1、高三:三角函数专题目录5.2 三角恒等变换15.2 三角恒等变换【课前诊断】成绩(满分10): 完成情况: 优/中/差 1化简:(1);(2)2求值:(1) (2)3 已知,且,求的值4在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称若,则5已知,则【知识点一】两角和与差的运算公式一、两角和与差的余弦公式;不妨令如图55-1,设单位圆与轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角,它们的终边分别与单位圆相交于点连,若把扇形绕点旋转角,则点分别与点,重合,根据圆的旋转对称性可知,与重合,从而,所以根据两点间的距离公式,得: 化简得:当时,容易证明上式仍然成立所以,对于任意角有:二、两角和
2、差的正弦公式;证明:由诱导公式可以得到:再把换成可以得到:三、 两角和与差的正切公式;【思考1】如何得到利用已知的正弦与余弦公式得到正切公式?【思考2】可以利用两角和差公式证明诱导公式吗?四、两角和与差的正切公式的变形1. 的变形:;2. 的变形:;考点一:公式的应用、化简例1.(1)的值是( )(A)0(B)(C)(D)(2) 的值等于练1.求下列各式的值(1)(2)练2.,则( )(A)(B)(C)(D)练3.求下列各式的值:(1); (2)考点二:给定角的范围,利用公式求目标角度值例1.已知,是第二象限角,求的值练1.求下列各式的值(1)已知都是锐角,求(2)已知求练2.(1)已知,则的
3、值是(A)(B)(C)(D)(2)已知,又,则( )(A)(B)或(C)(D)或练3.(1)已知,则(A)(B)(C)(D)(2)已知,则(3)已知是方程的根,且,则练4.若,则考点三:利用公式,判断三角形形状例1.在中,若,则的形状是(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形例2.在中,若,则的形状是(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)不确定练1.在锐角三角形ABC中,若,则的值是(A)大于1(B)小于1(C)可能等于1(D)与1的关系不能确定【知识点二】倍角公式与半角公式一、倍角公式【思考】二倍角公式本质上是哪个公式的特殊形式?二、半角公式形式一:形
4、式二:【典型例题】例1.已知的值为A.B.C.D.练1._;例2. 设则A. B. C. D. 练1.已知,那么的值为( )A.B.C.D.例3.(1)已知:,且,求(2)已知,求的值练1.求下列各式的值(1)已知,求(2)已知,为第三象限角,求练2.若,求的值例4.已知,(1)求的值;(2)求的值练1.,则【知识点三】辅助角公式(其中()为坐标系中的点)证明:令我们可得到:【典型例题】考点一:利用辅助角公式化简函数例1. 求值:练1:化简函数(1) (2)(3)考点二: 辅助角为特殊角,求函数的单调区间、对称中心、对称轴等例1.若,且为锐角,求练1.若,求满足条件的的集合例2. 函数的单调递
5、增区间是练1.分别求函数的最值和单调增区间例3.求函数的对称轴与对称中心练1求函数的对称轴与对称中心考点三: 辅助角为非特殊角时,求函数的最值例1.求函数的最大值与最小值练习.求函数的最大值与最小值【小试牛刀】1已知,则_2求函数的对称轴与对称中心3化简:(1);(2);(3);(4)4已知函数(1)求它的递减区间;(2)求函数的最大值和最小值5已知,求的值6已知,求的值7已知,求的值8已知,求证:9设,则的大小关系是10函数的最大值是( )A. B.C.D.【巩固练习基础篇】1的值为_2化简,其中为第二象限角3已知,则值为 4已知,且(1)求的值;(2)求的值5在ABC中,则等于()(A)(B)(C)(D)6. 求值:7.化简函数【巩固练习提高篇】1已知,且为相邻象限的角,求和的值2设为第二象限角,若,则 3已知均为锐角,且,则4如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,求:(1)的值;(2)的大小5求值6在斜三角形中,求证:7是否存在锐角和,使(1);(2)同时成立?若存在,求出和的值;若不存在,请说明理由8观察以下各等式:,分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明你能利用所给图形,证明下列两个等式吗?;.阳光总在风雨后!