1、 第 24 讲 与圆相关的计算 知识点 1 与正多边形有关的计算 1正八边形的中心角是(A) A45 B135 C360 D1 080 2正六边形的边心距是 3，则它的边长是(B) A1 B2 C2 3 D3 3 知识点 2 弧长的计算 3弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是(B) A.360 B.180 C.90 D60 4如图，O 的半径为 1，A，B，C 是圆周上的三点，BAC36，则劣弧 BC 的长是(B) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 知识点 3 扇形面积的计算 5半径为 6，圆心角为 120的扇形的面积是(D) A3 B6 C9 D12 6如图，一扇形纸扇完全打开后，
2、外侧两竹条 AB，AC 的夹角为 120，AB 长为 30 cm，贴纸部分 BD 长为 20 cm， 贴纸部分的面积为(A) A.800 3 cm2 B.500 3 cm2 C800 cm2 D500 cm2 第 6 题图 第 7 题图 7如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB30，CD2 3，则阴影部分的面积为(D) A2 B C. 3 D.2 3 8如图所示，在 33 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 O，A，B 均为格点，则扇形 OAB 的面 积是5 4 知识点 4 圆锥的有关计算 9如图，圆锥底面半径为 r cm，母线长为 10 cm，其侧面展开图是圆心角为
3、216的扇形，则 r 的值为(B) A3 B6 C3 D6 第 9 题图 第 10 题图 10 如图， 把一个圆锥沿母线 OA 剪开， 展开后得到扇形 AOC， 已知圆锥的高 h 为 12 cm， OA13 cm， 则扇形 AOC 中AC 的长是 10_cm(结果保留) 重难点 弧长、扇形面积的计算 (2017 枣庄改编)如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与 DC 相切于点 E，与 AD 相交于点 F， 已知 AB12. (1)O 内接正三角形的边长为 6 3； (2)以O 的下半圆制作一个无底的圆锥，则圆锥的高为 3 3； (3)若C60. 求EF 的长 求阴影部分的面积 【自主
4、解答】 连接 OE，OF， CD 是O 的切线， OECD. ABCD，OEAB，即AOE90. 四边形 ABCD 是平行四边形，C60， AC60.OAOF， AOFA60. AOF60. EOFAOEAOF30. EF 的长为306 180 . 根据可知 OE 是ABCD 的高，SABCD12672， SAOF 3 4 629 3，S扇形BOF1206 2 360 12. S阴影SABCDSAOFS扇形BOF 729 312. 【变式训练 1】 (2017 烟台)如图，ABCD 中，B70，BC6，以 AD 为直径的O 交 CD 于点 E，则DE 的长为(B) A.1 3 B.2 3 C.
5、7 6 D.4 3 【变式训练 2】 (2017 达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形， 则该三角形的面积是(A) A. 2 2 B. 3 2 C. 2 D. 3 【变式训练 3】 (2017 苏州)如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，AC3，BOC2AOC，若用扇形 OAC 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是1 2 变式训练 3 图 变式训练 4 图 【变式训练 4】 (2016 德州)如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆 心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 3 2 6 ., 例题剖析 (1)已
6、知圆的直径的情况下，要求圆内接正三角形的边长，只需在含 120的等腰三角形中解出 GH 即可含 120的等腰三角形三边之比为 11 3； , (2)考查圆锥的高线的计算，hr(R2r2)；(其中 R 表示圆锥的母线长，即半圆的半径，r 表示圆锥底面圆的半 径),(3)求弧长的关键是求圆心角的度数，在求圆心角的度数时，涉及切线的性质，平行四边形的性质等等知识 点；,求阴影部分的面积关键是要转化成规则图形的面积，然后再进行计算 方法指导:求阴影部分面积的常用方法： (1)公式法：如果所求图形的面积是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； (2)和差法：所求图形的面积是不规则的图形，可
7、通过转化成规则图形的面积的和或差； (3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创 造条件 1(2017 株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(A) A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 2圆锥纸帽的侧面展开图是一个圆心角为 120，弧长为 6 cm 的扇形纸片，则圆锥形纸帽的侧面积为(C) A9 cm2 B18 cm2 C27 cm2 D36 cm2 3(2017 滨州)若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为(A) A. 2 B2 2 C. 2 2 D1 4(2017 湘潭)如图，在半径为 4 的O
8、中，CD 是直径，AB 是弦，且 CDAB，垂足为点 E，AOB90，则 阴影部分的面积是(D) A44 B22 C4 D2 第 4 题图 第 5 题图 5(2017 宁波)如图，在 RtABC 中，A90，BC2 2，以 BC 的中点 O 为圆心分别与 AB，AC 相切于 D， E 两点，则DE 的长为(B) A. 4 B. 2 C D2 6(2017 济宁)如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC1.将 RtABC 绕 A 点逆时针旋转 30后得到 Rt ADE，点 B 经过的路径为BD ，则图中阴影部分的面积是(A) A. 6 B. 3 C. 2 1 2 D.1 2 第 6 题图
9、第 7 题图 7(2017 黄石)如图，已知扇形 OAB 的圆心角为 60，扇形的面积为 6，则该扇形的弧长为 2 8(2017 广州)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形，若圆锥的底面圆半径是 5，则圆锥的母线 l 3 5 第 8 题图 第 9 题图 9(2017 安徽)如图，已知等边ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点，则劣 弧DE 的长为 10(2017 荆门)已知：如图，ABC 内接于O，且半径 OCAB，点 D 在半径 OB 的延长线上，且ABCD 30，AC2，则由BC ，线段 CD 和线段 BD 所围成图形的阴影部分的
10、面积为 2 32 3 11(2017 郴州)如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点 B，ADBC，垂足为 D，OA 是O 的半径，且 OA3. (1)求证：AB 平分OAD； (2)若点 E 是优弧AEB 上一点，且AEB60，求扇形 OAB 的面积(所求为劣弧 AB 所对扇形，计算结果保 留) 解：(1)证明：连接 OB， BC 切O 于点 B，OBBC. ADBC，ADOB. DABOBA. OAOB， OABOBA. DABOAB. AB 平分OAD. (2)点 E 在AEB 上，且AEB60. AOB120. S扇形OAB120 360AO 21 33 23. 12如图，四边形 AB
11、CD 是菱形，A60，AB2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60，则图中阴影部分的 面积是(A) A.2 3 3 B.2 3 3 2 C 3 2 D 3 第 12 题图 第 13 题图 13(2017 宜宾)如图，O 的内接正五边形 ABCDE 的对角线 AD 与 BE 相交于点 G，AE2，则 EG 的长是 51 14(2017 烟台)如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB.已知 OA6，取 OA 的 中点 C，过点 C 作 CDOA 交弧 AB 于点 D，点 F 是弧 AB 上一点，若将扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合用剪
12、刀沿着线段 BD，DF，FA 依次剪下，则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 36108 习题解析 15(2016 宜昌)如图，CD 是O 的弦，AB 是直径，且 CDAB.连接 AC，AD，OD，其中 ACCD.过点 B 的切 线交 CD 的延长线于 E. (1)求证：DA 平分CDO； (2)若 AB12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：3.1， 21.4， 31.7) 解：(1)证明：CDAB， CDABAD. 又OAOD， ADOBAD. ADOCDA. DA 平分CDO. (2)连接 BD. AB 是直径，ADB90. ACCD，CADCDA. CDABAD， CDABADCAD. AC DC BD . DOB60. BAD1 2DOB30. 在ADB 中，DAB30，ADB90，ABD60，AB12， BD1 2AB6. AC BD ，ACBD6. BE 切O 于 B，BEAB. DBEABEABD30. 又CDAB，BECE. DE1 2BD3， BEBD cosDBE6 3 2 3 3. BD 的长为606 180 2. 又AC BD ，AC 的长为 2. 图中阴影部分周长之和为 26233 3493 343.1931.726.5.
