1、机器人学 战 强北京航空航天大学机器人研究所第五章、机器人动力学第五章、机器人动力学v机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。机器人动力学的用途：v机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益；v设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩；v机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统，存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的运动；是
2、非线性的微分方程组，求解困难。动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩，即实现预定运动所需施加的力矩；不求解 非线性方程组，求解简单。5.1 Lagrange动力学方法动力学方法Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构。Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能 和势能 之差kEpEpkEEL动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标则该机械系统的动力学方程为：iiiqLqLdtdfniqi,2,1,（5-1）假设机器人的广义坐标为iiiqLqLdtdf广义速度广义力是力矩是角度坐标，是力；是直线坐标，iiiifqfq动
3、力学方程也可写成：，不显含由于势能LagrangeniqEip,1)()(ipipikikiqEqEdtdqEqEdtdfpkEEL将代入到（5-1）式中：ipikikiqEqEqEdtdf（5-2）例：图示R-P机器人，求其动力学方程。1、质心的位置和速度为了写出连杆1和连杆2（质量 和 ）的动能和势能，需要知道它们的质心在共同的笛卡儿坐标系中的位置和速度。1m2m1m质心 的位置是Crryrx11111sincosrXY2m1m1r速度是cossin1111ryrx速度的模方是221222111ryxv 笛卡儿Cartesian(Latin)ka:ti:zjn Descartesdeika
4、:t:法国哲学家、数学家、物理学家，1596-1650，将笛卡尔坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。质心 的位置是Crryrxsincos22速度是cossinsincos22rryrrx速度的模方是222222222rryxv2m2、机器人的动能221mvEvmk的质点的动能定义为，速度为质量为21212121,21222222222211211121rrmvmErmvmEmmkk为的动能质量的动能和连杆22222221121212121rmrmrmEEEkkk机器人的总动能为mghEhmp的质点的势能定义为，高度为质量为sinsin2122111grmEgrmEpp的势能为和连杆sins
5、in21121grmgrmEEEppp机器人的总势能为4、机器人的动力学方程根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩3、机器人的势能)(cos2coscos0211222211211222111111rmrmgrrmrmrmrmgrmgrmrmdtdqEqEqEdtdfpkksinsin211grmgrmEp机器人的总势能为222222211212121rmrmrmEk机器人的总动能为关节1上的作用力关节2上的作用力)(cos2)(121122221111rmrmgrrmrmrmf是转矩，即是转动关节，所以关节sin22222gmrmrmf是作用力是移动关节，所以关节22f该R-P机器
6、人的动力学方程为：)(cos22112222111rmrmgrrmrmrmfsin22222gmrmrmf该方程表示关节上的作用力与各连杆运动之间的关系加速度部分 速度部分 位置部分4、Lagrange动力学方程的一般形式sin22222gmrmrmf)(cos22112222111rmrmgrrmrmrmf2211112111122112121122221222112222122212fDD rDDrDrDrDfDD rDDrDrDrD 上的重力作用在关节上的哥氏力是作用在关节上产生的向心力的速度在关节关节上的作用力矩的加速度在关节是关节的耦合惯量；对关节上产生的作用力矩的加速度在关节是关节
7、的有效惯量；关节iDiqqDqqDijqDijqDijjiDiiqDiDiikjijkjijjijijiiii:,:)(:jkkj2ji 上的重力作用在关节上的哥氏力是作用在关节上产生的向心力的速度在关节关节上的作用力矩的加速度在关节是关节的耦合惯量；对关节上产生的作用力矩的加速度在关节是关节的有效惯量；关节iDiqqDqqDijqDijqDijjiDiiqDiDiikjijkjijjijijiiii:,:)(:jkkj2ji 2221212222222112221211211122122211112111DrDrDrDDrDDfDrDrDrDDrDDf惯性力项向心力项哥式力项重力项对照可得：
8、sin;0;0;0;0)(cos;0;0;0;22221212222221122221211121212112122111122221111gmDDDDrmDmDDrmrmgDrmDrmDDDDrmrmDsin22222gmrmrmf)(cos22112222111rmrmgrrmrmrmf2221111222rmrmDmD有效惯量有效惯量对于移动关节是质量，对于转动关节是惯性矩机器人的有效惯性量和耦合惯性量，随机器人的形态变化而变化，跟负载、机器人是自由状态/锁死状态有关，变换范围大，对机器人的控制影响巨大。对于一个机器人的控制而言，需要计算出各个有效惯量、耦合惯量与机器人位置形态之间的关系
9、。）（垂直和水平两种状态度启动止，但以最大径向加速）手臂伸在最外端，静动到水平位置；最大速度从垂直位置运）手臂伸在最外端，以态下；垂直和水平位置静止状）手臂伸在最外端，在的驱动力：种情况下的关节计算最大加速度最大速度负载变化范围：32113/1,/1,/1,/1,51,21:,1,102211smrsradsmrsradkgmrmrkgm假设R-P机器人的实际参数为：rXY2m1m1r例:11 122222111120 9.80196kg90kg0D(m rm r)gcos*cosm/sm/s）情况水平，；垂直时，重力负载变化极大，在垂直状态是零，在水平时是最大（196）对机器人控制影响很大，
10、在实际中采用平衡的方法或前馈补偿的方法。XY1112121222196201120216kgDDrDrcosm/s ）情况说明哥氏力有影响，但与重力比，影响较小111223196301130226kgDDcosm/s）情况Lagrange动力学方法的基本步骤：1、计算各连杆的质心的位置和速度；2、计算机器人的总动能；3、计算机器人的总势能；4、构造Lagrange函数L；5、推导动力学方程。iiiqLqLdtdfipikikiqEqEqEdtdf5.2 惯性矩阵、惯性积和惯性张量惯性矩阵、惯性积和惯性张量在R-P机器人的例子中假设各连杆的质量集中在一点，实际上各连杆的质量是均匀分布的，对于这种
11、情况存在几个特殊的公式。XYZlwh1、图示均质刚体，绕X、Y、Z轴的惯性矩阵惯性矩阵定义为：dVdmdmxydVxyIdmzxdVzxIdmzydVzyImVzzmVyymVxx)()()()()()(222222222222A2、惯性积惯性积（混合矩）定义为：dmzxdVzxIdmyzdVyzIdmxydVxyImVzxmVyzmVxy3、对于给定的坐标系A，惯性张量惯性张量定义为zzyzxzyzyyxyxzxyxxAIIIIIIIIII惯性张量跟坐标系的选取有关，如果选取的坐标系使各惯性积为零，则此坐标系下的惯性张量是对角型的，此坐标系的各轴叫惯性主轴，质量矩叫主惯性矩。相对于某一坐标系
12、的质量分布的二阶矩阵，表示物体的质量分布刚体质量和分布的一阶矩阵定义为：dmzdVzzmdmydVyymdmxdVxxmdVmmVmVmVV4、伪惯性矩阵定义为,11222TVTVzyxrdmzyxzzyzxzyyzyxyxxzxyxdmrrJ质量分布的一阶矩和二阶矩的向量组成伪惯性矩阵与惯性张量之间的关系为：zzyyxxoozzyzxzyzoyyxyxzxyoxxIIIImzmymxmzmIIIIymIIIIxmIIIIJ2/2/2/相对于原点的惯性矩伪惯性矩阵与选取的坐标系有关，如果选取的坐标系的原点在刚体的质心，且选取坐标轴的方向使,则此坐标系称为刚体的主坐标系,伪惯性矩阵为对角型的.0
13、 xyyzzxIII例：如图示坐标系，求密度为 的均匀长方体的惯性张量和伪惯性矩阵。XYZlwhA解：长方体的质量为 质心坐标为 惯性矩为 lwhm2,2,2hzlywx)(3)(000)(3)(000)(3)(000222222222222wlmdxdydzxywlhIhwmdxdydzzxwlhIhlmdxdydzzywlhIzzyyxx惯性张量为惯性积为hwmdxdydzzxwlhIlhmdxdydzyzwlhIwlmdxdydzxywlhIzxyzxy400040004000)(3444)(3444)(3222222wlmlhmhwmlhmhwmwlmhwmwlmhlmI)(31)(2
14、12222hlwmIIIIzzyyxxo伪惯性矩阵为mhmlmwmhmhmlhmhwmlmlhmlmwlmwmhwmwlmwmJ222234424342443222惯性张量和伪惯性矩阵代表刚体质量分布相对于某一坐标系的二阶矩和一阶矩，具有下列特点：1）所有惯性矩恒为正，惯性积可正可负；2）当坐标系方位改变时，不变；3）惯性张量的特征值和特征矢量分别为刚体相应的主惯性矩 和惯性主轴。0I5.3 Newton-Euler动力学方法动力学方法达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：对于任何物体，外加力和运动阻力（惯性力）在任何方向上的代数和为零。将静力平衡条件用于动力学问题。1）、牛顿第二定律（力平衡方程）：连
15、杆 i的质量连杆 i质心的线速度作用在连杆 i上的外力合矢量1、达朗贝尔原理一个刚体的运动可分解为固定在刚体上的任意一点的移动以及该刚体绕这一点的转动两部分,因此达朗贝尔原理可表示成两部分:ciiciicivmdtvmdf/)(作用在连杆i上的合力等于连杆i的质量与质心加速度的乘积)I(Idt/)I(dniiciiiciicci作用在连杆i上的合力矩与连杆i质心的角加速度、角速度和惯性张量之间的关系达朗贝尔原理将静力平衡条件用于动力学问题，既考虑外加驱动力又考虑物体产生加速度的惯性力。2）欧拉方程（力矩平衡方程）：)(/)(iiciiiciicciIIdtIdn连杆 i在坐标系C中关于质心的惯
16、性张量连杆 i的角速度作用在连杆i 上的外力矩合矢量角动量陀螺力矩2、力和力矩的递推公式在静力学分式中得到了力和力矩的平衡方程式连杆连杆i处于平衡状态时处于平衡状态时，所受合力为零，力平衡方程为01gmffiiiiiii1inifimigrciini+1fi+1Pii1-fi+1-ni+1力矩平衡方程为0111gmrfPnniiciiiiiiiiii连杆连杆i在运动的情况下在运动的情况下，作用在i的合力为零，得力平衡式（不考虑重力）：111iiiiiicifRffciiciiiiiiiiiiiiiiciifrfRPnRnn1111111作用在质心上的外力矩矢量合为零，得力矩平衡式（不考虑重力）
17、：写成从末端连杆向内迭代的形式：ciiciiiiiiiiciiiiiiifrfRPnnRni1111111111iiiiciiiifRff与静力递推不同的是考虑了惯性力和力矩i坐标系坐标系各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩的各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩的Z轴分量轴分量iiTiiZni对于移动关节，关节驱动力为iiTiiZfi对于转动关节，关节驱动力为001111nnnnnf操作臂在自由空间运动时，末端力的初值选择为操作臂与外部环境有接触时，末端力的初值选择为001111nnnnnf3、递推的Newton-Euler动力学算法动力学算法算法分两部分：1）外推：从
18、连杆1到n递推计算各连杆的速度和加速度；2）内推：从连杆n到连杆1递推计算各连杆内部相互作用的力和力矩及关节驱动力和力矩。1）外推计算各连杆速度和加速度，）外推计算各连杆速度和加速度，i:0n：iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiRZZRRRZRiii111111111111111111转动关节i+1移动关节i+1转动关节移动关节11111111111111112)()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiZdZdPPvRPPvRviiiiii转动关节移动关节1111111111111111111()iiiiiiiiiiiCiCiiCiiCi
19、iivvPrfmv)(111111111111iiiCiiiiiiCiCiiIIn2)向内递推力、力矩,i:n 1：iiTiiiiTiiiCiiiiiiiiiiiiiiCiiCiiiiiiiiiZfZnffRffRPfrnnRnCi11111111114、考虑重力的动力学算法算法令gv 00即机器人基座受到的支撑作用相当于向上的重力加速度g，这样处理将各连杆重力的作用都包含在其中了，与各连杆重力的影响完全一样，因此使计算简便。转动关节移动关节Newton-Euler动力学算法有两种用法两种用法：1）数值计算：已知连杆质量、惯性张量、质心矢量等2）封闭公式：即用关节变量、关节变量的速度和加速度表
20、示的关节力的封闭形式例：XY12l1l2m1m22R机械手如图所示，两杆质量集中在连杆末端。Newton-Euler递推公式中的运动学和动力学参数分别为：2222,1111XlrXlrCC两杆质心矢径：相对质心的惯性张量：0,02211IICC末端执行器的作用力：0,033nf基座的运动（静止）：0,000重力作用：000gYv 可比较重力和惯性力的影响大小、向心力和哥氏力的影响连杆之间的旋转矩阵为：1000011111iiiiiicsscR1000011111iiiiiicsscR1）外推计算速度和加速度：）外推计算速度和加速度：0000000000000000000100000000111
21、112111111111111211111111111111111111111111111111CCCCnlgclgsmvmflgclgsllgcgsvgcgsgcsscvZZ连杆1：0000)()(000)(0)(000100000000222122112211122212211221112222211221112211221112221221222211221112211221112111211122222221222122CCCnlclslgclslclgsmfclslgcslclgsllvclslgcslclgslgclgscsscv连杆2：2）内推计算力和力矩：）内推计算力和力矩：)
22、(0021221222212212122122222222lmgclmsllmcllmnffC连杆2：连杆1：)()(0000)(0000)()(100001222212212122122212212121211112112122122221221212212111111111211121212221212121222121222121212122222112222cgclmcllmsgslmsllmlmgclmlmlmgclmsllmcllmngcmlmgsmlmlmgcmslmclmlmgsmclmslmcsscf)()(2)()2()(22221222212221221221211222
23、21212222212121212121221222212112lmgclmsllmcllmgclmmgclmsllmsllmlmmllmclm两个关节的驱动力矩为：以关节位置关节位置、速度速度和和加速度为变量加速度为变量的关节驱动力矩表达式，可以看出该2R机器人的封闭形式的动力学方程是比较复杂的，推论可知6自由度机器人的封闭形式的动力学方程会更复杂。5、不同空间的动力学方程形式前面推导的2R平面机械手的动力学方程可写成)(),()(qGqqhqqD质量矩阵nn对称阵离心力和哥氏力,n1重力,n1)(),()(qGqqhqqD状态方程状态方程关节空间的动力学方程关节空间的动力学方程对于2R平面
24、机械手，其质量矩阵D(q)为2222122222122222122122222212)(2)(lmcllmlmcllmlmlmmcllmlmqD是q的系数矩阵对称和正定的，存在逆与惯性力相关关节空间的动力学方程状态量/关节变量2122122122122222122),(sl lmsl lmsl lmqqh离心力：与关节速度的平方有关哥氏力：与两个关节速度的乘积有关122211211222)()(gclmgclmmgclmqG离心力和哥氏力：重力：形位空间的动力学方程（系数都是操作臂位形的系数系数都是操作臂位形的系数）2)()(),(qqCqqqBqqh)()()()(2qGqqCqqqBqqD
25、哥氏力系数矩阵离心力力系数矩阵与速度有关的项操作空间动力学方程机器人关节空间与操作空间存在如下关系：TnTzyxqqqqzyxpqfp21,)(qqJp)(速度关系：位置关系：加速度关系：qqJqqJp)()(关节空间的动力学方程为：)(),()(qGqqhqqD操作空间的动力学方程为：)(),()(qPqqUpqVF动能矩阵/直角坐标系的质量矩阵直角坐标系的离心力和哥氏力直角坐标系的重力广义操作力广义操作力矢和关节力矢之间的关系为：FqJT)(qqJqqJp)()()(),()(qPqqUpqVF将代入，再将F代入上式再与)(),()(qGqqhqqD比对，得：)()()()()()(),(
26、)(),()()()()(qPqJqGqJqVqJqqUqJqqhqJqVqJqDTTTT如果J(q)的逆存在，则也可表示为：)()()()()(),()(),()()()()(1qGqJqPqJqVqqhqJqqUqJqDqJqVTTT当机器人接近奇异点时，操作空间动力学方程中的某些量趋于无限大，在该方向的运动不可能，动态性能恶化操作运动关节力矩方程机器人动力学是研究机器人各关节输入力矩/力与机器人输出运动之间的关系，因此经常考察操作运动与驱动力矩/力之间关系。)(),()()(qPqqUpqVqJT)()()()()(2qGqqCqqqBpqVqJxxTFqJT)()(),()(qPqqUpqVF和联立，得或将哥氏力系数矩阵离心力力系数矩阵)()(),()(qCqCqBqBxx两个系数矩阵从 展开式中得到，一般),()(qqUqJT5.4 Lagrange法和法和Newton-Euler法的比较法的比较Lagrange法：以最简单的形式求得复杂系统的动力学方程，具有显式结构；计算效率比较低。好推难算好推难算 Newton-Euler法：计算速度快，能够满足伺服系统的速率和 采样频率，便于实时控制，方程式中含有 相邻杆件之间的约束力，为了消除约束力 需附加计算，结构复杂。难推好算难推好算
