1、 钉子板上的多边形教学设计教学目标：1. 使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，在发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。2. 使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。3.使学生获得探索规律成功的体验，梳理学习数学的自信心；感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。学情分析：本节内容是五年级上册用字母表示数这一单元之后安排的一次探索规律的专题活动，在这之前，学生已经具备了计算多边形面积、
2、用字母表示数等相关知识基础与能力，因此，本节内容对五年级学生来说“跳一跳、够得着”，具有一定的挑战性，但用含有字母的式子表示多边形面积与钉子数之间的关系还是有相当难度的，因此，教学时我们要充分引导学生通过动手操作、观察比较和分析思考，探索并发现在钉子板上围出的多边形面积的一些有趣规律，鼓励他们用含有字母的式子表示发现的规律，从而帮助他们进一步感受字母表示数的意义和价值，提高对图形与几何问题的学习兴趣。重点难点：教学重点：探索钉子板上多边形面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。教学难点：综合、归纳多边形面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。教学活动：活动1【导入】揭示课题，明确探
3、索的问题1.谈话：我们来看，这是一块钉子板，我们可以用橡皮筋在钉子板上围多边形。（课件出示：围了多边形的钉子板）2.下面就来考考你的眼力和记忆力。（课件逐个出示多边形，每个图形由小放大）问：你看到了什么？一共有几个图形？几号图形的面积最大？ 5号。看来，大家的意见一致，都同意5号图形面积最大。那么图形的面积与什么有关呢？（指名回答）师：你认为多边形的面积与多边形上经过的钉子数有关，到底是不是这样呢？不妨我们一起来数一数这些多边形上的钉子数，确实，14号图形边上的钉子数越多，面积就越大。那么5号图形呢？让我们再来仔细观察。（课件出示：5个图形同时出示）3.揭题：原来，4号和5号图形边上经过的钉子
4、数同样多，都是8个，它们边上经过的钉子数相同，但面积却不相等，这是为什么呀？到底多边形的面积与图形边上的钉子数有没有关系？如果有关系，又有怎样的关系？这节课我们就来研究钉子板上的多边形。（板书课题：钉子板上的多边形）4.指出：为了研究方便，我们用点子图代替钉子板。这张图上画的这些图形就相当于是橡皮筋在钉子板上围的多边形。（课件出示点子图及八个多边形）活动2【练习】一、探索多边形内有一枚钉子时，面积与边上钉子数的关系评论我们先从简单的图形开始研究。1.引导观察多边形面积。（课件出示八个多边形中的前四个多边形及表格）师：它们的面积分别是多少？请说清楚图形的名称以及你是怎样求出它的面积的。生1：第一
5、个图形是三角形，面积是2平方厘米。师：他是用三角形的面积公式计算得到的。 （板书：算）生2：第二个图形是梯形，它的面积是3平方厘米。生3：第三个图形的面积是3.5平方厘米。师：这是个组合图形，面积是多少？有没有其他的方法？生4：还可以数格子师：请你数给大家看，这方法怎么样？算是可以的，像他这样数也是可以的。（板书：数）用他的方法我们再数一遍。生5：第四个图形是平行四边形，面积是4平方厘米。2.引导观察多边形边上的钉子数。师：下面我们一起来数一数多边形边上的钉子数。（课件动态数点，同时表格出示每个多边形边上的钉子数据）3.引导观察表格中的数据。师：把数据整理在表格中，你有什么发现？生1：多边形的
6、面积越大，边上的钉子数越多师：他是怎么看的？（竖着看）生2：多边形边上钉子数是多边形的面积的2倍。师：他又是怎么看的？谁是谁的2倍？谁再来说一遍。反过来呢？小结：通过刚才的观察发现，多边形边上的钉子数是多边形面积的2倍，多边形的面积是多边形边上钉子数的一半。这样说比较绕。4.引导发现、完善认知。发现：想一想，用什么方法来表示能更简洁呢？我们可以用含有字母的式子来表示，面积一般用什么字母？（生：S）边上的钉子数我们用（N）来表示，那现在你能说说 S = ？（板书：S= N2）质疑：带着这样的发现，我们来看八幅图中的下面四幅，边上钉子数多少？面积多少？（课件出示逐个数据：N=10， N=9， N=
7、9， N=8，S=6 S=5.5 S=6.5 S=7 ）师：看看这四幅图，看看刚才的发现，怎么了？（指名说说疑惑）是啊，这里边上钉子数除以2不等于多边形面积，这是怎么回事呀？ 让我们再来观察这八幅图，你有什么想法？（小组讨论，指名交流）完善：原来，多边形的面积不仅跟边上的钉子数有关，还与图形中间的钉子数有关呢。 （指着S= N2）看来，这个发现还得有个前提，什么前提下，多边形的面积数=边上的钉子数2？如果中间的钉子数用A来表示，也就是A=？（板书：A=1）归纳：现在我们来看完善以后的发现，用文字语言能表达吗？谁来说说看，我们发现了什么？ 验证：我们开始围的5个图形里，有没有中间钉子数是1个的，
8、咱们数一下，边上钉子数是几？面积？与我们发现的规律相符吗？活动3【练习】二、探索多边形内有两枚钉子时，面积与边上钉子数的关系1.提出问题：师：接下来我们来看A=2，也就是中间的钉子数是2的。（课件出示图形及表格） 第一幅图，边上钉子数？面积？第二幅图？（课件出示数据）2.动手操作：师：还有两组数据，老师想请大家自己动手画一画、找一找。这次画的多边形有什么要求？（中间的钉子数是2）请同桌两人合作，在这两幅图的右边分别画2个中间钉子数是2的多边形，再数一数边上的钉子数和面积，并且把它们整理在表格里。3.组织交流：（指名展示、交流）4.观察发现：（结合实物投影上学生的图形与表格）师：还是在表格里面整
9、理数据，这次能看出来它们之间有什么关系吗？小组里面先商量商量，你们发现了什么？生：S=N2+1师：你能不能结合例子再讲具体点。5.小结：刚才的发现是研究的什么情况？（板书：A=2）谁来说说当A=2，也就是当多边形中间的钉子数是2的时候，有什么发现？6.验证：当多边形中间的钉子数是2时，多边形的面积是否都等于边上钉子数2+1 呢？我们再来看看其他同学画的多边形。（出示其他同学画的多边形）边上钉子数？面积？与规律相符吗？7.小结：通过刚才的验证，我们发现当A=2时，S=N2+1这个发现是正确的。活动4【练习】三、探索多边形内有三枚钉子时，面积与边上钉子数之间的关系1. 猜想： 如果多边形内有3枚钉
10、子，它的面积与边上钉子数的关系会发生什么变化？请你猜一猜？有什么 办法可以证明我们的猜想是否正确呢？2.操作：师：下面就让我们画一画、填一填、想一想，以小组为单位完成这份研究单。（课件出示小组学习研究单）我们来看这份研究单，是研究A=几的？怎么研究呢？（结合学生回答，课件出示：按照要求画出图形收集数据整理成表反复观察进行比较发现规律并且验证）下面，就请大家拿出研究单，每人画一个多边形，然后在小组里交流，由小组长负责汇总数据，最后，再想一想，有什么发现？3.交流：（指名小组汇报）师：有不同意见吗？看来大家都同意你们的想法，那就请你把发现写在这儿。（指名在黑板上写出规律）活动5【练习】四、拓展延伸
11、，进一步认识多边形面积与钉子数之间的关系1.猜想：如果接下去研究，当A=4,猜猜看，S会等于？（板书：S= N2+3） A=5呢？2.启发：我们来看这些式子，前面都是N2，为什么后面加的数不同呢？那你有没有发现后面加的数跟中间钉子数有什么关系？所以当A=1，也就是中间钉子数是1时，后面加的应该比它少1，那就是加了0，加0我们就不写了。师：那你能推出A=0， S会等于什么呢？（板书：A=0）生：A=0，S= N2-1师：（课件出示中间钉子数是0的正方形）我们来看这个图形，中间的钉子数是0，边上钉子数是4，42-1，面积是1吗？对吗？3.延伸：当看了这么多规律以后，我们发现多边形它的面积是多少和边
12、上的钉子数有关系，还和多边形里面的钉子数有关系。现在你知道为什么号和号图形边上经过的钉字数相同，而面积却 不相等了吗？师：你能把这些含有字母的式子统一用一个式子来表示吗？生：S= N2+A-1，所以我们在探索和发现规律的时候，还要学会从不同的多边形中找到它们的相同点。（板书：从不同中找相同）师：你真了不起，你的发现就是奥地利数学家乔治皮克发现的“皮克定理”。如果还想更深入地研究钉子板上多边形的面积与钉子数之间的关系，老师推荐大家去阅读一本课外书，书名是格点与面积，它是我国数学家闵嗣鹤撰写的。活动6【回顾】探索过程，交流体会提问：今天这节课，我们一起探究了多边形面积和钉子板上钉子之间的关系。回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会呢？（师结合学生的回答相应总结）
