1、 第第 20 讲讲 平行四边形与多边形平行四边形与多边形 知识点 1 平行四边形的定义及性质 1如图，在ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若A135，则MCD 的度数是(A) A45 B55 C65 D75 第 1 题图 第 2 题图 2如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知 AD8，BD12，AC6，则OBC 的周长为(B) A13 B17 C20 D26 3如图，在ABCD 中，BEAB 交对角线 AC 于点 E，若120，则2 的度数是 110 知识点 2 平行四边形的判定 4如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列条件不能判定四边形
2、 ABCD 为平行四边形的是(C) AABCD，ADBC BOAOC，OBOD CADBC，ABCD DABCD，ADBC 第 4 题图 第 5 题图 5如图所示，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，若 ABCD，请添加一个条件答案不唯一，如：ADBC(写一 个即可)，使四边形 ABCD 是平行四边形 6如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AEAD 交 BD 于点 E，CFBC 交 BD 于点 F，且 AECF.求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明：AEAD，CFBC， EADFCB90. ADBC，ADECBF. 在AED 和CFB 中， ADECBF， EADFCB， AECF
3、， AEDCFB(AAS) ADBC. ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点 3 多边形 7六边形的内角和是(B) A540 B720 C900 D360 8内角和为 540的多边形是(C) 9十边形的对角线的条数是(C) A7 B10 C35 D70 10十边形的外角和是 360 11一个正十二边形的每一外角等于 30. 重难点 平行四边形的性质与判定 如图， 四边形 ABCD 的对角线 ACBD 于点 E， ABBC， F 为四边形 ABCD 外一点， 且FCA90， CBFDCB. (1)求证：四边形 DBFC 是平行四边形； (2)如果 BC 平分DBF，F45，BD2，
4、求 AC 的长 【思路点拨】 (1)由 BDCF，CDBF，即可得出四边形 DBFC 是平行四边形；(2)由平行四边形的性质得出 CFBD2，由等腰三角形的性质得出 AECE，作 CMBF 于 M，则 CECM，证出CFM 是等腰直角三角形， 由勾股定理得出 CM 2 2 CF 2，得出 AECE 2，即可得出 AC 的长 【自主解答】 (1)证明：ACBD， DECFCA90，BDCF. CBFDCB.CDBF. 四边形 DBFC 是平行四边形 (2)四边形 DBFC 是平行四边形，CFBD2. ABBC，ACBD，AECE. 作 CMBF 于 F. BC 平分DBF，CECM. F45，C
5、FM 是等腰直角三角形 CM 2 2 CF 2.AECE 2. AC2 2. 【变式训练 1】 (2017 山西)已知：如图，在ABCD 中，延长线 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BEDF. 连接 EF，与对角线 AC 交于点 O.求证：OEOF. 证明：证法一：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD. BEDF，ABBECDDF， 即 AECF. ABCD，AECF.EF.又AOECOF. AOECOF.OEOF. 证法二：连接 AF，CE. 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ABCD. BEDF，ABBECDDF，即 AECF. ABCD，AECF. 四
6、边形 AECF 是平行四边形 OEOF. 【变式训练 2】 如图，将ABCD 的 AD 边延长到点 E，使 DE1 2AD，连接 CE，F 是 BC 边的中点，连接 FD. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB3，AD4，A60，求 CE 的长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC. F 是 BC 边的中点，CF1 2BC. DE1 2AD，CFDE. 又CFDE，四边形 CEDF 是平行四边形 (2)过点 D 作 DNBC 于点 N. 四边形 ABCD 是平行四边形，A60，BCDA60. AB3，AD4，FC1 2AD2，CD3. 在
7、 RtCDN 中，BCD60，CD3，NC 1 2DC 3 2， DN3 3 2 . FN1 2.ECDF DN 2FN2 7., 方法指导 1判定平行四边形的基本思路： (1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等； (3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等； (4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分 2利用平行四边形的性质进行计算的方法： (1)利用平行四边形的性质，通过角或线段之间的等量转化进行相应的计算； (2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或
8、勾股定理求解；若三角 形为任意三角形，可以利用两个三角形全等或相似的性质进行求解 1(2017 临沂)一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是(C) A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 2(2017 丽水)如图，在ABCD 中，连接 AC，ABCCAD45，AB2，则 BC 的长是(C) A. 2 B2 C2 2 D4 第 2 题图 第 3 题图 3(2017 衡阳)如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，要使四边形 ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是 (D) AABCD BBCAD CAC DBCAD 4(2017 眉山)如图，EF 过ABCD 对角线的交点 O，
9、交 AD 于 E，交 BC 于 F，若ABCD 的周长为 18，OE1.5， 则四边形 EFCD 的周长为(C) A14 B13 C12 D10 第 4 题图 第 5 题图 5(2017 广州)如图，E，F 分别是ABCD 的边 AD，BC 上的点，EF6，DEF60，将四边形 EFCD 沿 EF 翻 折，得到 EFCD，ED交 BC 于点 G，则GEF 的周长为(C) A6 B12 C18 D24 6(2017 邵阳)如图所示的正六边形 ABCDEF，连接 FD，则FDC 的大小为 90 第 6 题图 第 7 题图 7 (2017 武汉)如图， 在ABCD 中， D100， DAB 的平分线
10、 AE 交 DC 于点 E， 连接 BE.若 AEAB， 则EBC 的度数为 30 8(2017 连云港)如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F.若EAF56，则B56 第 8 题图 第 9 题图 9如图，将ABCO 放置在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，若点 A 的坐标是(6，0)，点 C 的坐标是(1，4)， 则点 B 的坐标是(7，4) 10(2017 湘潭)如图，在ABCD 中，DECE，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F. (1)求证：ADEFCE； (2)若 AB2BC，F36.求B 的度数 解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形
11、， ADBC，ADBC. DECF. 在ADE 和FCE 中， DECF， DECE， AEDFEC， ADEFCE(ASA) (2)ADEFCE，ADFC. ADBC，BCFC. 又 AB2BC，ABFB. BAFF36. B180236108. 11如图，等边ABC 的边长是 2，D，E 分别为 AB，AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF1 2BC，连接 CD 和 EF. (1)求证：四边形 CDEF 是平行四边形； (2)求四边形 BDEF 的周长 解：(1)证明：D，E 分别是 AB，AC 中点， DE 1 2BC. CF1 2BC， DECF. 四边形 CDEF 是平行四边形
12、 (2)四边形 DEFC 是平行四边形， DCEF. D 为 AB 的中点，等边ABC 的边长是 2， ADBD1，CDAB，BC2. DCEF BC2BD22212 3. 四边形 BDEF 的周长为： BDDEEFFCBC5 3. 12(2017 孝感)如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，DAB60，ABDE，则下列结论成立的个数是(D) ABDE；EFADBC；AFCD；四边形 ACDF 是平行四边形；六边形 ABCDEF 既是中心对称 图形，又是轴对称图形 A2 B3 C4 D5 第 12 题图 第 13 题图 13(2017 成都)如图，在ABCD 中，按以下步骤作图：以 A 为
13、圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，AD 于点 M，N；分别以 M，N 为圆心，以大于1 2MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；作 AP 射线，交边 CD 于点 Q， 若 DQ2QC，BC3，则ABCD 周长为 15 14(2017 南充)如图，在ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EFBC，GHAB，且 CG2BG，SBPG1，则 SAEPH4 习题解析 15(2017 咸宁 T18，7 分)如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDF，ACDE，BEFC. (1)求证：ABCDFE； (2)连接 AF，BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形 证明：(1)BEFC， BCFE. 2 分 在ABC 和DFE 中， ABDF， ACDE， BCFE， ABCDFE(SSS). 4 分 (2)由(1)知ABCDFE， ABCDFE. 5 分 ABDF. 6 分 又 ABDF， 四边形 ABDF 是平行四边形. 7 分
