1、高二：立体几何专题讲义目录1.1空间几何体21.2空间中的平行关系291.3 空间中的垂直关系601.1空间几何体【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1.下列说法中正确的是（）A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱的长叫作棱柱的高D棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【知识点一:空间几何体与斜二测画法】一、多面体（1）定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。（2）组成元素：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。二、旋转体一般地，由一个平面
2、图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。圆柱、圆锥、圆台、球等都属于旋转体。三、简单组合体（1）定义由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体。简单组合体的构成有两种基本形式一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。多面体或两个以上的多面体组在。图a是由一个四棱柱挖去一个三棱柱而得到的。多面体与旋转体的组合体由多面体与旋转体组合而成。图b是由一个三棱柱挖去一个圆柱而得到的。旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组成。图c是由一个球和一个圆柱组合而成的。四、斜二测画法1、直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图2、斜二
3、测画法在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，再作轴，使，（三维空间中）画直观图时，把画成对应的轴，使或，所确定的平面表示水平平面（二维平面上）已知图形中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或轴的线段并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图【典型例题】考点一：空间几何体例1以下结论不正确的是(A)平面上一定有直线(B)平面上一定有曲线(C)曲面上一定无直线(D)曲面上一定有曲线例2直线
4、绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转到可以形成(A)平面(B)曲面(C)直线(D)锥面例3下列关于长方形的说法中，正确的是.(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体可以看作一个水平放置的矩形上各点沿铅垂方向上移动相同的距离到矩形所形成的几何体；(3)长方体一个面上任意一点到对面的距离相等.考点二：斜二测画法例1利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（A）（B）（C）（D）例2如果水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（A）（B
5、）（C）（D）例3已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为（A）（B）（C）（D）练1斜二测画法所得的直观图的多边形面积为，那么原图多边形面积是_练2如图所示的直观图表示的平面图形为（A）等腰直角三角形（B）锐角三角形（C）非等腰直角三角形（D）不能确定【知识点二:构成空间几何体的基本元素】一、构成几何体的基本元素：点、线、面1几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名；2几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母或用直线上两个点表示；一条直线把平面分成两个部分3几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延
6、展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；4平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，平面或平面；一个平面将空间分成两个部分5用运动的观点理解空间基本图形间的关系：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体二、空间中的点与直线、直线与直线的位置关系1、空间中的直线可看成是这条直线上所有点组成的集合，所以可以用集合符号来表示空间中的点与直线、直线与直线的位置关系2、空间中的两直线的位置关系有：共面：平行，相交；异面三、空
7、间中直线与平面、平面与平面的位置关系1、 空间中直线与平面的位置关系有：线在面内；线在面外：相交和平行2、 平面与平面的位置关系：平行与相交【典型例题】例1空间中构成几何体的基本元素是.例2在空间中，下列说法正确的是(A)一个点运动一定形成直线(B)直线平行移动形成平面或曲线(C)直线绕顶点运动形成锥面(D)矩形上各点沿同一个方向移动形成长方体例3下面说法中正确的是(A)任何一个平面图形都是一个平面(B)平静的太平洋是平面(C)平面就是平行四边形(D)在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面练习1对于任意的直线与平面，在平面内必有直线与（）A平行B.相交C.垂直D.互为异面直
8、线练习2若是两条异面直线外的任意一点，则（）过点有且仅有一条直线与都平行过点有且仅有一条直线与都垂直过点有且仅有一条直线与都相交过点有且仅有一条直线与都异面【知识点三:多面体与棱柱】一、多面体（1）定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。（2）组成元素：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。二、棱柱的定义与性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形
9、过不相邻两侧棱的截面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形【典型例题】例1下列命题中，正确的是（A）有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱（B）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面（C）棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形（D）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形例2一个棱柱为正四棱柱的条件是(A)底面是正多边形，侧棱垂直于底面(B)底面是正方形，有两个侧面是矩形(C)底面是菱形，且有一个顶点处的侧棱垂直底面(D)各个侧面是全等的矩形例3若长方体的三条棱长为3,4,5，则长方体的体对角线的长是（A）5（B）（C）
10、（D）10例4底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为4，它的对角线长分别是12和16，则这个棱柱的侧面积是（）AB.C.D.例5长方体中，一只小虫从点沿长方体的表面爬到点，求小虫经过的最短距离练习1一个长方形的长、宽、高之比为，全面积为,则它的体积为_练习2已知集合正方形，B长方形，C正四棱柱，D直四棱柱，E棱柱。F直平行六面体，则（）AB.C.D.它们之间不都存在包含关系【知识点四：棱锥与棱台】一、棱锥、棱台的定义与性质名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，顶点在过底面中心且垂直于底面的直线上的棱锥用一个平行于棱锥底
11、面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得正棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形（注：各侧面三角形的高叫做正棱锥的斜高）梯形全等的等腰梯形（注：各侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜高）过不相邻两条侧棱的截面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底面的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形【典型例题】例1下列命题正确的是（A）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱（B）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱（C）有两个面平行，其余各面都是四边形，并且
12、每相邻两个四边形的公共边都是互相平行的几何体叫棱柱（D）用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台例2判断下列问题的正误（1）底面是正方形的棱锥一定是正棱锥（2）四条侧棱都相等的四棱锥是正四棱锥（3）每个侧面都为等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（4）正棱锥的侧面可以都为正三角形例3下列概念判断正确的是(A)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱(B)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形(C)有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台(D)有一个面是多边形，其它的面都是三角形的多面体是棱锥例4点是棱长为的正方体棱上的动点，则四棱锥的体积为。例5正三棱台上、下底面边
13、长为1、3，侧棱长为2，求它的高和斜高.练习1以下关于正棱锥的叙述不正确的是(A)正棱锥的高与底面的交点是底面的中心(B)正四棱锥的各侧面都是锐角三角形(C)正棱锥的各侧面都是等腰三角形(D)底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥练习2若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）三棱锥四棱锥五棱锥六棱锥【知识点五:旋转体】一、旋转体定义一般地，由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。圆柱、圆锥、圆台、球等都属于旋转体。二、旋转体的结构特征1旋转体的表示及性质名称圆柱圆锥圆台球图形定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成
14、的旋转体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球表示圆柱圆锥圆台球底面平行且全等的两个圆面圆面相似的两个圆面无轴线过底面圆心且垂直于底面过顶点和底面圆的圆心且垂直于底面过上、下底面圆的圆心且垂直于底面过球心母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点无轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形大圆平行于底面的截面与底面全等的圆圆圆无侧面展开图矩形扇形扇环无母线与底面圆的直径相等的圆柱、圆锥分别称为等边圆
15、柱、等边圆锥2球的性质（1）球的截面性质用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：1）球心和截面圆心的连线垂直于截面（如图）。2）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系：当时，截面过球心，此时截面面积最大。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。当时，平面与球相切。当时，平面截球面所得的圆叫做小圆（不过球心的平面截球面所得的圆）。（2）球面的距离在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧（小于半圆的弧）的长度，这个弧长叫做两点的球面距离。球面上的两点间的球面距离，必须是在球面过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，不能在过此两点的球的小圆中求。由于
16、球是旋转体，而旋转体又是轴对称的几何体，因此在解题时，常利用球的轴截面图形来研究问题，从而将空间问题转化为平面问题。熟练掌握球的截面中大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球的问题的关键。3.简单几何体中几个特殊截面和常见的截面（1）中截面：过几何体高的中点且垂直于高的截面。直截面：垂直于侧棱的截面。对角截面：过不相邻两侧棱的截面。轴截面：过圆柱、圆锥、圆台的轴的截面。（2）正方体的截面有三角形、四边形（有菱形、矩形、梯形等）、五边形、六边形。（3）正棱柱中过两底面中心的截面是矩形；正棱锥中过顶点与底面中心的截面是三角形；正棱台中过上、下底面中心的截面是梯形。4.圆柱
17、、圆锥、圆台的截面：轴截面过两母线的截面平行于底面的截面【典型例题】考点一：旋转体的定义例1.下列命题中正确的是(A)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥(B)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体(C)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台(D)通过圆台侧面上一点，有无数条母线例2.一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为练1.下列命题中，错误的是（A）圆柱的轴截面一定是过母线的截面中面积最大的一个（B）圆锥的轴截面一定是所有过顶点的截面中面积最大的一个（C）圆台的所有平行于底面的截面都是圆面（D）圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形练2.若一个圆锥的侧面展开图是半
18、径为3的半圆，则此圆锥的高为考点二：旋转体的结构特征例1.球面上两点，在过的球的大圆上，的度数为，在过点的球的小圆上，的度数，又点两点间的距离为，求球心与小圆圆心的距离为例2.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长练1.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于(A)(B)(C)(D)练2.半径为的球被两个平行平面所截，截得的截面的面积分别，则这两个平面的距离是练3.圆台的两底面面积分别为1和49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，则圆台的高被截面分成的两线段的比为（）（A）1:1（B）（C）1:2（D）1:3【知
19、识点六:祖暅原理与几何体体积】一、祖暅原理定义及性质1祖暅原理：幂势既同，则积不容异。这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等2应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等二、几何体的体积公式几何体公式代表量柱体柱体的底面面积为，高为锥体锥体的底面面积为，高为台体台体的上、下底面面积分别为、，高为球为球的半径【典型例题】考点一：几何体体积问题例1.已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是cm与cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的体
20、积与表面积例2.三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA，PB，PC.求三棱锥PABC的体积练1.一个正四棱台的斜高为cm，侧棱长为cm，侧面积为.cm2，求它的体积练2.已知正三棱锥PABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB，求此三棱锥的体积三、空间几何体的表面积与体积公式1.空间几何体的表面积公式名称图形公式圆柱；圆锥；圆台；球2.空间几何体的体积公式公式代表量柱体柱体的底面面积为，高为锥体锥体的底面面积为，高为台体台体的上、下底面面积分别为、，高为球为球的半径【巩固练习基础篇】1线段长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为，将沿铅垂线方向向下
21、移动3cm后记为，再将沿水平方向向左移4cm记为，依次连结构成长方体.该长方体的高为_;平面与面间的距离为_;A到面的距离为_.2圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）顶角为的等腰三角形（D）其他等腰三角形3作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（）（A）2:1（B）3:1（C）（D）4利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（）（A）（B）（C）（D）5下列命题：水平放置的正方形的直观图可能
22、是梯形；两条相交直线的直观图可能平行；互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.其中错误的有_.6.（2019春西城区期末）设三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且PAPBPC1，则三棱锥PABC的体积是【巩固练习提高篇】1、（2020-2021石景山区高二期末10）如图，P是边长为的正方体ABCDA1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若PBD的面积为，则的图象大致是ABCD2、设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3、如图，正方体棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面运动，且MEBD1，则动点
23、M的轨迹周长为（）A.62B.43C.42D.334、正三棱锥的高，斜高为求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？5、如图所示，正三棱锥的侧棱长为，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值6、已知如图，正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为1.2空间中的平行关系【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1.正四面体有几个面（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个2.在空间中，下列说法正确的是（A）一个点运动一定形成直线（B）直线平行移动形成平面或曲面（C）直线绕定点运动形成曲面（D）矩形上各点沿同一方向移动形成长
24、方体3.直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成（A）平面（B）曲面（C）直线（D）锥面【知识点一：平面的基本事实与推论】一、平面1.定义：平面内有无数个点，平面可以看成是空间点的集合。几何里平面是无限延展的。2.画法通常把水平的平面画成锐角，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示。如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2所示。3.表示法平面通常用一个希腊字母表示，如：平面、平面、平面等。用代表平面的平行四边表的四个顶点表示，如：平面（如图1）。用相对顶点的两个大英文字母来表示，如：平面或平面（如图2）。二、平面的三个公理公理1公理2公理3自然语言
25、如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线图形语言符号语言三点不共线有且只有一个平面，使且主要应用（1）检验平面；（2）判定直线是否在平面内；（3）点是否在平面内（1）确定平面；（2）可用其证明点、线共面问题（1）它是判定两个不重合的平面是否相交的依据，只要两个不重合的平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；（2）它可以判定点在直线上，即点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上三、点、线、面位置关系的符号语言与数学语言符号语
26、言表示数学语言表示点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内（或平面过直线）直线、相交于点平面、相交于直线【典型例题】考点一：三点共线例1.已知在平面外，如图所示求证：三点共线练1.如图所示，与分别在平面的两侧，.求证：三点共线考点二：线交与一点例1.在四面体中，分别为的中点，在上，在上，且有，求证：交于一点练1.如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点求证：三线交于一点考点三：点共面例1.如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是练1.正方体中，分别是的中点，求证：这六点共面练2.如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，分别为的中点()求证：四边形是平行
27、四边形；()四点是否共面？为什么？方法总结：1、点线共面证明问题：结论是几个点或几条直线在同一个平面内的问题.主要依据常用方法操作方法（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（公理1）；（2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2），及其推论.（1）先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内，这种方法通常称为落入法；（2）经有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.这种方法称为重合法；（3）反证法.证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点），确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内；(2)证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行
28、）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.2、点共线、线共点的证明问题：问题剖析主要依据操作方法点共线问题：证明三个或是三个以上的点在同一个直线上；线共点问题：证明三条或是三条以上的直线交于一点如果两个平面有一个公共点，那么他们有且仅有一条直线经过这个点的公共直线（公理3）；.对于这个基本性质的进一步理解下面三点：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.（1）证明多点共线:通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上;根据已
29、知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上.（2）证明三点共线:可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上.可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证明这两点重合，从而得三点共线.【知识点二：空间两条直线的位置关系】一、两直线位置关系位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内有且只有一个交点平行在同一平面内没有交点异面不同在任何一个平面内没有交点二、异面直线所成角求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角
30、，一般的步骤是“作（找）证算”注意：异面直线所成角的范围是【典型例题】考点一：求解异面直线成角例1.如图是正方体的平面展开图在这个正方体中，与平行;与是异面直线;与成角;与垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是_练1.已知直线,分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件练2.如图24，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于_练3.如图，正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线与所成角的正切值_方法总结：求异面直线所成角的常用方法平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平
31、行对边、三角形的中位线进行平移【知识点三：直线和平面的位置关系】一、直线和平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点个数有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作。二、空间中的平行定义图形判定定理性质定理符号语言线面平行若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行判定性质【典型例题】考点一：线面平行的证明例1.在棱柱中，分别是棱的中点求证：平面练1.如图，在四棱锥中，所有侧
32、棱长与底面边长均相等，为的中点.求证：平面练2.如图在正方体中，是棱的中点.证明：平面；例2.在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点，求证：平面练1.如图，四棱锥的底面为正方形，底面,.分别为底边和侧棱的中点.求证：平面;练2.如图，矩形所在的平面，分别是的中点.求证：；考点二、线线平行的证明例1.如图，正方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.求证：练1.如图，在五面体中，四边形为菱形，且，对角线与相交于；平面，求证：练2.四棱锥，平面，.设平面平面，求证：；【知识点四:两个平面的位置关系】一、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交符号表示图形表示
33、两个平面平行没有公共点；两个平面相交有一条公共直线。二、两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理1如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面且三、线线平行、线面平行、面面平行间的关系由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）。【典型例题】考点一：面面平行的证明例1。如图，为所在平面外一点，分别为的重心求证：平面平面练1。已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面；【小试牛刀】1.如图所示，请你用符号表示以下各叙述：（1）点在直线上:_；（2）直线在平面内:_，点在平面内:_；（3）点不在平面内:_；直线不在平面
34、内:_.2.正方体中，分别是的中点，那么，正方体的过的截面图形是（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形3.如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面.设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由.4.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（A）与成角ABCDEF（B）与成角（C）与成角（D）与成角5.如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，又.求证：直线平面；6.如图，在四面体中，点分别是棱的中点。求证：平面；【巩固练习基础篇】1.下列说法正确的是（A）四边形是平面图形（B）有三个公共点的两个平面必重合（C）两两相交的三条直线必在同一个平面内（D）
35、三角形是平面图形2.下列四种叙述：空间四点共面,则其中必有三点共线；空间四点不共面,则其中任何三点不共线；空间四点中有三点共线,则此四点必共面；空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确说法的序号是（A）（B）（C）（D）3.下面判断中正确的是（A）任意三点确定一个平面（B）两条垂直的直线确定一个平面（C）一条直线和任一点确定一个平面（D）与一条直线相交的三条平行直线共面4.下列叙述：一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这个平面内;一条直线上有两个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内;若线段平面,则线段延长线上的任何一个点必在平面内;一条射线上有两点在同一个平面内,则这
36、条射线上所有的点都在这个平面内.其中正确的有_.5.三条直线两两平行,它们能确定_个平面.6.如图是一桌子放倒时的示意图，现有足够长的绳子，如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内？方法画在图上，判断的重要依据是什么？7.如图,在正方体中,是的中点,对角线与过的平面交于点,求证：在同一直线上.8.如图所示，已知A、B、C是平面外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交于P、Q、R三点.求证：P、Q、R三点共线.9.如图，梯形的两底分别为，且，求证：与的交点在上.10.已知是两条异面直线，那么与的位置关系_11.在正方体中直线与所成角大小为_【巩固练习提高篇】1、如图，在正方体
37、中，点分别是棱上的动点给出下面四个命题：直线与直线平行；若直线与直线共面，则直线与直线相交；直线到平面的距离为定值；直线与直线所成角的最大值是其中，真命题的个数是 A.1B.2C.3D.42、如图，在正方体中，分别为， 的中点，则异面直线与所成的角大小等于（）A B C D3、在正三棱锥中，则直线与平面所成角的大小为A.B.C.D.4、如图所示，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是_5、如图，在四棱锥中，底面是菱形，且侧面平面，点是的中点.求证：平面6、如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.ABCDNPM求证：平面7、如图，四边形为矩形，平面，为上
38、的点.AEBCDF求证：平面；8、如图，四棱锥的底面为菱形，是的中点求证:平面9如图，长方体中，为的中点，点，分别为棱，的中点（）求证：平面平面；10、如图，在正三棱柱中，分别是的中点（）求证：平面； （）求证：平面1.3 空间中的垂直关系【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1.在棱柱中，分别是棱的中点求证：平面2.如图，正方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.求证：3.已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面；【知识点一:直线与平面垂直】文字语言符号语言图形语言线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这
39、条直线与这个平面垂直.线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.考点一：线面垂直例1. 如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，又.求证：直线平面例2.如图，四边形与均为菱形，且求证：平面.例3. 如图，在底面是正三角形的三棱锥中，为的中点，（）求证：平面；例4.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，（）求证：平面；练1. 如图所示，在正方体中求证：练2.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且（）求证：平面；练3.如图，在三棱锥中，平面平面，,是中点，分别为，的中点求证：平面；考点二：线线垂直例1.如图，已知所在的平面，AB是的直径，是上一点，且，分别为中点。求证：；例2.已知三棱锥中，,，求证：例3.如图，由直三棱
