1、教材同步复习第一部分 第四章三角形第第19讲讲解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用知识要点知识要点 归纳归纳人教：九下第二十八章人教：九下第二十八章P60P85；北师大：九下第一章北师大：九下第一章P1P27.知识点知识点1锐角三角函数锐角三角函数2特殊角的三角函数1 221在RtABC中，已知ACB90，BC1，AB2，则cos A_2计算：sin30cos45_，sin45tan60cos60_ 212 612知识点知识点2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用1直角三角形中边、角、面积间的关系图示图示三边关系三边关系勾股定理：_锐角关系锐角关系ABa2b2c290边角关系边角关系
2、sin Acos B ，cos Asin B ，tan A ，tan B 面积关系面积关系SABC_ ch(h为斜边AB上的高)acbcabba12ah212解直角三角形的常见类型和解法3.解直角三角形应用的有关概念3如图，在ABC中，AC1，BC2，AB ，则sin B的值是()A BC2 D5B2 5555124如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图ADDB，原传送带AB与地面DB的夹角为30，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30改为45，原传送带AB长为8 m，则新传送带AC的长度为_m.4 2五年真题五年真题 精选精选命题点命题点1解直角三角形的有关概念（
3、解直角三角形的有关概念（5年年5考）考）1(2017江西17题6分)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”约为100.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直(1)若屏幕上下宽BC20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG100 cm，上臂DE30 cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH72 cm.请判断此时是否符合科学要求的100.(参考数据：sin 69 ，cos 21 ，tan 20 ，tan 43 ，所有结果精确到个位)1415141
4、54111415解：解：(1)如答图如答图1，由已知得，由已知得BC20 cm.ABBC，B90.在在RtABC中，中，20，tan ，AB 55(cm)答：眼睛与屏幕的最短距离答：眼睛与屏幕的最短距离AB的长为的长为55 cm.BCABBCtan 20BCtan2020tan20411(2)由已知得由已知得DG100 cm，DE30 cm，FH72 cm.如答图如答图2，延长，延长FE交交DG于点于点I.DGGH，FHGH，EFGH，IEDG，四四边形边形GHFI是矩形，是矩形，IGFH，DIDGFH1007228(cm).在在RtDEI中，中，sin DEI ，sin 69 ，DEI69.
5、DEI180，111100，此时此时不符合科学要求的不符合科学要求的100.DIDE2830141514152(2020江西20题8分)如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图量得托板长AB120 mm，支撑板长CD80 mm，底座长DE90 mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动(结果保留小数点后一位)(1)若DCB80，CDE60，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求C
6、D旋转的角度(参考数据：sin 400.643，cos 400.766，tan 400.839，sin 26.60.448，cos26.60.894，tan 26.60.500，1.732)3解：解：(1)如如答图答图1，过点，过点C作作CHDE于点于点H.CD80 mm，CDE60，sin 60 ，CH40 401.73269.28(mm)过点过点A作作AMDE交交ED的延长线于点的延长线于点M，过点，过点C作作CNAM于点于点N.MNCH69.28 mm，NCDCDE60.DCB80，ACN180806040.sin ACN ，AC80 mm，AN80sin 40800.64351.44(
7、mm)，AMANNM51.4469.28120.7(mm)答：答：点点A到直线到直线DE的距离约为的距离约为120.7 mm.CHCD80CH32ANAC3(2)AB绕着点绕着点C逆时逆时针旋转针旋转10，DCB90.如答图如答图2，连接，连接BD.DC80，CB40，tan CDB 0.5，CDB26.6，BDE6026.633.4.答：答：CD旋转的角度约为旋转的角度约为33.4.BCCD40803(2019江西20题8分)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线BAO表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水
8、平桌面OE.经测量，AO6.8 cm，CD8 cm，AB30 cm，BC35 cm(结果精确到0.1)(1)如图2，ABC70，BCOE.填空：BAO_；求投影探头的端点D到桌面OE的距离；(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求ABC的大小(参考数据：sin700.94，cos200.94，sin36.80.60，cos53.20.60)160图1图2图3第3题图解：解：(1)如答图如答图1，过点，过点A作作AFBC，则，则BAFABC70，BAOBAFOAF7090160.图1如答图如答图2，延长，延长OA交交BC于点于点G.AOOE，AO
9、E90.BCOE，AOEBGO90.在在RtABG中，中，AB30 cm，sin B ，AGABsin B30sin 70300.9428.2(cm)，AGCDAO28.286.827.0(cm)答：投影答：投影探头的端点探头的端点D到桌面到桌面OE的距离为的距离为27.0 cm.AGAB图2(2)如答图如答图3，过点，过点B作作BHDC，交，交DC的延长线于点的延长线于点H.在在RtBCH中，中，HC28.2686821(cm)sin HBC ，sin HBC 0.6，HBC36.8，ABCABHHBC7036.833.2.答：当投影探头的端点答：当投影探头的端点D到桌面到桌面OE的距离为的
10、距离为6 cm时，时，ABC为为33.2.HCBC2135图34(2018江西19题8分)图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关，图2是其俯视简化示意图已知轨道AB120 cm，两扇活页门的宽OCOB60 cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变(所有的结果保留小数点后一位)(1)若OBC50，求AC的长；(2)当点C从点A向右运动60 cm时，求点O在此过程中运动的路径长(参考数据：sin 500.77.cos 500.64，tan 501.19，取3.14)第4题图解：解：(1)如答图如答图1，过点
11、，过点O作作ODBC，垂足为，垂足为D.OCOB，BC2BD.在在RtOBD中，中，OB60 cm，OBC50，BDOBcos 50600.6438.4(cm)，BC2BD76.8(cm)，ACABBC12076.843.2(cm)答：答：AC的长为的长为43.2 cm.第4题答图1(2)B为固定点，为固定点，OB60 cm为定长，为定长，点点O在以点在以点B为为圆心，圆心，OB长为半径的长为半径的圆上圆上第4题答图2如答图如答图2，点点C从点从点A向右运动向右运动60 cm后，恰好在后，恰好在AB中点的位置，中点的位置，这个过程中点这个过程中点O的运动轨迹即为的运动轨迹即为 .OCOB60
12、cm，BC AB60(cm)，OBC为等边三角形为等边三角形，OBC60，的长为的长为 20203.1462.8(cm)答答：点点O在此过程中运动的路径长约为在此过程中运动的路径长约为62.8 cm.12COCO6060180 第5题图5(2016江西21题8分)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆已知OAOB10 cm.(1)当AOB18时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持AOB18不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断
13、部分的长度(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin 90.156 4，cos 90.987 7，sin 180.309 0，cos 180.951 1，可使用科学计算器)解：解：(1)过点过点O作作OCAB于点于点C，如答图，如答图1.OAOB10 cm，OCB90，AOB18，BOC9.在在RtBOC中，中，sin BOC ，AB2BC2OBsin 92100.156 43.13(cm).).答：答：所作圆的半径约所作圆的半径约为为3.13 cm.BCOB(2)过点过点A作作ADOB于点于点D，作，作AEAB，如答图，如答图2.保持保持AOB18不变，在旋转臂不变，在旋转臂OB末端的铅
14、笔芯折断了一截的情况下，作出的圆末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与与(1)中所作圆的大小相等，中所作圆的大小相等，折断的部分为折断的部分为BE.AOB18，OAOB，ODA90，OAB81，OAD72，BAD9，BE2BD2ABsin 923.130.156 40.98(cm)答：铅笔芯折断部分的长度约为答：铅笔芯折断部分的长度约为0.98 cm.重点难点重点难点 突破突破重难点解直角三角形的实际应用重难点解直角三角形的实际应用(难点难点)(2020南昌第一次调研考试)如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD与两个活动环AD，BC
15、相连，现测得ADBC2.6 cm，AB17 cm.(1)如图2，当A，D，C三点共线时，恰好ACBC.求把手CD的长；【解题思路】第一步：如图2，在RtABC中，利用勾股定理求出AC；第二步：根据CDACAD即可求出结果【解答】【解答】ADBC2.6 cm，AB17 cm，在在RtABC中，中，AC 16.8(cm)，CDACAD16.82.614.2(cm)答：把手答：把手CD的长为的长为14.2 cm.22ABBC.22172 6(2)如图3，当CDAB时，求ADC的度数.(参考数据：sin 57.50.84，cos57.50.54，tan57.51.57)【解题思路】第一步：分别过点C，
16、D作CEAB于点E，DFAB于点F；第二步：易证四边形CDFE是矩形，得出DFCE，EFCD；第三步：利用HL证明RtADFRtBCE，得到AF的值；第四步：由cosDAF 及所给数据求出DAF的值；第五步：根据平行线的性质求出ADC的度数AFAD【解答】【解答】如答图，分别过点如答图，分别过点C，D作作CEAB于点于点E，DFAB于点于点F.CDAB，CDF90DFECEF，四边形四边形CDFE是矩是矩形，形，DFCE，EFCD.ADBC，RtADFRtBCE(HL)，AFBE (ABEF)(1714.2)1.4(cm)，1212cos DAF 0.54，DAF57.5.CDAB，ADC18
17、0DAF18057.5122.5.答：答：ADC的度数为的度数为122.5.AFAD7131 42 6.利用解直角三角形解决实际问题，要读懂题意，分析背景语言，由实物图抽象出数学图形，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系问题，具体方法如下：1紧扣三角函数定义，寻找边角关系2添加辅助线，构造直角三角形，作垂线是常用的添加辅助线方法如图给出了几种常见图形中作垂线的方法3逐个分析相关直角三角形，构造方程求解，一般设最短的边长为x，先分别在不同的直角三角形中用含x的代数式表示出未知边长，再根据两个直角三角形边的数量关系(和差或相等)列方程求出未知量 1(2020江西样卷六)某班为了营造书香教室，培养
18、学生阅读的习惯，在教室一角放置了一种创意书架(如图1所示)，书架由七块长度一样的长木板拼接而成，其中三块横向长木板与地面平行，另外四块拼成双“A”形状，若忽略其厚度，其基本结构可简化为图2.已知点A，C，E在地面上，ABCD，BCDE，ABBCCDDEAE200 cm.(1)求书架的高度(即点B到地面的距离)(2)现有一批厚度均为2 cm，高度均为35 cm的图书，若要将此种图书按图2所示方式自然竖放在阴影部分这一格子中，已知阴影部分格子的层高为62.5 cm，阴影部分格子的底边长为84 cm，则阴影部分格子中最多可摆放多少本这样的图书？(参考数据：3.87)15解：解：(1)如答图，过点如答
19、图，过点B作作BFAE于点于点F.ABCD，BCDE，ABBCCDDE，BACBCADECDCE，BACDCE，ACCE AE100 cm.ABBC，BFAE，AF AC50 cm，BF 50 193.5(cm)答：答：书架的高度约为书架的高度约为193.5 cm.121222ABAF 2220050 15(2)如答图，设此种图书左侧顶端与如答图，设此种图书左侧顶端与BA交于点交于点G，左侧底端与阴影部分，左侧底端与阴影部分格子的下底交于点格子的下底交于点H，阴影部分格子的下底与，阴影部分格子的下底与BA交于点交于点M.MHAE，GMHBAF.GHMBFA90，GMHBAF，即，即 ，解得，解
20、得MH9.04(cm)最多可以摆最多可以摆放图书放图书(849.042)232.96(本本)答：阴影部分格子中最多可摆放答：阴影部分格子中最多可摆放32本这样的图书本这样的图书MGGHAFBF35FG5050 152小亮将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OA与底板OB所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适(如图1)，侧面示意图如图2；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架BCO后，电脑转到BOA位置(如图3)，侧面示意图如图4.已知OAOB28 cm，OCOB于点C，OC14 cm.(参考数据：1.414，1.732，2.236)235(1)求CBO的度数；(2)显示屏的顶部A在垂直方向上比
21、原来升高了多少？(结果精确到0.1 cm)(3)如图4，垫入散热架后，要使显示屏OA与水平线的夹角仍保持120，则显示屏OA应绕点O按顺时针方向旋转多少度？(不写过程，只写结果)解：解：(1)OCBC，OCB90.在在RtCBO中，中，OBOB28 cm，sin CBO ，CBO30.O CO B 142812(2)如答图，过点如答图，过点A作作ADBO，交，交BO的延长线于点的延长线于点D.AOB120，AOD60.在在RtAOD中，中，OA28 cm，ADAOsin 6014 24.25(cm)AOOA28 cm，ACAOOC281442(cm)，ACAD4224.2517.8(cm)答：
22、显示屏的顶部答：显示屏的顶部A在垂直方向上比原来升高在垂直方向上比原来升高了约了约17.8 cm.(3)显示屏显示屏OA应绕点应绕点O按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转30.320212021权威权威 预测预测1.疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图1是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图2，点F在线段HG上运动，BCHG，AEBC，垂足为E，AE的延长线交HG于点G，经测量ABD11，A
23、DE26，ACE31，BC20 m，EG0.6 m.(1)求线段AG的长度；(2)连接AF，当线段AFAC时，求点F和点G之间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据：tan110.19，tan260.49，tan310.60)解：解：(1)在在RtABE中，中，BE ，在在RtACE中，中，CE ，设设AEx m，则，则 +20，解得解得x2.89 m，AGAEEG2.890.63.5(m)答：线答：线段段AG的长度约为的长度约为3.5 m.AEtan ABE AEtan ACE 11xtan31xtan(2)当线段当线段AFAC时，则时，则FAECAG90.AEBC，CAGACE90，FAE
24、ACE31，tan FAGtan31 ，FGAGtan313.50.602.1(m)答：点答：点F和点和点G之间的距离之间的距离约为约为2.1 mFGAG2健腹轮是一种可锻炼肌肉、关节、减轻体重的小型推动器，由于锻炼时所需要的场地简单，所以深受广大健身者的喜爱，如图1是健身爱好者小明在使用健腹轮锻炼时的准备阶段，其侧面示意图如图2，健腹轮 O的直径为15 cm，小明的身高为166 cm，下肢CD100 cm，头部AB22 cm，手臂长BO60 cm，CD与地面所夹锐角成70，手臂OB与水平面所夹锐角为80.(参考数据：sin800.98，cos800.17，sin700.94，cos700.3
25、4)(1)求此时小明的臀部C点到地面的距离；(2)求此时小明的头部A点到地面的距离解：解：(1)如答图，过点如答图，过点C作作CEDE于点于点E，在在RtCDE中，中，sin70 ，CECDsin 701000.9494(cm)答：此时小明的臀答：此时小明的臀部部C点到地面的距离为点到地面的距离为94 cm.(2)如答图，过点如答图，过点A作作AMCE于点于点M，过点，过点O作作ONCE于点于点N，过点，过点B作作BGON分别交分别交AM，ON于点于点F，G.在在RtBOG中，中，BGOBsin 80600.9858.8(cm)BFCM，ABFACM，CECD .AB22 cm，AC16610066(cm)，CM3BF.FBFGBG58.8 cm，NE7.5(cm)，CMMNCENE947.586.5(cm)，58.8BF86.53BF，BF13.85 cm，MC3BF41.55 cm，ME9441.5552.45(cm)答：此时答：此时小明的头部小明的头部A点到地面的距离为点到地面的距离为52.45 cm.BFCMABACBFCMABAC13
