1、高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 1 页 （共 12 页） 高高 2020 届高三学业届高三学业质量质量调研抽测（第调研抽测（第二二次）次） 理科数学试题卷理科数学试题卷 理科数学试题卷共理科数学试题卷共 6 页页，考试时间考试时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分. . 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上上. . 2作答时，务必将答案写在答题卡作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效上，写在本试卷及草稿纸上无效. . 3考试结束后，将本试卷、答题卡考试结
2、束后，将本试卷、答题卡一并收回一并收回. . 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 请将正确答案的代号填涂在答题请将正确答案的代号填涂在答题卡卡上上. . 1. 1. 已知集合已知集合 2 2 |230, |log1Ax xxBxx，则，则BA A(2)， B3 , 2( C3 , 1 D. ), 1 2 2. .已知复数已知复数z在复平面内对应点在复平面内对应点的坐标的坐标是是( 3,4)，i为虚数单位，则为
3、虚数单位，则 1 z i A. 11 22 i B. 17 22 i C. 2 71 2 i D. 71 22 i 3 3. .某公司某公司生产了一批新生产了一批新产品产品, ,这这种产品的种产品的综合综合质量指标值质量指标值x服从正态服从正态分布分布 2) 010 ,(N 且且80)0.2(P x 现从现从中随机抽取中随机抽取该产品该产品 1000 件，件， 估计估计其其综合综合质量指标值质量指标值在在100,120 内内的产品的产品件件数数为为 A. 200 B. 300 C. 400 D. 600 4 4. .已知已知 3 sin() 243 ，则，则cos2 A. 7 9 B. 7 9
4、 C. 2 2 3 D. 2 2 3 5 5. .已知已知:p22xy 且且22xy ， 22 :2q xy，则，则p是是q的的 A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 6 6. .已知函数已知函数 ( )f x的 的定义域为定义域为R且满足且满足()( ),( )(2)fxf xf xfx ，若若(1)4f 机密机密20202020 年年 4 4 月月 2525 日前日前 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 2 页 （共 12 页） 则则(6)(7)ff A. 8 B. 4 C
5、. 0 D. 4 7 7. .已已知知函数函数( )3sincos(0)f xxx, , 1 ( )2f x, , 2 ()2f x , ,且且 12 |xx最小最小 值为值为 2 , ,若将若将( )yf x的的图象沿图象沿x轴向轴向左左平移平移(0)个单位， 所得图象关于原点对称，个单位， 所得图象关于原点对称， 则实数则实数的最小值为的最小值为 A. 12 B. 6 C. 3 D. 7 12 8 8. .20202020 年年 2 2 月， 在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间， 某单位月， 在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间， 某单位有有 4 4 名党员报名参加名党员报名参加
6、 该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参 加疫情防控服务工作，则恰有一个社区加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被未被这这 4 名名党员选取党员选取的概率为的概率为 A. 81 256 B. 27 64 C. 9 64 D. 9 16 9.9.已知已知 (34)2 ,1 ( ) log,1 a axa x f x xx 对任意对任意 1 x， 2 (,)x 且且 12 xx，都有都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ，那么实数，那么实数a的取值范围是的取值范围是
7、A(1,) B(0,1) C 4 ( ,2 3 D 4 ( ,4 3 1010. .在三棱锥在三棱锥ABCP中，中，60 ,90 ,6BACPBAPCAPBPC , ,点点P到底到底 面面ABC的距离为的距离为2，则三棱锥，则三棱锥ABCP的外接球的体积为的外接球的体积为 A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 36 1 11 1. .已知已知双曲线双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点的左、右焦点分别为分别为 12 ,F F，一条渐近线为一条渐近线为l， 过点过点 2 F且与且与l平行的直线平行的直线交交双曲线双曲线C于于点点M, ,若若 12 | 2|MF
8、MF, ,则则双曲线双曲线C的离心率为的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 12.12.已知函数已知函数 2 ( )(ln1)() xm f xxax eax ，若存在实数，若存在实数a使得使得( )0f x 恒成立，则恒成立，则实实 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 3 页 （共 12 页） 数数m的取值范围是的取值范围是 A. 1 (,) 2 B. 1 (, ) 2 C. 1 (,1) 2 D. 1 ( 1,) 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分把答案填写在答题卡相应的位置
9、上把答案填写在答题卡相应的位置上 1313. .设非零向量设非零向量,a b满足满足()aab，且，且|2|ba，则向量，则向量a与与b的夹角为的夹角为 1 14 4. .过过抛物线抛物线 2 8yx焦点的焦点的直线直线l与该抛物线相交于与该抛物线相交于, A B两点两点, ,点点 0 (4,)Py是是AB的的中点中点, , 则则|AB的的值值为为 15.15.设设ABC的的内角内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为a，b，c， 已知， 已知ABC的外接圆面积为的外接圆面积为16， 且且 222 coscossinsinsinCBAAC, ,则则ac的最大值为的最大值为 16.16.如图
10、如图，在正，在正方体方体 1111 ABCDABC D中，中，ACBDO，E是是 1 BC（不含端点）上一动（不含端点）上一动 点，则下列点，则下列正确正确结论的序号是结论的序号是_ 1 DO 平面平面 11 AC D； OE平面平面 11 AC D； 三棱锥三棱锥BDEA 1 体积为定值体积为定值； 二面角二面角 1 BACB的平面角的正弦值为的平面角的正弦值为 6 6 . . （16 题图题图） 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程并答在答题分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程并答在答题 卡相应的位置上第卡相应的位置上第 17
11、17 题题第第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须做答第题为必考题，每个试题考生都必须做答第 2222 题题第第 2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17 （本小题满分为 （本小题满分为 12 分）分） 已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 1 1a ， 1 21 nn aS （）求求 n a的通项公式；的通项公式； （）设设 31 log () nnn baa ，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n T，求证：，求证： 12 111 .2 n TTT 18. （本小题满分为（本
12、小题满分为 12 分）分） 某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺工艺后所生后所生 A B C D A1 B1 C1 D1 O E 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 4 页 （共 12 页） 产的产品中产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为用随机抽样的方法各抽取了容量为 100100 的样本，的样本，得得到到如下如下的的2 2 列联列联表：表： 改进工艺前改进工艺前 改进工艺后改进工艺后 合计合计 合格品合格品 85 95 180 次品次品 15 5 20 合计合计 100 100
13、 200 （）（）是否有是否有99%的把握认为“的把握认为“提提高产品的高产品的合格合格率率与改进生产工艺有关”？与改进生产工艺有关”？ （）该工厂有（）该工厂有甲、乙两名工人甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产每天各生产 50 件产品，件产品，如果如果每生产每生产 1 件件合格合格品可获利品可获利 30 元，生产元，生产 1 件次品损失件次品损失 50 元元. . 甲、乙两名工人甲、乙两名工人 30 天天中中每天每天出现次品出现次品的的件数件数和对应的天数统计如和对应的天数统计如下下表表： 将统计的将统计的 30 天中产生天中产生不不同
14、同次品次品数数的的天数天数的的频率作为概率，记频率作为概率，记X表示甲、表示甲、 乙两名工人乙两名工人一一天中各自日利润不少于天中各自日利润不少于 1340 元的人数之和， 求随机变量元的人数之和， 求随机变量X的分的分 布列和数学期望布列和数学期望. 附：附： 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd ，na b cd . 1 19 9.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 甲甲一一天生产的次品
15、数天生产的次品数 （件件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天）对应的天数（天） 2 8 10 7 3 乙一乙一天生产的次品数天生产的次品数 （件件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天）对应的天数（天） 3 6 9 10 2 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 5 页 （共 12 页） 如图， 在正三棱柱如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 点中， 点,M N分别是分别是 1 ,AB CC的中点的中点, , D为为 1 AB与与 1 AB的交点的交点 （）求证：求证：/CM平面平面 1 AB N； （）已知已知2AB , , 1 4AA ，求求 11 AB与平面与
16、平面 1 AB N所成角的正弦值所成角的正弦值. . ( (第第 1919 题题图图) ) 2020. .（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已已知圆知圆 22 :(2)24Cxy与定点与定点(2,0)M， 动圆动圆I过过M点且与圆点且与圆C相切相切， 记， 记动动圆圆 圆心圆心I的轨迹的轨迹为曲线为曲线E （）求求曲线曲线E的方程；的方程； （）斜率为斜率为k的直线的直线l过点过点M, ,且与且与曲线曲线E交于交于, A B两点，两点，P为为直直线线3x 上的一点，上的一点， 若若ABP为等边三角形，求直线为等边三角形，求直线l的方程的方程. . 21.21.（本小题满分（本小题满分
17、12 分）分） 设函数设函数( ) x e f x x ， 1 ( )lng xx x （） 若直线若直线xm（0m） 与曲线） 与曲线( )f x和和( )g x分别交于点分别交于点P和和Q, ,求求|PQ的最小值；的最小值； （） 设函数设函数( )( )( )F xxf x ag x， 当， 当(0,ln2)a时， 证明时， 证明：( )F x存在极小值点存在极小值点 0 x， 且且 0 0 (ln)0 x eax （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如多做，则按所做的第一题如多做，则按所做
18、的第一题 A A1 M B C D N B1 C1 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 6 页 （共 12 页） 计分计分. . 22.22.【选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】( (本小题满分本小题满分 1010 分）分） 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，直线中，直线 的参数方程为的参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt （ 为参数） ，以坐为参数） ，以坐 标原点标原点为极点，为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为的极坐标方程为 2 sin8cos （）求直线求直线 的普通方程
19、和曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；的直角坐标方程； （） 已知点已知点的直角坐标为的直角坐标为(2,0)， 直线直线 和曲线和曲线交于交于、两点， 求两点， 求 的值的值 23.23.【选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲】：不等式选讲】(本小题满分本小题满分 10 分）分） 已知已知 2 ( )2f xxa . . （）当当2a时，求不等式时，求不等式( )15f xx 的解集；的解集； （）若若对于任意实数对于任意实数x，不等式，不等式23( )2xf xa成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围. . xOylt OxC lC MlCAB 11 |MAMB 高 2020 届
20、学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 7 页 （共 12 页） 高高 2020 届高三学业质量调研抽测（第二次）届高三学业质量调研抽测（第二次） 理科数学参考答案及评分意见理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：一、选择题：15：D C B A B 610: B A D D C 1112：C B 二、填空题：二、填空题： 13. 3 14. 12 158 16. (在无错选答案的前提下，选对在无错选答案的前提下，选对 1 个给个给 2 分，选对两个给分，选对两个给 5 分分) 三、解答题：三、解答题： 17解： （）因为 1 21 nn aS ，所以2n， 1 21 nn aS ， 2 分
21、两式相减化简得 1 3 nn aa (2)n ，4 分. 又 1 1a ，所以 2 3a ， 21 3aa符合上式， 所以 n a是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以 1 3n n a 6 分 （）由（）知 31 log () nnn ba a 1 3 log 3321 nn n ， 所以 2 (121) 2 n nn Tn ， 8 分 所以 222 12 111111111 1. 121 22 3(1) n TTTnnn 10 分 111111 1 1.22 2231nnn 12 分 18.解： （） 2 2 200 (85 595 15)50 5.5566.635 100 10
22、0 20 1809 K 没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”4 分 （）每天生产的次品数为x， 日利润30 5050150080yxxx，其中04x，xN 由1500 801340x得02x 5 分 X是甲、乙 1 天中生产的次品数不超过 2 件的人数之和， X的可能值为 0，1，2， 6 分 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 8 页 （共 12 页） 又甲 1 天中生产的次品数不超过 2 件的概率为 28 102 303 ，7 分 乙 1 天中生产的次品数不超过 2 件的概率为 3693 305 ， 8 分 122 (0) 3515 P X , 2
23、2137 (1) 353515 P X , 236 (2) 3515 P X 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 2 15 7 15 6 15 27619 ()012 15151515 E X 12 分 19.（）证明：连接DM，DN. 在正三棱柱 111 ABCABC中， 11 / /BBCC， 11 BBCC，且四边形 11 AAB B是矩形， 所以D为 1 AB的中点又因为M为AB的中点， 所以 1 / /DMBB，且 1 1 2 DMBB. 2 分 因为N为 1 CC的中点，所以 1 1 2 CNCC， 所以DMCN，且/DMCN， 所以四边形CMDN是平行四边形，4 分 所以
24、/CMDN,又DN 平面 1 AB N，CM 平面 1 AB N， 所以/CM平面 1 AB N. 5 分 （）取BC的中点为O, 11 BC的中点为E,连接AO,OE, 因为ABC为正三角形，所以AOBC, A A1 M B C D N B1 C1 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 9 页 （共 12 页） 又平面 11 BBCC 平面ABC,所以AO 平面 11 BBCC. 6 分 以,OB OE OA所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则(0,0, 3)A, 1(0,4, 3) A, 1(1,4,0) B,( 1,2,0)N , 11 (1,
25、0,3)AB , 1 (1,4,3)AB , 1 ( 2, 2,0)B N 8 分 设平面 1 AB N的法向量为( , , )nx y z，则 1 0AB n 且 1 0BN n 430xyz 且220xy， 令1x ，则1y ，3z ，则(1, 1,3)n 10 分 设 11 AB与平面 1 AB N所成角为，则 11 11 42 5 sin| 5| |2 5 AB n ABn . 12 分 20解： （1）设圆I的半径为r，题意可知，点I满足： | 2 6ICr，| |IMr ， 所以，| 2 6ICIM， 由椭圆定义知点I的轨迹是以,C M为焦点的椭圆，3 分 所以6,2ac 2b ，
26、 故轨迹E方程为： 22 1 62 xy 5 分 （）直线l的方程为(2)yk x， 联立 22 1 2 ( 6 2) xy yk x 消去y得 2222 31601212kxk xk. A A1 M B C D N B1 C1 z x y E O 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 10 页 （共 12 页） 直线(2)yk x恒过定点(2,0)， 在椭圆内部， 所以0 恒成立， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 则有 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k k x x 2 222 121212 2 2 6(1)
27、|(1) |(1)()4 31 k ABkxxkxxx x k 7 分 设AB的中点为 00 (,)Q xy，则 2 0 2 6 31 k x k ， 0 2 2 31 k y k ， 直线PQ的斜率为 1 k （由题意知0k ） ，又P为直线3x 上的一点，所以 3 P x , 22 0 222 113(1) |(1) | 31 P kk PQxx kkk 9 分 当ABP为等边三角形时， 3 | 2 PQAB , 即 222 222 13(1)3 2 6(1) 31231 kkk kkk 解得1k ，即直线l的方程为20xy或20xy12 分 21解： （）设函数 1 ( )( )( )l
28、n x e h xf xg xx xx ，(0,)x， 222 11(1)(1) ( ) xxx xeexe h x xxxx 2 分 ( 0,)x ，10 x e ，当01x时，(0h x，( )h x单调递减； 当1x 时，( )0h x，( )h x单调递增； ( )h x在(0,)上有最小值 min ( )(1)1h xhe 4 分 当1m时，|PQ的最小值为1e. 5 分 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 11 页 （共 12 页） （） 1 ( )(ln ) x F xeax x ， 22 11121 ( )(ln )()(ln ) xxx F xe axee
29、 ax xxxxx ， 因为e0 x ，所以 Fx与 2 21 lnax xx 同号 设 2 21 ( )lnt xax xx ，则 22 33 22(1)1 ( ) xxx t x xx 6 分 所以对任意0,x，有 0t x ，故 t x在0,单调递增 7 分 因0,ln2a， 011ta ， 11 ( )ln0 22 ta， 所以存在 0 1 ( ,1) 2 x ，使得 0 ()0t x 8 分 当 0) 1 ( , 2 xx，( )0F x ，( )F x单调递减； 当 0, ) (1xx，( )0F x，( )F x单调递增； 所以若0,ln2a，存在 0 1 ( ,1) 2 x ，
30、使得 0 x是( )F x的极小值点10 分 由 0 ()0t x得 0 2 00 21 ln0ax xx ，即 0 0 22 000 1 212 ln x ax xxx ， 所以 00 0 0 2 0 12 (ln)0 xx x eaxe x 12 分 22解： （）将 2 2 2 2 2 xt yt 中参数 消去得20xy，2 分 将代入 2 sin8cos，得 2 8yx,5 分 直线 和曲线的直角坐标方程分别为20xy和 2 8yx （）将直线 的参数方程代入曲线的普通方程，得 2 8 2320tt， t cos sin x y lC lC 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理
31、科数学 第 12 页 （共 12 页） 设、两点对应的参数为、，则， 12 8 2tt， 1 2 32t t ， 16，8 分 1 2 10 分 23.解:（）当2a时， ( ) |1| |24|1| 5f xxxx ， 则 2 2415 x xx 得 8 3 x ；2 分 21 2415 x xx 得01x； 3 分 1 2415 x xx 得1x ， 4 分 所以 15f xx 的解集为 8 (,0,) 3 . 5 分 （）对于任意实数x，不等式23( )2xf xa成立， 即 2 2322xxaa 恒成立， 又因为 222 2322323xxaxxaa ，7 分 要使原不等式恒成立，则只需 2 32aa ， 由 2 232aaa得13a 所以实数a的取值范围是(1,3). 10 分 AB 1 t 2 t 1 | |MAt 2 | |MBt 2 1212121 2 | |()48tttttttt 1212 121 21 2 |1111 1 | tttt MAMBttt tt t
