1、二次函数压轴题目 录CONTENTS2二次函数中周面积问题二次函数中周面积问题3二次函数中特殊三角形存在性问题二次函数中特殊三角形存在性问题4二次函数中特殊四边形存在性问题二次函数中特殊四边形存在性问题1二次函数中线段和周长问题二次函数中线段和周长问题5二次函数中相似三角形存在性问题二次函数中相似三角形存在性问题6二次函数与角度有关问题二次函数与角度有关问题二次函数中线段和周长问题二次函数中线段和周长问题01教学分析 满分技巧满分技巧 解决线段最值的方法：首先设出关键点的坐标（通常是一个与所求线段关系密切的点的横坐标），通过题首先设出关键点的坐标（通常是一个与所求线段关系密切的点的横坐标），通
2、过题目中的函数和图形关系，用该点的坐标（横坐标）表示出有关线段端点的坐标，进目中的函数和图形关系，用该点的坐标（横坐标）表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，进而得到线段的最大值或最小值而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，进而得到线段的最大值或最小值.解决周长问题的方法：求线段和的最小值或周长最小值时常想到用求线段和的最小值或周长最小值时常想到用“对称性质对称性质”，主要利用构造对称图形，主要利用构造对称图形，解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题.例1.1如图，抛物线 y=x2+b
3、xc 过点 A(3，0)，B(1，0)，交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PDy 轴交直线 AC 于点 D.（1）求抛物线的解析式；（2）求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使 MA-MC 最大？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.例1.2如图，抛物线 的图象过点 A(4，0)，B(4，4)，且抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AB，BC，AC.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线对称轴上的点，求PBC 周长的最小值及此时点
4、P 的坐标；（3）若E是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E，使DE=2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.214yxbxc 练1.1经过点A（3，3）的抛物线y=ax+bx与x轴交于点B（4，0）和原点O，点P为二次函数上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(a，0)(a0)，并与直线OA交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在线段OA上方时，过点P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求PCE周长的最大值及此时P点的坐标；（3）当PCCO时，求P点坐标.练1.2 已知直线y=5x5交x轴于
5、点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax4xc的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值;(3)若点H为二次函数y=ax24xc图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标.二次函数中面积问题二次函数中面积问题02教学分析 面积最值问题面积最值问题教学分析 面积倍数问题面积倍数问题 探究二次函数中的面积倍数的存在性问题，一般的解题步骤如下：1.1.确定已知三角形的面积；确定已知三角形的面积；2.2.假
6、设点存在，用参数确定这个点与已知点围成的三角形的面积关系；假设点存在，用参数确定这个点与已知点围成的三角形的面积关系；3.3.根据题目设倍数关系列方程；根据题目设倍数关系列方程；4.4.若方程有解，求解这个方程，得到点的坐标；若方程无解，则不存在这样的点若方程有解，求解这个方程，得到点的坐标；若方程无解，则不存在这样的点.例2.1如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+2axc的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3，0)(1)求二次函数的解析式；(2)点P是第二象限内抛物线上的一动点当点P在何处时CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标(
7、3)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 2的两部分，求出此时点M的坐标；练2.1如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DFx轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD.设点D的横坐标为m，BCD的面积为S.求S关于m的函数关系式及自变量 m的取值范围；当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；直线BC能否把BDF分成面积之比为2 3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由 二次函数中特殊三角形存在性问题二次函数中
8、特殊三角形存在性问题03教学分析 满分技巧满分技巧 1.探究直角三角形的存在性问题，具体做法如下：（1 1）观察图形，判断顶点是否确定，若不确定，则需分类讨论；）观察图形，判断顶点是否确定，若不确定，则需分类讨论；（2 2）结合题干，在图中找出所有满足条件的顶点，并画出图形；）结合题干，在图中找出所有满足条件的顶点，并画出图形；（3 3）设出含有题目参数的三角形顶点坐标，根据一次函数或二次函数解析式使其含）设出含有题目参数的三角形顶点坐标，根据一次函数或二次函数解析式使其含有一个参数；有一个参数；（4 4）根据点的横坐标和纵坐标在平面直角坐标系中与线段的关系，表示出相关直角）根据点的横坐标和纵
9、坐标在平面直角坐标系中与线段的关系，表示出相关直角三角形每条边的长度，根据直角三角形的性质列出关系式，一般利用勾股定理或相三角形每条边的长度，根据直角三角形的性质列出关系式，一般利用勾股定理或相似三角形建立等量关系，求出参数似三角形建立等量关系，求出参数.2.探究等腰三角形存在性的解题方法一般为：（1 1）用点坐标表示三角形三边长的平方；）用点坐标表示三角形三边长的平方；（2 2）根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三个方程；）根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三个方程；（3 3）分别解这三个方程，若能得到方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，在）分别解这三个方
10、程，若能得到方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，在不存在这样的三角形不存在这样的三角形.例3.1如图，抛物线 与x轴交于A(1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）求sinABC的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由212yxbxc 例3.2如图，已知抛物线 yaxbxc(a0)的对称轴为直线 x1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.（1）若直线 ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解
11、析式；（2）在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标练3.1如图，已知二次函数 yxbxc(c0)的图象与x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3，顶点为 M.（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQm，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；（3）探索：线
12、段BM 上是否存在点N，使NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由练3.2如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图，在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由二次函数中特殊四边形存在性问题二次函数中特殊四边形存在性问题04教学分析 满分技巧满分技巧 探究平行四边形的存在性问题，具体做法如下：探究平行四边形的存
13、在性问题，具体做法如下：（1 1）假设结论成立；）假设结论成立；（2 2）找点：探究平行四边形的存在性问题，一般是已知两定点求未知点坐标，此时）找点：探究平行四边形的存在性问题，一般是已知两定点求未知点坐标，此时 可以分两种情况可以分两种情况，以这两点所构成的线段为边和对角线来讨论：以这两点所构成的线段为边和对角线来讨论：以这两点所构成的线段为边时，可以利用平行四边形对边平行且相等，画出符合以这两点所构成的线段为边时，可以利用平行四边形对边平行且相等，画出符合题意的图形；题意的图形；以这两点所构成的线段为对角线时，则该线段的中点为平行四边形对角线的交点，以这两点所构成的线段为对角线时，则该线段
14、的中点为平行四边形对角线的交点，结合抛物线的对称性，画出符合题意的图形；结合抛物线的对称性，画出符合题意的图形；（3 3）建立关系式并计算）建立关系式并计算.根据以上分类画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，根据以上分类画出所有符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解
15、的方法求解.例4.1如图，抛物线yaxbxc(a0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴x1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标练4.1如图，抛物线 yxbxc 经过 A(1，0)，B(3，0)两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线
16、的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD.（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PEPC 时，求点 P 的坐标；（3）在(2)的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标二次函数中相似三角形存在性问题二次函数中相似三角形存在性问题05教学分析 满分技巧满分技巧探究相似三角形的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，探究相似三角形的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，具体步骤如
17、下：具体步骤如下：（1）假设结论成立，分情况讨论，剔除不符合的情况）假设结论成立，分情况讨论，剔除不符合的情况.探究三角形相似时，当没有探究三角形相似时，当没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，就要根据相似三角形的对应关系，分情况明确指出两个三角形的对应角、对应边，就要根据相似三角形的对应关系，分情况讨论：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，讨论：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若
18、没有，则分别按三组对应角来分类讨论，剔除不符合的对应形式；条件；若没有，则分别按三组对应角来分类讨论，剔除不符合的对应形式；（2）设未知量，求边长）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设的点坐标表示出所求三角形的边长；的点坐标表示出所求三角形的边长；（3）建立关系式，并计算）建立关系式，并计算.由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可
19、得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得未知量的值，再通过计算得出相应的点的坐标者一元二次方程，解方程可得未知量的值，再通过计算得出相应的点的坐标.例5.1如图，抛物线yxbxc经过A、B两点，A、B两点的坐分别为(1，0)、(0，3)（1）求抛物线的解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一个交点，点D为y轴上一点，且DCDE，求点 D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与DOC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，说明理由 练5.1如图，抛物线yxbxc经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接
20、BC.点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.（1）求抛物线的表达式；（2）当P在y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF直线l，垂足为F.当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与OBC相似？并求出此时点P的坐标；（3）如图，当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB.请问PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由二次函数中与角度有关问题二次函数中与角度有关问题06教学分析 满分技巧满分技巧探究角度问题，关键点往往是如何将角度问题转化，一般我们通过锐角三角函数，探究角度问题，关键点往往是如何
21、将角度问题转化，一般我们通过锐角三角函数，相似或者特殊角的三角函数值及等腰三角形的性质（等角对等边），进而转化为我相似或者特殊角的三角函数值及等腰三角形的性质（等角对等边），进而转化为我们比较常见的类型来解答们比较常见的类型来解答例6.1抛物线 yx2x3 与 x 轴交于点 A，B(A 在 B的左侧)，与 y 轴交于点 C.（1）求直线 BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点 P，使APBABC，利用图求点 P 的坐标；（3）点 Q 在 y 轴右侧的抛物线上，利用图比较OCQ 与OCA 的大小，并说明理由练6.1在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A（-6，0），点
22、B（4，0），点C（0，-8），直线 与x、y轴交于点D、E（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直角三角形ODE的两个锐角平分线的交点，求证：PDO+PEO=45；（3）若在x轴上有一点H，满足2HEB=DEO，求点H的坐标；443yx 课堂小结CONTENTS2尽量理解并学会存在性问题尽量理解并学会存在性问题3了解相似三角形及角度问题了解相似三角形及角度问题1必须掌握线段和周长问题及面积问必须掌握线段和周长问题及面积问题的方法题的方法课后练习CONTENTS教学分析 课后练习课后练习1.已知，如图，抛物线yax+bx+c（a0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（3，7）和B（
23、3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得SDAC2SDCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标教学分析 课后练习课后练习2.如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线yx+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APBOCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由教学分析 课后练习课后练习3.如图，抛物线y=ax+bx5与坐标轴交于A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点，顶点为D（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由过点F作FHBC于点H，求PFH周长的最大值
