1、 第第 15 讲讲 等腰三角形等腰三角形 知识点 1 等腰三角形的性质与判定 1等腰三角形有一个角是 90，则另两个角分别是(B) A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 2如图所示，ABC 中，ACADBD，DAC80，则B 的度数是(C) A40 B35 C25 D20 第 2 题图 第 3 题图 3如图，在ABC 中，A36，ABAC，BD 是ABC 的角平分线若在边 AB 上截取 BEBC，连接 DE， 则图中等腰三角形共有(D) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 4如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，BAD35，则ADB90，BAC70，C55 第
2、 4 题图 第 5 题图 5如图，在ABC 中，CD 平分ACB，DEBC 交 AC 于 E，若 DE7，AE5，则 AC 的长为 12 6 如图， 在ABC 中， ABBC， ABC110， AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D， 连接 BD， 则ABD35 7等腰三角形的一个内角为 40，则顶角的度数为 100或 40 知识点 2 等边三角形的性质与判定 8如图，ABC 中，B60，ABAC，BC3，则ABC 的周长为(A) A9 B8 C6 D12 9已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足|ab|cb0，则ABC 是(B) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D不能确
3、定 10如图，将两个完全相同的含有 30角的三角板拼接在一起，则拼接后的ABD 的形状是等边三角形 第 10 题图 第 11 题图 11如图，AD 是等边三角形 ABC 的中线，AEAD，则EDC15 12如图，已知点 B，C，D，E 在同一直线上，ABC 是等边三角形，且 CGCD，DFDE，则E15 第 12 题图 第 13 题图 13如图，一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40的方向行驶 80 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西 20的 方向行驶 80 海里到达 C 地，则 A，C 两地相距 80 海里. 重难点 等腰三角形的性质与判定 (2017 内江改编)如图，AD 平分B
4、AC，ADBD，垂足为点 D，DEAC.求证：BDE 是等腰三角 形 【思路点拨】 直接利用平行线的性质得出13，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出B BDE，即可得出答案 【自主解答】 证明：DEAC，13. AD 平分BAC，12.23. ADBD， 2B90 ，3BDE90. BBDE. BDE 是等腰三角形 【变式训练 1】 (1)如图，已知ABC 中，ABAC，AM 平分BAC，D 为 AC 的中点，求证：DMC 是等 腰三角形 证明：ABAC，AM 平分BAC， AMBC. 又D 为 AC 中点，DM1 2ACDC. DMC 是等腰三角形 拓展提问(2)如图，若ABC 是等边
5、三角形，试判断CDM 的形状，并求出当 AO12 时，OM 的长度 解：由(1)知CDM 为等腰三角形 ABC 是等边三角形， C60. CDM 是等边三角形 由条件可知：DM 是ABC 的中线，DMAB， AOBMOD.AO OM AB MD2.AO2OM. AO12，OM6. 【变式训练 2】 如图，在ABC 中，ABAC，点 E 在 CA 延长线上，EPBC 于点 P，交 AB 于点 F，若 AF2，BF3，则 CE 的长度为 7, 方法指导 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相 等关系的重要依据一般情况下，在同一个三角形中，要证边相等，
6、先证角相等；要证角相等，先证边相等 1一个等腰三角形一边长为 4 cm，另一边长为 5 cm，那么这个等腰三角形的周长是(C) A13 cm B14 cm C13 cm 或 14 cm D以上都不对 2如图，在ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，若 AB13，AD12，则 BC 的长为(B) A5 B10 C20 D24 第 2 题图 第 3 题图 3(2017 青岛)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 ABCD，AE 与 AB 的夹角为 48，若 CF 与 EF 的长 度相等，则C 的度数为(D) A48 B40 C30 D24 4在ABC 中，其两个内角如下，则能判定AB
7、C 为等腰三角形的是(C) AA40，B50 BA40，B60 CA20，B80 DA40，B80 5(2017 荆州)如图，在ABC 中，ABAC，A30，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则CBD 的度数为 (B) A30 B45 C50 D75 第 5 题图 第 6 题图 6(2017 滨州)如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 上一点，且 DADC，BDBA，则B 的大小为(B) A40 B36 C30 D25 7如图，在等边三角形 ABC 中，AB2，点 D 为 BC 的中点，DEAB 交 AC 于点 E，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F，则图中长度
8、为 1 的线段有(D) A3 条 B4 条 C5 条 D6 条 第 7 题图 第 8 题图 8如图，ABCD，点 E 在 BC 上，且 CDCE，若B36，则D 的大小为 72 9(2017 丽水)等腰三角形的一个内角为 100，则顶角的度数是 100 10(2016 泰州)如图，已知直线 l1l2，将等边三角形如图放置，若40，则 等于 20 第 10 题图 第 11 题图 11(2017 益阳)如图，在ABC 中，ABAC，BAC36，DE 是线段 AC 的垂直平分线，若 BEa，AEb， 则用含 a，b 的代数式表示ABC 的周长为 2a3b 12(人教八上教材 P82T7 变式题)如图
9、，已知：在ABC 中，CABC，BEAC，BDE 是正三角形求C 的度数 解：BDE 是正三角形， DBE60. BEAC，BEC90. CABCABEEBC， EBCABC60C60. EBCC90，即C60C90. 解得C75. 13(人教八上教材 P82T6 变式题)如图，ABAC，BAC120，ADAC，AEAB. (1)求C 的度数； (2)求证：ADE 是等边三角形 解：(1)ABAC，BAC120， BC30. (2)证明：BC30，ADAC，AEAB， ADCAEB60. ADCAEBEAD60. ADE 是等边三角形 14(2016 河北)如图，AOB120，OP 平分AOB
10、，且 OP2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为 等边三角形，则满足上述条件的PMN 有(D) A1 个 B2 个 C3 个 D3 个以上 习题解析 第 14 题图 第 15 题图 15(易错易混)(2017 武汉)如图，在 RtABC 中，C90，以ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三 个顶点在ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D) A4 B5 C6 D7 16(易错易混)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 25，则顶角的度数为 115或 65 17(人教八上教材 P83T10 变式题)如图 1，ABC 中，B，C 的平分线相交于点 O，
11、过点 O 作 EFBC 分别交 AB，AC 于 E，F. (1)EF 与 BE，CF 之间有什么关系？ (2)如图 2，若ABC 中，B 的平分线与三角形外角ACD 的平分线 CO 交于点 O，过点 O 作 OEBC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，EF 与 BE，CF 之间又有怎样的数量关系，并给予证明 图 1 图 2 解：(1)EFBECF. 证明：BO 平分ABC，EBOOBC. EFBC，EOBOBC. EOBEBO.OEBE. 同理：CFOF. EFOEOFBECF. (2)EFBECF. 证明：BO 平分ABC，EBOCBO. OEBC，EOBCBO. EOBEBO. BEOE
12、.同理：CFOF. EFOEOFBECF. 18(人教八上教材 P93T13 变式题)等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 AEBD. (1)当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，求证：ECED； (2)当点 E 不是 AB 的中点时，如图 2，过点 E 作 EFBC，求证：AEF 是等边三角形； (3)在第(2)小题的条件下，EC 与 ED 还相等吗？请说明理由 解：(1)证明：ABC 为等边三角形， ABCACBA60. AEEBBD， ECB1 2ACB30，EDBDEB 1 2ABC30. EDBECB. ECED. (2)证明：EFBC， AEFABC60，AFEACB60. AEF 为等边三角形 (3)ECED. 理由：AEF 为等边三角形， AEAFEFBD. AFEABC60， EFCDBE120. ABAC，AEAF， ABAEACAF，即 BEFC. 在DBE 和EFC 中， DBEF， DBEEFC， BFFC， DBEEFC(SAS) EDEC.
