1、 1.11.1 分类加法和分布乘法计数原理分类加法和分布乘法计数原理 【基础梳理】 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那 么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共 有 Nmn 种不同的方法 3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，
2、只有各个步骤都完成了才算完成这件事 【典型例题】 题型一题型一 分类加法计数原理分类加法计数原理 【例 1-1】 （2020全国高三专题练习）有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测 时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有 A8 种 B9 种 C10 种 D11 种 【例 1-2】 设集合A1,2,3,4，m，nA，则方程x 2 m y 2 n1 表示焦点位于 x轴上的椭圆的有( ) A6 个 B8 个 C12 个 D16 个 【举一反三】 1 （2020重庆高二月考（理） ）小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡若他至
3、 少买一张，则不同的买法共有( ) A7 种 B8 种 C6 种 D9 种 2 （2020全国高三专题练习）从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为 （ ） A6 B5 C3 D2 3 （2020全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有 8 班汽车、2 班火车和 2 班飞机. 一天一人从甲地去乙地，共有_种不同的方法. 题型二题型二 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 【例 2-1】 （2019辽宁实验中学高三月考（理） ）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习， 去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）
4、 A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 【例 2-2】 （2020全国高三专题练习）如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻 的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ） A72 种 B48 种 C24 种 D12 种 【举一反三】 1现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种 数为( ) A7 B12 C64 D81 2已知a3,4,6，b1,2，r1,4,9,16，则方程(xa) 2(yb)2r2 可表示的不同圆的个数是 ( ) A6 B9 C16 D24 3某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，
5、其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的 奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种 题型三题型三 两个原理的综合运用两个原理的综合运用 【例 3-1】 用 0,1,2,3,4 五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 【例 3-2】(1)将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能 种同一种作物，则不同的种植方法共有_种. 【举一反三】 1 （2019上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有 34 人自愿组成数学建
6、模社团，其中高一年级 13 人， 高二年级 12 人,高三年级 9 人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 【强化训练】 1 （2020浙江高三专题练习）空间中不共面的 4 点A，B，C，D，若其中 3 点到平面的距离相等且为第 四个点到平面的 2 倍，这样的平面的个数为（ ） A8 B16 C32 D48 2 （2020浙江高三专题练习）从 1，3，5，7，9 中任取两个数，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数，则组 成没有重复数字的四位数的个数为（
7、 ） A2100 B2200 C2160 D2400 3 （2020全国高三专题练习）若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则 不同的取法共有 A60 种 B63 种 C65 种 D66 种 4 （2020全国高三专题练习）已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定 不同的平面个数为 A40 B16 C13 D10 5 （2020山东高三期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三 位同学依次选
8、一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 6 （2019吉林省实验高二期末（理） ）有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从 中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有 A21 种 B315 种 C153 种 D143 种 7 （2020全国
9、高三专题练习）从集合1，2，3，4，10中，选出 5 个数组成子集，使得这 5 个数中 任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有 A32 个 B34 个 C36 个 D38 个 8 （2017上海高二期末）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 A6 种 B12 种 C24 种 D30 种 9 （2020全国高三专题练习）从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数 列，这样的等比数列的个数为（ ） A3 B4 C6 D8 10 （2020黑龙江牡丹江一中高三期末（理） ）如下图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，
10、每 个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 _种不同的染色方案. 11 （2020浙江高三专题练习）由数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，偶数共有_ 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有_个 12（2020 浙江高三专题练习） 由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字且为偶数的四位数， 有_. 个. 13（2019四川成都七中高二期中（文） ）4 名大学生毕业到 3 个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中 一人，则不同的录用情况的种数是_ 14 （2020全国高三专题练习）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里， 火车有 4 趟，轮船有 3 次，问此人的走法可有_种 15 （2020全国高三专题练习）在编号为 1，2，3，4，5，6 的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒 子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有_ 种 16 （2019上海市延安中学高二期末）4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出 4 个球 （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？ （2）取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出 4 个球所得总分不少于 5 分，则有多少种不同取 法
