求观测值函数中误差观测值函数中误差的问题。的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为称为误差传播定律误差传播定律。5.4 5.4 误差传播定律及其应用（误差传播定律及其应用（1 1）直接观测量直接观测量精度评定方法精度评定方法 1nvvmnm根据改正数评定根据真误差评定间接观测量间接观测量精度评定方法精度评定方法？观测值
21、的函数观测值的函数例1：水准测量中，高差h=a-b；例2：三角高程测量，高差h=Dtan i v。交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 下面推导一般函数关系的误差传播定律下面推导一般函数关系的误差传播定律nxxxFZ,.,21为不便于观测的未知量的未知量，为直接观测的相互独立Zxxxn,.,21设 的真误差为 ，则使 产生的真误差为将式取全微分nxFxFxFdxdxdxdzn.2121ixixZzdzzdxxiinxFxFxFxxxzn.21215.4 5.4 误差传播定律及其应用（误差传播定律及其应用（2 2）知量为不便于直接观测的未的未知量，为直接观测的相互
22、独立Zxxxn,.,21式中：式中：代入代入详见高详见高等数学等数学部分部分交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 可写成：kxxffkxfkxfkxfkzkxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfzkxxfxfxfzjijnjijiinnknnkkknnnninn1,22222112221122222112112211112211.，得方，再相加，除以将以上各式等号两边平次观测，得进行了设想对5.4 5.4 误差传播定律及其应用（误差传播定律及其应用（3 3）kxxffkxfkxfkxfkzkxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfzkxxfxfxfzjijnj
23、ijiinnknnkkknnnninn1,22222112221122222112112211112211.，得方，再相加，除以将以上各式等号两边平次观测，得进行了设想对 kxxffkxfkxfkxfkzkxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfzkxxfxfxfzjijnjijiinnknnkkknnnninn1,22222112221122222112112211112211.，得方，再相加，除以将以上各式等号两边平次观测，得进行了设想对 kxxffkxfkxfkxfkzkxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfzkxxfxfxfzjijnjijiinnknnkkknnnninn1,222
24、22112221122222112112211112211.，得方，再相加，除以将以上各式等号两边平次观测，得进行了设想对 kxxffkxfkxfkxfkzkxfxfxfzxfxfxfzxfxfxfzkxxfxfxfzjijnjijiinnknnkkknnnninn1,22222112221122222112112211112211.，得方，再相加，除以将以上各式等号两边平次观测，得进行了设想对交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 0limkxxkjik时，有当22222221212.nnzmfmfmfm2222222121.nnzmxFmxFmxFm5.4 5
25、.4 误差传播定律及其应用（误差传播定律及其应用（4 4）22222221212.nnzfff：根据中误差得定义，得kxfkxfkxfkznnkk22222221212.limlim故上式可写成：当当k为有限值时：为有限值时：根据中误差定义得：根据中误差定义得：故上式可写成：故上式可写成：一般形式：一般形式：个特性根据偶然误差的第4交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 l 线性函数线性函数 1、倍数函数2、和差函数 3、一般线性函数 5.4 5.4 误差传播定律及其应用（误差传播定律及其应用（5 5）2222121nznmmmmxxxz2222222121222
26、11nnznnmkmkmkmxkxkxkz222222212121),(nnznmxFmxFmxFmxxxFzl 非非线性函数线性函数归纳与归纳与小结小结xzmkmkxz交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识例例5-3 在1:500地形图上，量得某线段的平距为 dAB=51.2 mm 0.2 mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD。解：函数关系为：DAB=500 dAB=25 600 mm 已知md=0.2 mm，代入误差传播公式中，得：mD2=5002 md2=10000 mD=100 mm 最后得：DAB =25.6 0.1 m 例题分析例例5-
27、4 水准测量测站高差计算公式：h=a-b。已知后视读数误差为 ma=1 mm；前视读数误差为 mb=1 mm。计算每测站高差的中误差mh。解：h=a-b f1=1；f2=-1 应用误差传播公式有：mmmmmmhbah41.12)1(122222交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 例例56 电磁波测距三角高程公式：h=D tan+i-v，已知：D=192.263 m 0.006 m，=8091610，i=1.515 m 0.002 m，v=1.627 m 0.002 m，求高差h值及其中误差mh。dvdidddDdh 2sectan解：解：高差函数式 h=D t
28、an+i-v=27.437 m 对上式全微分，有：所以：f1=tan=0.1433，f2=(D sec2)/=0.9513，f3=+1，f4=-1,应用误差传播公式，有：mh2=f12 mD2+f22 m2+f32 mi2+f42 mv2=41.3182 故：mh=7 mm 最后结果写为：h=27.4370.007m例题分析交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 5 测量误差基本知识测量误差基本知识 用来解决用来解决不同精度直接观测值不同精度直接观测值的平差问题的平差问题即最或即最或是值与精度评定。是值与精度评定。各个不同精度的观测值具有不同的可靠程度，可用一个数值（比值）来表示，称为各观测值的权，用
29、P表示。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度越高，其可靠观测值的精度越高，其可靠性也越强，则权也越大性也越强，则权也越大。权是对各观测结果的可靠程度给予数值表示，只具有相对意义，并不反映中误差绝对值的大小。5.5 5.5 权的概念权的概念交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识 2、规律：、规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。权反映的是比例关系，对单一观测值而言，权无意义。0m22022iiimmmp 权P=1的中误差称为“单位权中误差”，通常用 或 表示，所以权也表示为：式中：C为任意正数，mi为中误差。2iimcp 1、权的定义：
30、、权的定义：5.5 5.5 权的概念权的概念交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识3、加权平均值及其中误差、加权平均值及其中误差5.5 5.5 权的概念权的概念 321332211ppplplplppplx pnppnppmx11 pnpvvpnpvvpmx)1(111按真误差评定按真误差评定按改正数评定按改正数评定单位权中误差单位权中误差交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识例5-8 某水平角用J2经纬仪分别进行了3组观测，每组观测的测回数不同，试计算该水平角的加权平均值及其中误差。5.922335 5.6323
31、35 3.432335 ilipiviiivvp 8.114.7132.10715.432335 pmnpvvpplxx例题分析交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识补充例补充例 在水准测量中，从三个已知高程点A、B、C出发测定E点的高程值，Li为各水准路线的长度，求E点高程的最或是值及其中误差。iLiiLp1iviiivvp mmpmmmnpvvpplxx3.715.18.718.7130.1231330.42例题分析CABE交通学院交通学院 吴向阳吴向阳 第五章第五章 测量误差基本知识测量误差基本知识思考题1、用某经纬仪测水平角，一测回的中误差m=15,欲使测角精度达到m=5,需观测几个测回？2、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x与y相互独立，其mx=my=m，求mz。
