1、“一线三等角”模型的探究与应用年 级：九年级学 科：初中数学（浙教版）问题背景如图，在ACD中，ACD=90，AC=DC，按如下步骤操作：（2）分别过点A、D作直线l的垂线段，垂足分别为点B、E；BE从这个图形中你能得到什么结论？结论：ABCCED如果将ACD的形状作一下改变，这个结论还成立吗？（1）任意作一条直线 经过点C(不与AC、DC重合)；“一线三直角”全等模型探究1：若将等腰直角ACD改为任意直角三角形，按上面的步骤(1)(2)作图；从这个图形中你能得到什么结论？结论：ABCCED“一线三直角”基本图形特征：ABC=ACD=CED=90且顶点在同一直线上.结论：ABCCED探究2：如
2、图，若将直角三角形ACD改成任意ACD，已知B=ACD=E=a，ABC与CDE还相似吗？请说明理由.B=ACD=aBAC+ACB=ACB+DCE=180-aBAC=DCE又B=E=aABCCED“一线三等角”基本图形 问题背景问题探究结论：ABCCED特征：B=ACD=E=a且顶点在同一直线上BE“一线三直角”相似模型模型提炼：模型提炼：“一线三等角一线三等角”基本图形基本图形问题背景问题探究一.三个等角可以是锐角、直角或钝角二.点C还可以在线段BE或EB的延长线上同侧型同侧型异侧型异侧型尝试问题背景问题探究如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60，则AE的长为_.思考1：由
3、已知条件ABC是等边三角形你能得到什么？ABD=DCE=60思考2：由ABD=DCE=60，结合条件ADE=60，你想到了什么？“一线三等角”模型ABC是等边三角形，CD=BC-BD=9-3=6，BAD+ADB=120.又ADE=60，DAB=EDC，B=C=60，AB=BC，解得CE=2 AE=AC-CE=9-2=7.ADB+EDC=120.ABD DCE.60三个等角：B=ADE=C=60“一线三等角”模型7例题 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2,0)，点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若CPA=ABO，则m的值为_.问题背景问
4、题探究P思考1：由直线y=-x+m你能得到什么？OB=OA=m，OBA=OAB=45思考2：结合条件CPA=ABO=45你想到了什么？存在“一线二等角”找可能的另一“等角”构“一线三等角”思考3：如将y轴看成“一线”，如何寻另一“等角”？由y=-x+m可得A（m，0），B（0，m），yxOCABDCPA=ABO=45又ABP=PDC=45BPA+OPC=BPA+BAP=135 OPC=BAP.PCDAPB解得：m=12m=12问题背景问题探究“一线三等角”模型找角：根据图形中存在的“一线二等角”，找可能的另一“等角”定线：将相等角所在顶点的直线看成“一线”.构相似：利用两个相等的角，再补一个相
5、等的角，从而构造“一线三等角”相似模型例 已知：等腰已知：等腰ABCABC，AB=AC=8=8，BAC=120=120，P为为BC中点，小慧拿着中点，小慧拿着含含3030角的透明三角板，使角的透明三角板，使3030角的顶点落在点角的顶点落在点P，三角板绕，三角板绕P点旋转点旋转.问题背景问题探究拓展生长（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：BPECFP；图a步骤一：找角B=C=30EPF=步骤二：定线步骤三：找相似BEP+BPE=BPE+CPF=150BEP=CPFB=C，BPECFP例 已知：等腰已知：等腰ABC，AB=AC=8=8，BAC=120=120，P为为B
6、C中点，小慧拿着中点，小慧拿着含含3030角的透明三角板，使角的透明三角板，使3030角的顶点落在点角的顶点落在点P，三角板绕，三角板绕P点旋转点旋转.问题背景问题探究拓展生长（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）图bBPECFP例 已知：等腰已知：等腰ABCABC，AB=AC=8=8，BAC=120=120，P为为BC中点，小慧拿着含中点，小慧拿着含3030角的透明三角板，使角的透明三角板，使3030角的顶点落在点角的顶点落在点P，三角板绕，三角板绕P点旋转点旋转.问题背景问题探究拓展生长
7、（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.图b探究2：连接EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由；探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）BPECFP思考1：BPE与PFE有没有相等的量？EBP=EPF思考3：目前我们已知什么？BPECFP思考2：结合EBP=EPF，要证BPE与PFE相似，你会用相似的哪个判断方法？BP=PCBPEPFE例 已知：等腰已知：等腰ABCABC，AB=AC=8=8，BAC=120=120，P为为BC中点，小慧拿着中点，小慧拿着含含3030角的透明三角板，使角的透明三角板，使3030角的顶点落在点角的顶点
8、落在点P，三角板绕，三角板绕P点旋转点旋转.问题背景问题探究拓展生长（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.图b探究2：连接EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由；设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S.探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）思考1：结合EF=m，EPF的面积S你会怎么表示？思考2：PG如何表示？G由BPEPFE你能得到什么？BEP=PEF思考3：由BEP=PEF，PGEF，你想到了什么？KPG=PK在ABC中，AB=AC=8，BAC=120“一线三等角”模型当点P为BC中点时，BPEPFECFP特征：ABC=ACD=CED=a，且顶点在同一直线上.构造模型步骤：找角 定线 找相似结论：ABCCED数形结合思想转化思想问题背景问题探究拓展生长梳理提升
