1、上海市奉贤区上海市奉贤区 2020 届高三二模数学试卷届高三二模数学试卷 2020.5 一一. 填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1. 若球的表面积为 2 16 cm，则球的体积为 3 cm 2. 已知圆的参数方程为 62cos 2sin x y ，则此圆的半径是 3. 设2021izb（i为虚数单位），若 2 2029z z，则实数b 4. 已知P为曲线 22 :1 412 xy 上位于第一象限内的点， 1 F、 2 F分别为的两焦点，若 12 F PF是直角，则点P坐标为 5. 已知O是坐标原
2、点，点( 1,1)A ，若点( , )M x y为平面区域 2 1 2 xy x y 上的一个动点， 则OM OA uuur uur 的取值范围为 6. 从 4 男 2 女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志 愿者又有女志愿者的概率是 （结果用数值表示） 7. 在ABC中， 222 sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是 8. 已知等差数列 n a的各项不为零，且 3 a、 13 a、 63 a成等比数列，则公比是 9. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M、N 分别是CD、 1 CC的中点，则异面直线 1 AM与DN 所成角的大
3、小是 10. 集合 22 |0 24 x x Ax ， | 2Bxxa， 若AB I，则实数a的取值范围是 11. 三个同学对问题“已知,Rm n ，且1mn，求 11 mn 的最小值”提出各自的解题 思路： 甲： 11 2 mnmnnm mnmnmn ，可用基本不等式求解； 乙： 1111 (1) mn mnmmmnmm ，可用二次函数配方法求解； 丙： 1111 ()()2 nm mn mnmnmn ，可用基本不等式求解；参考上述解题思路， 可求得当x 时， 2 22 1 100 a y xx （010x，0a ）有最小值 12. 在平面直角坐标系内有两点( , 1)A m ，(2, 1)
4、B，2m ，点A在抛物线 2 2ypx上，F为抛物线的 焦点，若2| 6ABAF，则m 二二. 选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数 据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） A. 1.5 小时 B. 1.0 小时 C. 0.9 小时 D. 0.6 小时 14. 如图，圆O的半径为 1，A是圆上的定点，P是圆上的动点， 角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂 线，
5、垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数( )f x， 则( )yf x在0, 上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 15. 设函数( )log (1) x a f xa，其中0a ，且1a ，若 * Nn，则 ( ) lim f n n n a aa （ ） A. 1 B. a C. 1 a D. 1 a 或a 16. 已知等差数列 n a与等比数列 n b的首项均为 1，且公比1q ，若存在数对( , )k t， * ,Nk t，使得 kt ab，称这样的数对( , )k t为 n a与 n b相关数对，则这样的数对( , )k t最多有（ ）对 A. 2 B. 3 C. 4
6、 D. 5 三三. 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=76 分）分） 17. 如图，已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面边长2AB ，侧棱 1 4BB ，过点B作 1 BC的垂线交 侧棱 1 C C于点E，交 1 BC于点F. （1）求EC的长； （2）求 1 AB与平面BED所成的线面角. 18. 已知向量 33 (cos,sin) 22 axx r ，(sin, cos ) 22 xx b r （xk，Zk），令( )f x 2 ()ab a b rr r r（R）. （1）化简 2 () ( ) ab f x a b rr r
7、 r，并求当1时方程( )2f x 的解集； （2）已知集合 ( )| ( )()2Ph xh xhx，D是函数( )h x与()hx定义域的交集且D不是空集，判断 元素( )f x与集合P的关系，说明理由. 19. 甲、乙两地相距 300 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过 100 千米/小时，已知汽车每小时 的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比， 比例系数为b（0b ），固定部分为 1000 元. （1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大
8、速度行驶？ 20. 直线 1: 23 30Lxy上的动点P到点 1(9,0) T的距离是它到点(1,0)T的距离的 3 倍. （1）求点P的坐标； （2）设双曲线 22 22 1 xy ab 的右焦点是F，双曲线经过动点P，且 1 0PF TT uuu r uur ，求双曲线 的方程； （3）点(1,0)T关于直线0xy的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（0k ）的 直线L与（2）中的双曲线 22 22 1 xy ab 交于不同的两点M、N，且满足| |QMQN，若 存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由. 21. 两个数列 n 、 n ，当 n 和 n 同时在 0 nn时取得相
9、同的最大值，我们称 n 与 n 具有性 质P，其中 * Nn. （1）设 2022 (1)x的二项展开式中 k x的系数为 k a（0,1,2,3,2022k ），Nk， 记 01 ac， 12 ac，依次下去， 20222023 ac，组成的数列是 n c； 同样地， 2022 1 ()x x 的二项展开式中 k x的系数为 k b（0,1,2,3,2022k ），Nk， 记 01 bd， 12 bd，依次下去， 20222023 bd，组成的数列是 n d； 判别 n c与 n d是否具有性质P，请说明理由； （2）数列tdn的前n项和是 n S，数列19823 n 的前n项和是 n T，
10、若 n S与 n T具有性质P， * ,Nd t，则这样的数列tdn一共有多少个？请说明理由； （3）两个有限项数列 n a与 n b满足 11 () nnnn aabb ， * Nn，且 11 0ab，是否存在实数， 使得 n a与 n b具有性质P，请说明理由. 参考答案参考答案 一一. 填空填空题题 1. 32 3 2. 2 3. 180 4. ( 2, 6) 5. 0,2 6. 4 5 7. (0, 3 8. 1 或5 9. 2 10. (, 1)4,) 11. 100 1 a a 12. 5 1 2 ， 1 2 ， 1 6 二二. 选择选择题题 13. C 14. B 15. C 16. 题目有误 三三. 解答题解答题 17.（1）1；（2） 30 arcsin 6 . 18.（1） 2 1 2 sin sin x f x x ，2 6 xk 或 5 2 6 xk ，kZ； （2） 1 2 时，( )f xP， 1 2 时，( )f xP 19.（1） 1000 300()ybv v ，0,100v； （2）当 1 10 b 时， 1000 v b ， 1 0,10b 时，100v 时最小. 20.（1）( 6, 3)；（2） 22 1 33 xy ；（3）(,13)( 1,0)0,1( 13,) . 21.（1）不具有；（2）102；（3）1.
