1、第四章第四章 塑性增量本构理论塑性增量本构理论4.1 全量理论与增量理论全量理论与增量理论一、全量塑性理论一、全量塑性理论 所建立的本构关系为所建立的本构关系为 与与 之间的关系，称为全量理论。之间的关系，称为全量理论。由于塑性本构关系与应力或应变路径有关，应力和应变之间由于塑性本构关系与应力或应变路径有关，应力和应变之间不存在唯一的对应关系，因此，对一般的复杂加载历史和应不存在唯一的对应关系，因此，对一般的复杂加载历史和应力路径不可能建立起全量本构关系。当规定了具体的应力或力路径不可能建立起全量本构关系。当规定了具体的应力或应变路径之后，就可以沿应力或应变路径积分，建立相应的应变路径之后，就
2、可以沿应力或应变路径积分，建立相应的全量型本构关系。如果假设：全量型本构关系。如果假设：比例加载，即保证应力各分量之间按一定比例增加；比例加载，即保证应力各分量之间按一定比例增加；体积变化是弹性的；体积变化是弹性的；与与 同轴；同轴；q 与与 之间存在确定的关系，即单一曲线。之间存在确定的关系，即单一曲线。这时就有可能建立起全量型的塑性应力与应变关系。这时就有可能建立起全量型的塑性应力与应变关系。ijijijeijS4.1 全量理论与增量理论全量理论与增量理论二、塑性增量本构理论二、塑性增量本构理论 从以上的简单介绍可知，建立全量型本构关系的条件是从以上的简单介绍可知，建立全量型本构关系的条件
3、是非常苛刻的，对于岩土类材料来说是不现实的。因此全量理非常苛刻的，对于岩土类材料来说是不现实的。因此全量理论一般不适于岩土类材料。岩土类材料主要应用增量型塑性论一般不适于岩土类材料。岩土类材料主要应用增量型塑性本构理论。本构理论。追踪应力路径建立应力增量与应变增量之间的增量本构追踪应力路径建立应力增量与应变增量之间的增量本构关系，就称为塑性增量理论。塑性增量理论主要包括以下几关系，就称为塑性增量理论。塑性增量理论主要包括以下几个方面的内容与概念。个方面的内容与概念。1.屈服准则屈服准则前章内容；前章内容；2.加载准则加载准则判定材料状态；判定材料状态；3.流动法则流动法则塑性应变方向与屈服函数
4、的关系；塑性应变方向与屈服函数的关系；4.硬化规律硬化规律硬化材料所遵从的规律。硬化材料所遵从的规律。4.2 加载条件与加载准则加载条件与加载准则一、概述一、概述 保证产生新的塑性变形的条件，或说使应力继续保持在保证产生新的塑性变形的条件，或说使应力继续保持在屈服面或相继屈服面上的条件，称为屈服面或相继屈服面上的条件，称为加载条件加载条件。对于理想塑性材料，加载条件就是屈服条件，即：对于理想塑性材料，加载条件就是屈服条件，即：对于应变硬化材料，加载条件为：对于应变硬化材料，加载条件为：Ha 称为应变硬化参量，它与塑性变形或加载历史有关。称为应变硬化参量，它与塑性变形或加载历史有关。实现上述加载
5、条件中应力（或应变）变化的条件，称为实现上述加载条件中应力（或应变）变化的条件，称为加载准则加载准则；满足加载准则叫；满足加载准则叫加载加载，不满足时称，不满足时称卸载卸载或或中性变中性变载载。()0ijf(,)0(1,2,3,.)ijafHa4.2 加载条件与加载准则加载条件与加载准则一、概述一、概述 对于单向拉、压的简单应力状态，应力增减就是加卸载：对于单向拉、压的简单应力状态，应力增减就是加卸载：理想塑性：理想塑性：硬化塑性：硬化塑性：0,0,dd加载卸载0,0,0,ddd 加载 中性变载卸载4.2 加载条件与加载准则加载条件与加载准则二、理想塑性材料的加载准则二、理想塑性材料的加载准则
6、 1.正则屈服面上的加载准则正则屈服面上的加载准则 当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称正则屈服面正则屈服面。对于对于理想塑性材料，如果以对于对于理想塑性材料，如果以f(ij)0表示屈服面，应表示屈服面，应力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则：之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则：f(ij)00,0,ijijijijfdfdfdfd加载卸
7、载4.2 加载条件与加载准则加载条件与加载准则二、理想塑性材料的加载准则二、理想塑性材料的加载准则 1.正则屈服面上的加载准则正则屈服面上的加载准则 因为，因为，表示屈服面表示屈服面 f 在在 ij点的梯度方向点的梯度方向 ，也就是，也就是 ij点的外法线方向。所以，点的外法线方向。所以，表示表示d ij方向与方向与 正交。正交。而而 表示表示d ij方向与方向与 方向夹角大于方向夹角大于90，见下图。，见下图。故，加载准则亦可表示为：故，加载准则亦可表示为：f(ij)0ijf0ijijfdnn0ijijfdn0,0,dfnddfnd 加载卸载d()ijfnd4.2 加载条件与加载准则加载条件
8、与加载准则二、理想塑性材料的加载准则二、理想塑性材料的加载准则 1.非正则屈服面上的加载准则非正则屈服面上的加载准则 屈服函数有不可微点（即屈服面上有棱角）时称非屈服函数有不可微点（即屈服面上有棱角）时称非正则正则屈服面屈服面。在正则点上同上，在非正则点上，因为有两个梯度方向在正则点上同上，在非正则点上，因为有两个梯度方向 ，如图所示，加载准则为：，如图所示，加载准则为：f1(ij)0 f2(ij)01212max(,)0,0 0,dfdfdfdf加载且卸载12nn 和 d1nd2nd4.2 加载条件与加载准则加载条件与加载准则三、硬化材料的加载准则三、硬化材料的加载准则 1.正则屈服面上的加
9、载准则正则屈服面上的加载准则 加载条件：加载条件：，则，则由于由于 也是由也是由 d ij 产生的，故加载准则仍可由应力变化是否产生的，故加载准则仍可由应力变化是否离开加载面来反映。离开加载面来反映。,)0ijaH（0ijaijadddHHadH0,0,0,ijijijijijijdddddd加载 中性变载卸载 d()ijndd4.2 加载条件与加载准则加载条件与加载准则三、硬化材料的加载准则三、硬化材料的加载准则 2.非正则屈服面上的加载准则非正则屈服面上的加载准则 与理想塑性材料类似，硬化材料在正则点上同上，在非与理想塑性材料类似，硬化材料在正则点上同上，在非正则点上，加载准则如下：正则点
10、上，加载准则如下：121212max(,)0,max(,)0,max(,)0,ijijijijijijijijijijijijdddddd加载 中性变载卸载 d1n2ndd4.3 塑性共设塑性共设一、一、Drucker公设公设 1.稳定材料与不稳定材料稳定材料与不稳定材料 若若 ，称为稳定材料；若，称为稳定材料；若 ，称不稳定材，称不稳定材料。显然，硬化材料和理想塑性材料为稳定材料，软化材料料。显然，硬化材料和理想塑性材料为稳定材料，软化材料属于不稳定材料。属于不稳定材料。doddod0dd0dd4.3 塑性共设塑性共设一、一、Drucker公设公设 2.公设的涵义公设的涵义 德鲁克公设可陈述
11、为：对于处在某一状态下的稳定材料德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料的质点的质点(试件试件)，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。即：即：(1)(a=0.51.0)(1)式说明塑性功不可逆，式说明塑性功不可逆，它被塑性变形吸收。它被塑性变形吸收。0)(0pijijijijpdaddw一、一、Drucker公设公设 2.公设的涵义公设的涵义 由式由式(1)可导出可导
12、出两个重要不等式两个重要不等式。当。当 时，由于时，由于d ij是无穷小量可以忽略，则得是无穷小量可以忽略，则得:当当 时，有：时，有：0ijij0ijij0()0 (2)pijijijd0pijijdd（3）二、二、Drucker公设的推论公设的推论 1.屈服面处处外凸屈服面处处外凸 参见左图，式参见左图，式(2)可写成可写成 ，由于，由于 永远永远在在T切线的垂直方向，要使该式成立，切线的垂直方向，要使该式成立，A点必须在点必须在T的另一侧，的另一侧，因为该式要求因为该式要求AB和和 的夹角的夹角 。即加载面即加载面必须外凸。必须外凸。如果加载面内凹，如右图，则会使如果加载面内凹，如右图，
13、则会使 。AB0pijdpijdpijd22二、二、Drucker公设的推论公设的推论 2.d p 的正交性的正交性 参见下图（反证法）：如果参见下图（反证法）：如果 不与不与 重合，就一定可重合，就一定可以找到一点以找到一点A，使得，使得 ，故而，故而 必为必为 的梯度方的梯度方向，即向，即 与加载面正交。可用下式表示：与加载面正交。可用下式表示：称称 为塑性因子，它反映为塑性因子，它反映 的的绝对值大小，是个标量。绝对值大小，是个标量。AB0pijdpijdpijddnpijd (4)pijijddpijd二、二、Drucker公设的推论公设的推论 3.d p 与与d ij的线性相关性的线
14、性相关性 式（式（4）说明）说明，塑性应变塑性应变 各分量之间的比例或大小与各分量之间的比例或大小与d 有关。而有关。而 或或d 的大小又是由应力增量的大小又是由应力增量d ij而产生的。所而产生的。所以，可以假设以，可以假设 ，则：，则：式中，式中，h为硬化模量或硬化函数，取决于为硬化模量或硬化函数，取决于 ij、ij在加载在加载面面 上的位置，而与上的位置，而与d ij无关。无关。（5）式说明）式说明d p 与与d ij的线性相关。的线性相关。pijdpijdijijdhd (5)pijmnijmndhd三、伊留辛（三、伊留辛（）塑性公设）塑性公设 德鲁克公设只适用稳定材料，而伊留辛提出的
15、德鲁克公设只适用稳定材料，而伊留辛提出的“塑性塑性公设公设”可同时适用于稳定和不稳定材料。伊留辛公设可陈述可同时适用于稳定和不稳定材料。伊留辛公设可陈述为：在弹塑性材料的一个应变循环内，外部作用做功是非负为：在弹塑性材料的一个应变循环内，外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变形，如果做功为零，只的，如果做功是正的，表示有塑性变形，如果做功为零，只有弹性变形发生。写成公式为：有弹性变形发生。写成公式为：同德鲁克公设类似，有：同德鲁克公设类似，有：0)(0pijijijijpdaddw0)(0pijijijd0pijijddpijijdd4.4 流动法则流动法则 与弹性理论不同，塑性应
16、变增量方向一般与应力增量方与弹性理论不同，塑性应变增量方向一般与应力增量方向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确定塑性应变增量方向或塑性流动方向。定塑性应变增量方向或塑性流动方向。由前述可知，由前述可知，的方向为的方向为的梯度方向，但这不是唯一的梯度方向，但这不是唯一确定确定 方向的。方向的。一、塑性位势理论一、塑性位势理论 1928年，米赛斯将弹性势概念推广到塑性理论中，假设年，米赛斯将弹性势概念推广到塑性理论中，假设对于塑性流动状态，也存在着类同弹性势函数的某种塑性势对于塑性流动状态，也存在着类同弹性势函数的某种塑性势函数函
17、数Q(ij)，其塑性流动方向与塑性势函数，其塑性流动方向与塑性势函数Q的梯度或外法线的梯度或外法线方向一致，这就是传统塑性位势理论。方向一致，这就是传统塑性位势理论。pijdpijd一、塑性位势理论一、塑性位势理论 米赛斯认为，米赛斯认为，Q是应力或应力不变量的函数，即：是应力或应力不变量的函数，即：设塑性流动方向即是塑性势函数设塑性流动方向即是塑性势函数Q的梯度方向，有：的梯度方向，有：按照这种塑性流动方向的理论，称为正交流动法则。按照这种塑性流动方向的理论，称为正交流动法则。若若Q，由此所得的塑性应力应变关系通常称为与加，由此所得的塑性应力应变关系通常称为与加载条件载条件相关联的流动法则相
18、关联的流动法则。由于屈服面与塑性应变增量正交，。由于屈服面与塑性应变增量正交，也称也称正交流动法则正交流动法则。如果。如果Q ，即屈服面与塑性应变增量不，即屈服面与塑性应变增量不正交，则其相应的塑性应力应变关系称为正交，则其相应的塑性应力应变关系称为非关联流动法则非关联流动法则。(1)pijijQdd123()0 ,)0ijQQ IJJ或（二、流动法则的分解二、流动法则的分解 塑性应变增量可分解为塑性应变增量可分解为 与与 ，因而流动法则也可相应分解成两部分。因而流动法则也可相应分解成两部分。设设Q与与 无关，即：无关，即：而而 故故=()pijijijijQQpQqdddpqpvdpd(,)
19、QQ p q21;3,3ijijpqJ2222233 ()2ijijijijijJJJqSSJJ213()32pijijQQddSpqJ二、流动法则的分解二、流动法则的分解 由于由于 而而所以所以 式（式（1）和（）和（2）表明，塑性应变增量可分解为体积塑性）表明，塑性应变增量可分解为体积塑性应变增量和剪切塑性应变增量。应变增量和剪切塑性应变增量。若若Q与与 无关，类似的可得：无关，类似的可得：(1)ppViiQdddp (2)pQddq213=32pppijijVijijQdedddSqJ 122()3pppijijdde de12221pVpQddpQQddqq三、相关联流动法则的具体分解
20、三、相关联流动法则的具体分解 1.与与D-P准则相关联的流动法则准则相关联的流动法则 则则 这说明与这说明与D-P准则相关联流动时将产生塑性体积应变，准则相关联流动时将产生塑性体积应变，负号表示剪胀。负号表示剪胀。=-3pVQdddp 1=3pQdddq1=303Q fqpk三、相关联流动法则的具体分解三、相关联流动法则的具体分解 2.与与C-M准则相关联的流动法则准则相关联的流动法则 则则 实际应用中，实际应用中，没有这么大，故对没有这么大，故对C-M准则采用不相关准则采用不相关联流动法则，即联流动法则，即 ，一般认为，一般认为Q与与 f 形式相似，仅将形式相似，仅将改为改为 ，称剪胀角，称
21、剪胀角，。只要适当调整。只要适当调整 的大小，的大小，即可满足实测结果。即可满足实测结果。6sin=-3sinpVQdddp=pQdddq6sin6cos=0 3sin3sincQfqppVdQf04.5 硬化规律硬化规律 硬化材料在加载过程中，随着加载应力及加载路径的变硬化材料在加载过程中，随着加载应力及加载路径的变化，加载面的形状、大小、加载面中心的位置以及加载面的化，加载面的形状、大小、加载面中心的位置以及加载面的主方向都可能发生变化。主方向都可能发生变化。加载面在应力空间中的位置、大小、形状的变化规律称加载面在应力空间中的位置、大小、形状的变化规律称为为硬化规律硬化规律。而把确定加载面
22、依据哪些具体的硬化参量而产。而把确定加载面依据哪些具体的硬化参量而产生硬化的规律称为生硬化的规律称为硬化定律硬化定律。对于复杂应力状态来说，目前的实验资料还不足以完整对于复杂应力状态来说，目前的实验资料还不足以完整地确定加载面的变化规律，因而需要对加载面的运动与变化地确定加载面的变化规律，因而需要对加载面的运动与变化规律做一些假设，所以也把硬化规律称为规律做一些假设，所以也把硬化规律称为硬化模型硬化模型。4.5 硬化规律硬化规律 一、常用的硬化规律一、常用的硬化规律 为了使问题简化，一般假设加载面在主应力空间内不发为了使问题简化，一般假设加载面在主应力空间内不发生转动，即主应力方向保持不变；同
23、时还假设加载面的形状生转动，即主应力方向保持不变；同时还假设加载面的形状保持不变。保持不变。1.等向硬化等向硬化加载面在应力空间内只做形状相似的扩加载面在应力空间内只做形状相似的扩大大(硬化硬化)或缩小或缩小(软化软化)，也称各向同性硬化或软化。，也称各向同性硬化或软化。H为硬化系数。为硬化系数。模型简单，没有包氏效应。模型简单，没有包氏效应。(,)()0ijijHH 1234.5 硬化规律硬化规律 一、常用的硬化规律一、常用的硬化规律 2.运动硬化运动硬化加载面在应力空间内作形状与大小不变加载面在应力空间内作形状与大小不变的平移运动，也称为随动硬化。的平移运动，也称为随动硬化。H0为硬化常量
24、，为硬化常量，为移动应力张量。为移动应力张量。适用于周期性加载条件下的动力塑性适用于周期性加载条件下的动力塑性模型，考虑了包氏效应，但有所夸大。模型，考虑了包氏效应，但有所夸大。0(,)()0ijijijijHH 123ij4.5 硬化规律硬化规律 一、常用的硬化规律一、常用的硬化规律 3.混合硬化混合硬化加载面在应力空间同时发生形状相似的加载面在应力空间同时发生形状相似的大小变化与平移运动。大小变化与平移运动。H0为硬化系数，为硬化系数，为移动应力张量。为移动应力张量。适用于周期性及随机动力加载适用于周期性及随机动力加载情况，应用范围较广。情况，应用范围较广。(,)()0ijijijijHH
25、 123ij4.5 硬化规律硬化规律 二、硬化模量与硬化定律二、硬化模量与硬化定律 从广义上来说，硬化定律是确定给定的应力增量条件下从广义上来说，硬化定律是确定给定的应力增量条件下会引起多大塑性应变的一条准则，也是确定从某个屈服面如会引起多大塑性应变的一条准则，也是确定从某个屈服面如何进入后继屈服面的一条准则。也就是说，它是如何来确定何进入后继屈服面的一条准则。也就是说，它是如何来确定塑性因子塑性因子d 值的一条准则。值的一条准则。在德鲁克公设中我们已经假设：在德鲁克公设中我们已经假设：则：则：式中：式中：h和和A都称硬化模量，两者呈倒数关系。都称硬化模量，两者呈倒数关系。ijijdhdiji
26、jijijdAdhhdd1二、硬化模量与硬化定律二、硬化模量与硬化定律 当已知加载面时，求当已知加载面时，求d 值的关键问题是建立值的关键问题是建立h或或A的表的表达式，这种表达式与硬化参量有关，通常就把引用何种硬化达式，这种表达式与硬化参量有关，通常就把引用何种硬化参量来建立参量来建立h或或A表达式，称为某硬化参量的硬化定律。表达式，称为某硬化参量的硬化定律。我们研究一般情况，设混合硬化的加载函数为：我们研究一般情况，设混合硬化的加载函数为：当应力增加当应力增加d ij之后，加载面扩大，相应的加载函数为之后，加载面扩大，相应的加载函数为 由于加载由于加载d ij之后，应力点仍保持在扩大后的加
27、载面上，之后，应力点仍保持在扩大后的加载面上，因此得到硬化因此得到硬化(或软化或软化)材料的材料的相容性条件相容性条件或一致性条件：或一致性条件：0),(Hijij0),(),(dHdHHddijijijijijij0 (1)ijijijijddddHH 二、硬化模量与硬化定律二、硬化模量与硬化定律 一般假设，一般假设，都是都是 的函数，即的函数，即 （1）对于等向硬化来说，）对于等向硬化来说，ij不变，对不变，对H微分有：微分有：（2）对于机动硬化来说，）对于机动硬化来说，H不变，则有不变，则有 式中式中c为常数，说明为常数，说明 与与 呈线性关系，因此称为线性呈线性关系，因此称为线性机动硬
28、化。机动硬化。ijH和()()ppijijklijHH1 (2)pijklppijijijklHHQdHddApijpijijQdd1ijijddA1 (3)pijijklijklQdcdcdApijdijd二、硬化模量与硬化定律二、硬化模量与硬化定律 对于机动硬化，由于对于机动硬化，由于H为常量，由式（为常量，由式（1）得：）得：将式（将式（2）、（）、（3）及（）及（4）代入式（）代入式（1），得：），得：整理得：整理得：A1为等向硬化模量，为等向硬化模量，A2为机动硬化模量。为机动硬化模量。可见，只要可见，只要Q、H、c确定了，即可求出硬化模量。确定了，即可求出硬化模量。(4)ijijijijdd 110ijklklpijijijklijijklQHQddcddAA H 21AAQHHQcAijpijijij12pijijijijHQAHQAc
