1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作2022-11-172解解线线性性规规划划应应用用问问题题的的一一般般步步骤骤：2）设设好好变变元元并并列列出出不不等等式式组组和和目目标标函函数数3）由由二二元元一一次次不不等等式式表表示示的的平平面面区区域域作作出出可可行行域域；4）在在可可行行域域内内求求目目标标函函数数的的最最优优解解（注注意意整整数数解解的的调调整整）1）理理清清题题意意，列列出出表表格格：5)还还原原成成实实际际问问题题(准准确确作作图图，准准确确计计算算)画画出出线线性性约约束束条条件件所所表表示示的的可可行行域域，画画图图力力保保准准确确；法法1 1：移移在在线线性性目目标标函函
2、数数所所表表示示的的一一组组平平行行线线中中，利利用用平平移移的的方方法法找找出出与与可可行行域域有有公公共共点点且且纵纵截截距距最最大大或或最最小小的的直直线线；法法2 2：算算线线性性目目标标函函数数的的最最大大（小小）值值一一般般在在可可行行域域的的顶顶点点处处取取得得，也也可可能能在在边边界界处处取取得得（当当两两顶顶点点的的目目标标函函数数值值相相等等时时最最优优解解落落在在一一条条边边界界线线段段上上）。此此法法可可弥弥补补作作图图不不准准的的局局限限。2022-11-173应应用用1 1有有关关二二元元一一次次代代数数式式取取值值范范围围解解：由由、同同向向相相加加可可得得：53
3、1026xx即求求2x+y的的取取值值范范围围。例例1.若若实实数数x,y满满足足4264yxyx由由得得24xy将将上上式式与与同同向向相相加加得得20 y+得得1226yx以以上上解解法法正正确确吗吗？为为什什么么？2022-11-174首首先先：我我们们画画出出4264yxyx表表示示的的平平面面区区域域当当x=3,y=0时时,得得出出2x+y的的最最小小值值为为6,但但此此时时x+y=3,点点(3,0)不不在在不不等等式式组组的的所所表表示示的的平平面面区区域域内内,所所以以上上述述解解答答明明显显错错了了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-42 yx4 yx6 yx
4、ADCB4 yx4264yxyx但但不不等等式式与与不不等等式式2053yx所所表表示示的的平平面面区区域域却却不不同同？（扩扩大大了了许许多多！）从从图图中中我我们们可可以以看看出出3502xy没没错错解解得得2022-11-175通通过过分分析析，我我们们知知道道上上述述解解法法中中，是是对对的的，但但用用x的的最最大大(小小)值值及及y的的最最大大(小小)值值来来确确定定2x+y的的最最大大(小小)值值却却是是不不合合理理的的。2y01026及x怎怎么么来来解解决决这这个个问问题题和和这这一一类类问问题题呢呢？这这就就是是我我们们今今天天要要学学习习的的线线性性规规划划问问题题。求求2x
5、+y的的取取值值范范围围。例例1.若若实实数数x,y满满足足4264yxyx2022-11-176y1234567x6543210-1-1-2-2-3-42 yx4 yx4yxADCB我我们们设设我我们们设设z=2x+y方方程程变变形形为为y=-2x+z,等等式式表表示示斜斜率率为为-2,纵纵截截距距为为z的的直直线线,把把z看看成成参参数数,方方程程表表示示的的是是一一组组平平行行线线要要求求z的的范范围围，现现在在就就转转化化为为求求这这一一组组平平行行线线中中,与与阴阴影影区区域域有有交交点点,且且在在y轴轴上上的的截截距距达达到到最最大大和和最最小小的的直直线线.6 yx2l0l1ll
6、由由图图，我我们们不不难难看看出出，这这种种直直线线的的纵纵截截距距的的最最小小值值为为过过A(3,1)的的直直线线，纵纵截截距距最最大大为为过过C(5,1)的的直直线线。所所以以11152maxz7132minz过过A(3,1)时时，因因为为z=2x+y，所所以以7132z同同理理，过过B(5,1)时时，因因为为z=2x+y，所所以以11152z2022-11-177y1234567x6543210-1-1-24yx-2-3-42 yx4 yx6 yxADCB0l1l2l解解：作作线线形形约约束束条条件件所所表表示示的的平平面面区区域域，即即如如图图所所示示四四边边形形ABCD。作直线，：0
7、20 yxl所以，111527132maxminzz求求得得A(3,1)B(4,0)C(5,1)D(4,2)可使达到最小值，将直线0l平移，平移到过A点0l1l的平行线与yxz2重合时，达到最大值。可使yxz2当0l平移过C点时，与0l2l的平行线重合时，例例1.若若实实数数x,y满满足足求求2x+y的的取取值值范范围围4264yxyx2022-11-178解法2：由待定系数法:设2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)ym+n=2，m-n=1m=3/2，n=1/22x+y=3/2(x+y)+1/2(x-y)4x+y6，2x-y472x+y11例例1.若若实实数数x,y满
8、满足足求求2x+y的的取取值值范范围围4264yxyx2022-11-179例例1:某某工工厂厂生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品.已已知知生生产产甲甲种种产产品品1t需需消消耗耗A种种矿矿石石10t、B种种矿矿石石5t、煤煤4t；生生产产乙乙种种产产品品1吨吨需需消消耗耗A种种矿矿石石4t、B种种矿矿石石4t、煤煤9t.每每1t甲甲种种产产品品的的利利润润是是600元元,每每1t乙乙种种产产品品的的利利润润是是1000元元.工工厂厂在在生生产产这这两两种种产产品品的的计计划划中中要要求求消消耗耗A种种矿矿石石不不超超过过300t、消消耗耗B种种矿矿石石不不超超过过200t、消消耗耗煤煤不不超
9、超过过360t.甲甲、乙乙两两种种产产品品应应各各生生产产多多少少(精精确确到到0.1t),能能使使利利润润总总额额达达到到最最大大?甲甲产产品品（1t）乙乙产产品品（1t）资资源源限限额额（t）A种种矿矿石石（t）B种种矿矿石石（t）煤煤（t）利利润润（元元）产产品品消消耗耗量量资资源源列列表表：51046004491000300200360设设生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品.分分别别为为xt、yt,利利润润总总额额为为z元元应用2有关利润最高、效益最大等问题2022-11-1710例例题题分分析析甲甲产产品品（1t）乙乙产产品品（1t）资资源源限限额额（t）A种种矿矿石石（t）B种种矿
10、矿石石（t）煤煤（t）利利润润（元元）产产品品消消耗耗量量资资源源列列表表：51046004491000300200360把把题题中中限限制制条条件件进进行行转转化化：约约束束条条件件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y0z=600 x+1000y.目目标标函函数数：设设生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品.分分别别为为xt、yt,利利润润总总额额为为z元元xtyt2022-11-1711例题分析解解:设设生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品.分分别别为为xt、yt,利利润润总总额额为为z=600 x+1000y.元元,那那么么10 x+4y3005x+4y2004x+9y
11、360 x0y0z=600 x+1000y.作作出出以以上上不不等等式式组组所所表表示示的的可可行行域域作作出出一一组组平平行行直直线线600 x+1000y=t，解解得得交交点点M的的坐坐标标为为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答答:应应生生产产甲甲产产品品约约12.4吨吨，乙乙产产品品34.4吨吨，能能使使利利润润总总额额达达到到最最大大。(12.4,34.4)经经过过可可行行域域上上的的点点M时时,目目标标函函数数在在y轴轴上上截截距距最最大大.ll l90300 xy10
12、 201075405040此此时时z=600 x+1000y取取得得最最大大值值.2022-11-1712应用3有关成本最低、运费最少等问题14,77xymin282116zxy幻幻灯灯片片13幻幻灯灯片片142022-11-17130:28210lxy0ly21zz7751476xyxy0 0y y0 0,x x0 0.0 06 60 0.0 07 7y y0 0.1 14 4x x0 0.0 06 60 0.1 14 4y y0 0.0 07 7x x0 0.0 07 75 50 0.1 10 05 5y y0 0.1 10 05 5x x0 0y y0 0,x x6 67 7y y1 1
13、4 4x x6 61 14 4y y7 7x x5 57 7y y7 7x x2 21 1z zx x3 34 4y y返返回回幻幻灯灯片片122022-11-1714线性规划的应用练习：1、已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法:设a+3b=m(a+b)+n(a-2b)=(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3m=5/3，n=-2/3a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2b)-1a+b1，1a-2b3-11/3a+3b1解法2：-1a+b1，1a-2b3-22a+2b2，-32b-a-1-1/3a5/3-4/3b0-13/3a+3b5/3
14、2022-11-1715已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。321211babababa解法2约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即-11/3a+3b12022-11-1716xy02x+y-600=0300600 x+2y-900=0A(100,400)2.某某家家具具厂厂有有方方木木材材90m3，木木工工板板600m3，准准备备加加工工成成书书桌桌和和书书橱橱出出售售，已已知知生生产产每每张张书书桌桌需需要要方方木木料料0.1m3、木木工工板板2m3；生生产产每每个个书书橱橱需需要要方方木木料料0.2m3，木木工工板板1m3，出出售售一一张张书书
15、桌桌可可以以获获利利80元元，出出售售一一张张书书橱橱可可以以获获利利120元元；（1）怎怎样样安安排排生生产产可可以以获获利利最最大大？（2）若若只只生生产产书书桌桌可可以以获获利利多多少少？（3）若若只只生生产产书书橱橱可可以以获获利利多多少少？（1）设设生生产产书书桌桌x张张，书书橱橱y张张，利利润润为为z元元，则则约约束束条条件件为为0 0.1 1x x+0 0.2 2y y9 90 02 2x x+y y6 60 00 0 x x，y yN N*Z Z=8 80 0 x x+1 12 20 0y y作作出出不不等等式式表表示示的的平平面面区区域域，当当生生产产100张张书书桌桌，40
16、0张张书书橱橱时时利利润润最最大大为为z=80100+120400=56000元元（2）若若只只生生产产书书桌桌可可以以生生产产300张张，用用完完木木工工板板，可可获获利利24000元元；（3）若若只只生生产产书书橱橱可可以以生生产产450张张，用用完完方方木木料料，可可获获利利54000元元。将将直直线线z=80 x+120y平平移移可可知知：900450求求解解：2022-11-1717产品资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）6009003某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨
17、；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?2022-11-1718 解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则0025023002yxyxyxZ=600 x+900y作作出出可可行行域域，可可知知直直线线Z=600 x+900y通通过过点点M时时利利润润最最大大。解解方方程程组组25023002yxyx得得点点M的的坐坐标标x=350/3117y=200/367答答：应
18、应生生产产甲甲、乙乙两两种种棉棉纱纱分分别别为为117吨吨、67吨吨，能能使使利利润润总总额额达达到到最最大大。2022-11-17194、咖咖啡啡馆馆配配制制两两种种饮饮料料甲甲种种饮饮料料每每杯杯含含奶奶粉粉9g、咖咖啡啡4g、糖糖3g,乙乙种种饮饮料料每每杯杯含含奶奶粉粉4g、咖咖啡啡5g、糖糖10g已已知知每每天天原原料料的的使使用用限限额额为为奶奶粉粉3600g，咖咖啡啡2000g糖糖3000g,如如果果甲甲种种饮饮料料每每杯杯能能获获利利0.7元元，乙乙种种饮饮料料每每杯杯能能获获利利1.2元元，每每天天在在原原料料的的使使用用限限额额内内饮饮料料能能全全部部售售出出，每每天天应应
19、配配制制两两种种饮饮料料各各多多少少杯杯能能获获利利最最大大？解解：将将已已知知数数据据列列为为下下表表：消消耗耗量量资资源源甲甲产产品品（1杯杯）乙乙产产品品(1杯杯)资资源源限限额额（g）奶奶粉粉（g g）9 94 43 36 60 00 0咖咖啡啡(g g)4 45 52 20 00 00 0糖糖(g g)3 31 10 03 30 00 00 0利利润润（元元）0 0.7 71 1.2 2产产品品2022-11-1720设设每每天天应应配配制制甲甲种种饮饮料料x x杯杯，乙乙种种饮饮料料y y杯杯，则则003000103200054360049yxyxyxyx作作出出可可行行域域：目目
20、标标函函数数为为：z z=0 0.7 7x x+1 1.2 2y y作作直直线线l l:0 0.7 7x x+1 1.2 2y y=0 0，把把直直线线l l向向右右上上方方平平移移至至l l1 1的的位位置置时时，直直线线经经过过可可行行域域上上的的点点C C，且且与与原原点点距距离离最最大大，此此时时z z=0 0.7 7x x+1 1.2 2y y取取最最大大值值解解方方程程组组得得点点C C的的坐坐标标为为（2 20 00 0，2 24 40 0）,3000103,200054yxyx_0_ 9 x+4 y=3600_ C(200,240)_ 4 x+5 y=2000_ 3 x+10
21、y=3000_ 7 x+12 y=0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y2022-11-1721煤矿车站甲煤矿（元/吨）乙煤矿（元/吨）运量（万吨）东车站10.8280西车站1.51.6360产量（万吨）200300例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?应用
22、3有关成本最低、运费最少等问题2022-11-1722360)300()200(28000yxyxyx解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：目标函数为:z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)=780-0.5x-0.8y(万元)答答案案：当当x=0,y=280时时，即即甲甲煤煤矿矿运运往往东东车车站站0吨吨，西西车车站站200吨吨；乙乙煤煤矿矿运运往往东东车车站站280吨吨，西西车车站站20吨吨.总总运运费费最最少少556万万元元。2022-11-1723复习回顾：二二元元一一次次不不等等式式表表示示平平面面区区域域直直线线定定界界，特特殊殊点点定定域域简简单单的的线线性性规规划划约约束束条条件件目目标标函函数数可可行行解解可可行行域域最最优优解解应应用用求求解解方方法法：画画、移移、求求、答答2022-11-1724
