1、理科数学试卷第 1 页 共 8 页 绝密启用前绝密启用前 赤峰市高三 420 模拟考试试题 理科数学2020.4 本试卷共本试卷共 23 题，共题，共 150 分，共分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区 域内. . 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚. . 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效. .
2、 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. . 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1已知集合 2 |+230Ax xx，1 sin ,0By yx x ，则AB A.3,1B.0,1C.1,2D.3,2 2已知复数z满足0zz，且9z z ，则z A.3B.3iC.3iD.3 3某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月 份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调 查,得到 本月的用水量(单位:m m 3 3)
3、的频率分布直 方图如图所示,则小区内用水量超过15m m 3 3的住户 的户数为 A.140B.10C.50D.60 o 510152025 0.01 0.04 0.05 0.10 用水量 频率 用水量 频率/组组 理科数学试卷第 2 页 共 8 页 4设等比数列 n a的前n项和为 n S，则“ 1 0a ”是“ 2021 0S” 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5设双曲线C: 2 2 1 x y m 的一条渐近线方程为320xy，则m的值为 A. 4 9 B. 9 4 C. 3 2 D. 2 3 6已知 1 2 2a ， 1 5 5b ，
4、 3 log 2c ，则a，b，c的大小关系为 A.abcB.cbaC.cabD.bac 7若实数x，y满足不等式组 026 36 xy xy ，则2zxy的最大值为 A.10B.8C.5D.3 8关于函数( )sincosf xxx有下述四个结论： ( )f x是偶函数；( )f x在区间,0 2 上是单调递增函数； ( )f x在R上的最大值为2；( )f x在区间2 ,2上有 4 个零点. 其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D. 9设等边ABC内接于圆 22 :1xy，P是圆上一点，则()PAPBPC 的最大值是 A.2B.1C.3D.2 10 已知椭圆C:1 9 2 2 2 2 a
5、 y a x ， 直线 1 l：03mymx与直线 2 l:03myx相 交于点P，且P点在椭圆内恒成立，则椭圆C的离心率取值范围为 A. 2 0 2 ，B. 2 ,1 2 C. 1 0, 2 D. 1 ,1 2 理科数学试卷第 3 页 共 8 页 11如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 底面为正三角形， 侧棱垂直底面， 4AB , 1 8AA . 若E，F分别是棱 1 BB， 1 CC上的点， 且 1 BEB E， 11 1 4 C FCC， 则异面直线 1 AE 与AF所成角的余弦值为 A. 2 10 B. 26 13 C. 13 13 D. 3 10 12已知定义在R上的可导函数
6、 xf满足 01 xxfxfx， 若 3 2exfy 是奇函数，则不等式 02 1 x exxf的解集是 A.2 ,B.1 ,C.，2D.，1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知非零向量, a b 满足=2ba ，且 baa ，则a 与b 的夹角为. 14在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,，若 4 cos 5 B ， 12 cos 13 C ， 1b ，则a . 15验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象 素（防止 OCR），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证 成功后才能使用某项功能。
7、很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络 安 全在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由 0，1，2，9 中的 五个数字随机组成。将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验 证码”（例如：如 14532,12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证 码的中间数字是 7 的概率为. 理科数学试卷第 4 页 共 8 页 16在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且有 BDCD，ABBD2，CD1，则此鳖臑的外接球 O （A、B、C、D 均在球 O 表面上)的直径为；过 BD 的平面截球 O 所得 截面面
8、积的最小值为. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第第 17172121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第考题，每个试题考生都必须作答，第 22222323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（12 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，=45ADC ， / /ADBC，22ADAB，ADP为等边三角形，平面PAD 底面ABCD， E为AD的中点. （1）求证：平面PBC 平面
9、PCE； （2）点F在线段CD上，且 3 = 2 CF FD ， 求平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值. 18（12 分） 已知数列 n a和 n b满足： 11 2,1ab ， 11 2 nnn aab ， 11 2 nnn bba ， ,2nNn （1）求证：数列 nn ab为等比数列； （2）求数列 1 3n nn a a 的前n项和 n S. 理科数学试卷第 5 页 共 8 页 19.（12 分） 为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典， 用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集 中，在某高中学校随机抽取了
10、 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为 3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7:5，女生中喜欢阅读中国古 典文学和不喜欢的比例是 5:3. （1） 填写下面列联表， 并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与 性别有关系? 男生女生总计 喜欢阅读中国古典文学 不喜欢阅读中国古典文学 总计 （2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文 学阅读交流.实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人 作为代表，这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学.现从 这
11、 7 名代表中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会,记为参加会议的 5 人中喜欢古典文学的人数,求的分布列及数学期望 E. 附表及公式：附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd. 2 0 ()P Kk0.050.0250.0100.0050.001 0 k3.8415.0246.6357.87910.828 理科数学试卷第 6 页 共 8 页 20.（12 分） 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc 关于直线l：02 yx的对 称点为M,且23FM.若点P为C的准线上的任意一点，过点P作C的两条切 线PBPA,其中
12、BA,为切点. （1）求抛物线C的方程； （2）求证：直线AB恒过定点,并求PAB面积的最小值. 21（12 分） 已知函数 xxfln. （1）设 2 x xf xg，求函数 xg的单调区间，并证明函数 xg有唯一零点； （2）若函数 1xafexh x 在区间(1,1) a e上不单调，证明： 11 1 a aa . 理科数学试卷第 7 页 共 8 页 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22.（10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平
13、面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2xat yt （t为参数），以坐标原 点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3sin . （1）若2a ，求曲线C与l的交点坐标； （2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45o的直线，交l于点A，且PA的最大值 为10，求a的值. 理科数学试卷第 8 页 共 8 页 23.（10 分）选修 45：不等式选讲选修 45：不等式选讲 已知函数( )12f xxx. （1）解不等式1)(xf； （2）记函数)(xf的最大值为s，若( , ,0)a b cs a b c ， 证明： 222222 3a bb cc aa
14、bc. 理科数学答案 第 1 页 共 1 页 赤峰市高三 420 模拟考试试题 理科数学参考答案 2020.4 赤峰市高三 420 模拟考试试题 理科数学参考答案 2020.4 说明： 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1.B ； 2. D； 3.D ； 4.C； 5. A； 6.B； 7.D； 8.C ； 9.D ； 10.A；
15、11.B ； 12.A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1.B ； 2. D； 3.D ； 4.C； 5. A； 6.B； 7.D； 8.C ； 9.D ； 10.A； 11.B ； 12.A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 3 ； 14. 56 39 ； 15. 5 36 ； 163，. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (12 分) （1）证明：PA
16、D为等边三角形，E为AD的中点， PEAD 平面PAD 底面ABCD，平面PAD底面=ABCD AD， PE 底面ABCD，BC 平面ABCD，PEBC3 分 由又题意可知ABCE为正方形，CEBC 又PEECE，BC 平面PCE 5 分 BC 平面PBC，平面PBC 平面PCE 6 分 （2）解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0), (0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0)EABC (0,1,0),(0,0, 3DP） ，由已知 3 5 CFCD ，得 2 3 ( ,0) 5 5 F7 分 2 3 (1, 1,3),( ,3) 5 5 PBPF 设平面PBF的法向量为(
17、, , )nx y z ，则 理科数学答案 第 2 页 共 2 页 30 23 30 55 n PBxyz n PFxyz 令 3z ，则 249 , 55 xy， 24 9 3 55 n ， 9 分 又（1）知平面PAD的法向量可取为(1,0,0)m 10 分 22 2 24 4 183 5 cos, 61 249 3 55 m n 11 分 平面PAD与平面PBF所成的锐二面角的余弦值为 4 183 61 . 12 分 18. (12 分) 解：（1） 111111 (2)(2)3() nnnnnnnn ababbaab 3 分 ,2nNn， 11 =3 nn nn ab ab 所以数列
18、nn ab是以3为首项，以3为公比的等比数列 6 分 （2）由（1）知，=3n nn ab， 111111 (2)(2) nnnnnnnn ababbaab nn ab为常数列，且 11 1 nn abab8 分 231 n n a， 31 2 n n a 11 +1 34 311 =2 (31)(31)3131 nn nnnn nn a a 10 分 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 1 111111 2 41010283131 n nn S 11 1112 2= 431231 nn 12 分 19. (12 分) 解：（1） 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 42 30 72 不
19、喜欢阅读中国古典文学 30 18 48 总计 72 48 120 3 分 2 2 7248 120 7 (42 183030) =0.2083. 248 841K 所以，没有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系6 分 （2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m，女生中喜欢古典文学的人数 为n，则=m n .且=234 ， ，7 分 1211 2221 32 43 1 =21,1; 3 C C C C PP mn C C 2111122 2221222 3232 4343 1 =32,11,2; 2 C C C CC C C PP mnP mn C CC C 212 22
20、2 32 43 1 =42,2 6 C C C PP mn C C 10 分 所以的分布列为： 2 3 4 P 1 3 1 2 1 6 则 11117 =2+3+4=. 3266 E 12 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页 20.(12 分) 解：（1）依题意 023 2 22 c d ，解得1c （负根舍去） 抛物线C的方程为 2 4xy 5 分 （2）设点 11 ( ,)A xy, 22 (,)B xy，) 1,( tP，由 2 4xy, 即 2 1 4 yx ,得y 1 2 x 6 分 抛物线C在点A处的切线PA的方程为)( 2 1 1 1 xx x yy， 即 2 11 1 2
21、 1 2 xyx x y 7 分 2 11 4 1 xy ， 1 1 2 yx x y，点) 1,( tP在切线PA上, 1 1 2 1yt x ，同理， 2 2 2 1yt x 8 分 综合、得，点 1122 ( ,), (,)A x yB x y的坐标都满足方程 yt x 2 1. 即直线:AB1 2 x t y恒过抛物线焦点(0,1)F 9 分 当0t时，此时) 1, 0( P,可知：ABPF 当0t，此时直线PF直线的斜率为 2 PF k t ，得ABPF 10 分 于是ABPFS PAB 2 1 ，而4) 11()0( 222 ttPF 把直线1 2 x t y代入 2 4xy中消去
22、x得 22 (2)10yty 11 分 2 21 42tyyAB，即： 2 3 222 )4( 2 1 4)4( 2 1 tttS 理科数学答案 第 5 页 共 5 页 当0t 时， PAB S最小，且最小值为 412 分 21.（12 分） 解（1）函数 xg的定义域为，0，由 0 ln21 3 x x xg，解得ex, 0为 增区间；由 0 ln21 3 x x xg解得，ex为减区间2 分 下面证明函数只有一个零点： 0 2 1 , 0 1 2 e ege e g，所以函数在区间e，0内有零点， 0,xgx，函数在区间，e上没有零点， 故函数只有一个零点 5 分 （2） 证明：函数 1l
23、n1xaexafexh xx ，则 1, 1 1 1 x x aex x a exh x x 6 分 当0a时， 0 xh， 不符合题意； 当0a时， 令axexm x ) 1()( ， 1x， 则 0 x xexm， 所以)(xm 在 , 1上单调增函数， 而0) 1 (m， 又 xh 区间(1,1) a e上不单调，所以存在 0 (1,1) a xe，使得 xh在(1,1) a e上有一 个零点 0 x，即0 0 xh，所以0)( 0 xm 8 分 0)()1 ( 0 11 xmaeaeeem aeea a a a ，即 1 a a e ea 两边取自然对数，得1 a aelna ，即1
24、a elnaa ， 要证 11 1 a aa ，不妨考虑证 11 1 1 a elna aa 10 分 先证明：1(0) x exx，令( )1 x n xex，则( )10 x n xe ( )n x在(0)，上单调递增，即( )(0)0n xn，1(0) x exx 在中令xa， 111 1 11 aa a eae eaa 11 分 理科数学答案 第 6 页 共 6 页 令 1 lnx a 1 ln 1 ln1 a e a ，即 111 ln11lna aaa 即 11 1ln 1 a ea aa ， 11 1 a aa 12 分 22.（10 分）选修 44：坐标系与参数方程选修 44：
25、坐标系与参数方程 解：（1） 2222 2 12 ,3sin12. 3sin 由 cos sin x y 得 22 3412,xy曲线C的直角坐标方程为 22 1 43 xy . 当2a 时，直线l的普通方程为220xy3 分 由 22 220 1 43 xy xy 解得 2 0 x y 或 1 3 2 x y . 从而C与l的交点坐标为 3 2,0 , 1, 2 .5 分 （2）由题意知直线l的普通方程为20xya， C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） 故C上任意一点 2cos , 3sinP到l的距离为 4sin 2cos2 3sin 6 55 a a d 8 分 则
26、2 4sin 6 2 sin455 a d PAd . 当0a时，PA的最大值为 24 10 5 a ，所以1a ； 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 当0a时，PA的最大值为 2 4 10 5 a ，所以1a . 综上所述，1a 或1a 10 分 23.（10 分）选修 45：不等式选讲选修 45：不等式选讲 （1）解： 3,1 ( )21, 12 3,2 x f xxx x 3 分 当1x时，3 1 恒成立，所1x； 当12x 时，21 1x 即1x，所11x ； 当2x时，3 1显然不成立，所以不合题意； 综上所述，不等式的解集为(,15 分 （2）证明：由(1)知 max ( )3f xs，于是 3abc 由基本不等式可得 22222422 22a bb ca b cab c （当且仅当a c 时取等号） 22222242 22b cc aa b cabc （当且仅当b a时取等号） 22224222 22c aa ba b ca bc （当且仅当c b时取等号）8 分 上述三式相加可得 222222 2()2()a bb cc aabc abc （当且仅当abc 时取等号） 3abc ， 222222 3a bb cc aabc，故得证10 分
