1、五四五四 边边 形形第第2323课时课时平行四边形平行四边形1.掌握平行四边形的概念,探索并证明平行四边形的性质、判定定 理,会用其性质和判定定理进行有关的计算和证明.2.理解三角形中位线的概念及性质,并用它们去解决线段平行和长 度的问题.知识点知识点1 1平行四边形的概念及性质平行四边形的概念及性质1.概念:两组对边分别的四边形叫做平行四边形.2.性质:平行 平行四边形平行四边形(1)对边平行且ABCD,ADBC,AB=CD,AD=BC(2)对角DAB=BCD,ABC=ADC(3)邻角互补DAB+ABC=180,DAB+ADC=180,ABC+BCD=180,BCD+ADC=180相等相等(
2、4)对角线互相AO=CO,DO=BO(平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形)(5)平行四边形是中心对称图形,是它的对称中心(6)面积:S=底高=ABDE同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等平分对角线交点知识点知识点2 2平行四边形的平行四边形的判定判定知识点知识点3 3中位线定义及性质中位线定义及性质1.三角形的中位线:连接三角形 的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线的性质:三角形的中位线 三角形的第三条边,且等于 .边边两组对边分别的四边形是平行四边形 两组对边分别的四边形是平行四边形 一组对边平行且的四边形是平行四边形 对角线对角线对角线互相的四边形是平
3、行四边形 平行相等相等平分两边中点平行于第三条边的一半考点一平行四边形的性质考点一平行四边形的性质例例1 1(2022湘潭)在 ABCD中(如图),连接AC.已知BAC=40,ACB=80,则BCD的度数为 ()A.80 B.100 C.120 D.140 非常点评非常点评 平行四边形对边平行,结合平行线的性质是解决与求角度相关问题的重要工具.四边形ABCD是平行四边形,BAC=40,ABCD.ACD=BAC=40.ACB=80,BCD=ACB+ACD=120.故选C.例1图例例2 2(2022梧州)如图,在 ABCD中,E,G,H,F分别是AB,BC,CD,DA上的点,且BE=DH,AF=C
4、G.求证:EF=HG.思路点拨思路点拨 由平行四边形的性质得出AB=CD,A=C,再结合题中条件证明AEFCHG,从而证得结论.非常点评非常点评 本题考查了平行四边形的性质,平行四边形的对边相等、对角相等为全等三角形提供了必要的条件.考点二平行四边形的性质与判定的综合应用考点二平行四边形的性质与判定的综合应用例例3 3(2022内江)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.求证:(1)ABECDF;(2)四边形AECF是平行四边形.思路点拨思路点拨 (1)根据平行四边形的性质得到AB=CD,ABCD,进而得到ABE=CDF,利用“SAS”证得结论;(2)由(1),知ABEC
5、DF,可得AE=CF,AEB=CFD,再证AECF,从而可得四边形AECF是平行四边形.方法归纳方法归纳 判定一个四边形是平行四边形的三种途径判定一个四边形是平行四边形的三种途径 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.考点三三角形的中位线考点三三角形的中位线例例4 4(2022沈阳)如图,在RtABC中,C=90,A=30,D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则CED的度数是 ()A.70 B.60 C.30 D
6、.20 非常点评非常点评 (1)三角形的中位线体现了线段间的位置关系与数量关系,一般求角度时运用位置关系解题,求线段长度时运用数量关系解题;(2)当题目涉及中点时就要想到三角形的中位线定理.在RtABC中,C=90,A=30,B=90-A=60.D,E分别是边AC,BC的中点,DE是ABC的中位线.DEAB.CED=B=60.故选B.1.(2022广东)如图,在 ABCD中,一定正确的是 ()A.AD=CDB.AC=BD C.AB=CDD.CD=BC2.(2022河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 ()CD3.(2022眉山)在ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别为
7、边AB,AC,BC 的中点,则DEF的周长为 ()A.9 B.12 C.14 D.164.(2022嘉兴)如图,在ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC 上,EFAC,GFAB,则四边形AEFG的周长是 ()A.32 B.24 C.16 D.8AC5.(2022邵阳)如图,在等腰三角形ABC中,A=120,顶点B在 ODEF的 边DE上.若1=40,则2=.6.(2022梧州)如图,在ABC中,ACB=90,D,E分别是边AB,AC的中 点,连接CD,DE.如果AB=5m,BC=3m,那么CD+DE的长是m.1104108.(2022宿迁)如图,在 ABCD中,E,F分
8、别是边AB,CD的中点.求证:AF=CE.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.E,F分别是边AB,CD的中点,AE=BE=CF=DF.四边形AECF是平行四边形.AF=CE第8题9.(2022株洲)如图,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE,并延长CE交BA 的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.(1)求证:AEFDEC;(2)若ADBC,求证:四边形ABCD为平行四边形.第9题10.(2022扬州)如图,在 ABCD中,BE,DG分别平分ABC,ADC,交AC于点E,G.(1)求证:BEDG,BE=DG.(2)过点E作EFAB,垂足为F.若 ABCD的周长为56,EF
9、=6,求ABC的面积.第10题第第2424课时课时矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形1.理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和 从属关系.2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理及它们的判定定理,会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理.知识知识点点1 1矩形的性质和矩形的性质和判定判定1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形.2.性质:(1)边:对边平行且相等,即ABCD,ADBC,AB=CD,AD=BC;(2)角:四个角都是,即ABC=BCD=CDA=DAB=90;(3)对角线:对角线 ,即AC=BD,OA=OC=OB=OD;(4)对称性:既是 对称图形,又是 对
10、称图形,有条对称轴.直角相等且互相平分中心轴23.判定:(1)有一个角是的平行四边形是矩形(定义);(2)有是直角的四边形是矩形;(3)对角线的平行四边形是矩形.4.周长、面积计算:C=2(a+b),S=ab(ab,a,b分别为矩形的长和宽).直角三个角相等知识点知识点2 2菱形的性质和菱形的性质和判定判定1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.2.性质:(1)边:四条边都,即AB=BC=CD=AD;对边平行,即ABCD,ADBC.(2)角:对角相等,即DAB=DCB,ADC=ABC.(3)对角线:对角线 ,并且每一条对角线平分 ,即ACBD,OA=OC,OD=OB,AC平分DAB与BCD
11、,BD平分ABC与ADC.(4)对称性:既是 对称图形,又是 对称图形,有条对称轴.相等互相垂直且平分一组对角中心轴2相等相等互相垂直知识点知识点3 3正方形的性质和正方形的性质和判定判定1.定义:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫正方形.2.性质:(1)边:四条边都,即AB=BC=CD=AD;对边平行,即ABCD,ADBC.(2)角:四个角都是,即ABC=BCD=CDA=DAB=90.(3)对角线:对角线互相垂直平分且,每一条对角线都平分(对角线与边的夹角为45),即ACBD,AC平分BD,BD平分AC,AC=BD,DAC=CAB=DCA=ACB=45,ADB=BDC=ABD=DBC
12、=45.(4)对称性:既是 对称图形,又是 对称图形,有条对称轴.相等直角相等一组对角中心轴4直角相等相等直角相等且互相垂直相等且互相垂直平分知识点知识点4 4平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系中点四边形:对角线互相平分的四边形的中点四边形是平行四边形;对角线互相平分且相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形的中点四边形是正方形.例例2 2(2022云南)如图,在 ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE,与CD的延长线交于点F,连接AF,BDF=90.(1)求证:
13、四边形ABDF是矩形;(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积.思路点拨思路点拨 (1)已知BDF=90,只要再证明四边形ABDF是平行四边形即可;(2)由(1),知四边形ABDF是矩形,由条件易知矩形ABDF的面积,因此只要求出BCD的面积即可.非常点评非常点评 在证明一个四边形是矩形时,若题设与这个四边形的对角线有关,通常先证明这个四边形是平行四边形,再证明其对角线相等.若题设与角度有关,通常考虑用矩形的定义或者依据“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明(若容易证出有三个直角,则用后者证明;若容易证出有一个直角,则用前者证明).考点二菱形的性质和判定考点二菱形的性质和判定例例3
14、3(2021连云港)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OEAD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为.思路点拨思路点拨 根据菱形的性质和勾股定理,可以求得AD的长,再根据等面积法即可求得OE的长.非常点评非常点评 利用菱形的性质可证得线段相等、角相等、对角线互相垂直平分,从而借助勾股定理解决与线段长度有关的问题.另外菱形的面积等于对角线乘积的一半,利用等面积法也可解决该类问题.例3图例例4 4(2022郴州)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形.思路点拨思路点拨 由四边形ABCD是菱形,
15、AE=CF,可证得ADEABECBFCDF,从而由菱形的定义证得四边形DEBF是菱形.方法归纳方法归纳 判定一个四边形是菱形的三种证明思路判定一个四边形是菱形的三种证明思路 一是先证明四边形是平行四边形,再证明一组邻边相等;二是先证明四边形是平行四边形,再证明对角线互相垂直;三是证明四条边都相等.解题时要灵活选用判定方法进行证明.考点三正方形的性质和判定考点三正方形的性质和判定例例5 5(2022无锡)如图,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG=.思路点拨思路点拨 连接AG,EG,由HG垂直平分AE可知AG=EG,从而可利用勾股定理构造
16、方程求解.如图,连接AG,EG.四边形ABCD为正方形,B=C=90,BC=CD=8.E是CD的中点,DE=CE=4.设CG=x,则BG=8-x.HG垂直平分AE,AG=EG.在RtABG和RtGCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7.CG=7.BG=BC-CG=8-7=1.非常点评非常点评 由正方形可知与边、角、对角线有关的结论,这些结论同学们必须记牢,同时这些结论又服务于全等三角形的判定,还可以利用勾股定理求线段长或构造方程.例例6 6(2022邵阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且
17、BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.思路点拨思路点拨 本题可先证明四边形AECF是菱形,再证明EF=AC,即可证得结论.四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD.BE=DF,OB-BE=OD-DF.OE=OF.四边形AECF是菱形.OE=OA,OE=OF=OA=OC.EF=AC.四边形AECF是正方形.方法归纳方法归纳 判定判定一个四边形是正方形的三种方法一个四边形是正方形的三种方法 一是有一个角是直角的菱形是正方形;二是有一组邻边相等的矩形是正方形;三是对角线相等的菱形是正方形.1.(2022陕西)下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是 ()A.AB=ADB
18、.ACBD C.AB=ACD.AC=BD2.(2022自贡)如图,菱形ABCD的两条对角线的交点与坐标原点O重合,点A的坐标为(-2,5),则点C的坐标为 ()A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)DBB488607.(2022泰州)如图,线段DE与AF分别为ABC的中位线与中线.(1)求证:AF与DE互相平分.(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形?请说明理由.8.(2022广元)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AC平分DAB,AB=2CD,E为AB的中点,连接CE.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若D=120,DC=2,求ABC的面积.
