1、1、设、设是是的内心，的内心，是边是边上的一点，上的一点，是是延长线上一点，且满足延长线上一点，且满足 = . .设 设是是 到直线到直线的垂足，证明：的垂足，证明： =. . H E I BC A D 2 2、设、设、分别是分别是的外心和垂心，点的外心和垂心，点关于直线关于直线的对称点是的对称点是，点，点和点和点不在直不在直 线线的同侧，的同侧， 、 分别在分别在和和上， 满足上， 满足 = ， = ， 直线， 直线、 相交于点相交于点， 证明：， 证明： . . K F E P H O A B C 3 3、 设正设正的外接圆和内切圆分别是的外接圆和内切圆分别是、 ， 为为上一动点，上一动点
2、， 、 、 分别为分别为在在、 、 上的射影，圆上的射影，圆、分别与分别与、切于切于、且与且与内切（它们的圆内切（它们的圆 心与心与、分别在分别在、的异侧）的异侧）. .证明：圆证明：圆、两两外公切线的长度之两两外公切线的长度之 和是一个定值和是一个定值. . P1 P3 P2 C B A P 4 4、设设正正内接于内接于，、分别是分别是，上一点，使得上一点，使得 = ， = . . 为为 上的一点，上的一点， 于于， 交， 交于于， 作， 作 于于， 连接， 连接并交并交于于. .证明：证明： = . . T O S K D F E C B A P 5 5、设设、分别位于分别位于的的，边上，
3、边上，、交于交于，的外接圆交的外接圆交的外的外 接圆于点接圆于点、，的外接圆在的外接圆在处的切线交处的切线交于于、两点，设两点，设、分别为分别为、 的中点的中点. .证明：证明： =. . N Q P M D B C A E F 6 6、已知、已知的外心为的外心为，、分别是边分别是边、上的点，且满足上的点，且满足、 共圆，共圆，、共圆共圆. .以以为圆心为圆心，为半径的圆和为半径的圆和以以为圆心为圆心，为半径的圆的为半径的圆的 根轴为根轴为. .类似定义类似定义、. .证明：直线证明：直线、交出的三角形垂心与交出的三角形垂心与的垂心重合的垂心重合. . lc lbla H A B CO BC
4、A 7 7、设凸四边形设凸四边形顶点不共圆，记点顶点不共圆，记点在直线在直线、上的射影分别为上的射影分别为、， 其中其中、分别在分别在、内，内，在在的延长线上的延长线上. .记点记点在直线在直线、上的射影分别上的射影分别 为为、，其中，其中、分别在线段分别在线段、内，内，在在的延长线上，设的延长线上，设的垂心为的垂心为， 证明：证明：的中点在的中点在外接圆和外接圆和外接圆的根轴上外接圆的根轴上. . H X Y Z Q P R B C D A 8 8、在圆内接四边形、在圆内接四边形中中， ， ，、分别为分别为、的内心的内心. . 以以为直径的圆与线段为直径的圆与线段交于点交于点、 与、 与的延
5、长线交于点的延长线交于点. .证明： 若证明： 若、 、 、 四点共圆，四点共圆， 则点则点、关于直线关于直线对称对称. . 9 9、设、设的外接圆和内切圆的圆心分别为的外接圆和内切圆的圆心分别为、，点，点和点和点分别在边分别在边和和上，点上，点和和 点点分别在边分别在边上（上（在线段在线段上） ，且满足五边形上） ，且满足五边形的五条边长相等的五条边长相等. .记点记点为直线为直线 和和的交点，的交点，为为的角平分线的角平分线. .证明：证明：和和平行平行. . l S N P Q I O B C A M 1010、 设、 设的外心的外心为为， 重心为， 重心为， 过， 过作作的平行线并记该
6、直线关于的平行线并记该直线关于的对称直线为的对称直线为. . 类似定义类似定义、. . 证明：直线证明：直线、三线共点三线共点. . lb lc la G O B C A 1111、凸四边形、凸四边形中，中，、分别是线段分别是线段、上的点上的点. .若相交的线段若相交的线段 、把四边形把四边形分为分为 4 4 个四个对角线互相垂直的凸四边形个四个对角线互相垂直的凸四边形. .证明：证明：、四点四点 共圆共圆. . D C B P S Q R A 1212、不等腰三角形、不等腰三角形的外接圆为的外接圆为，内心为内心为，射线，射线与与交于交于，与，与交于除交于除以外的另以外的另 一点一点， 以，
7、以为直径的圆与为直径的圆与交于除交于除以外的另一点以外的另一点， 直线， 直线与与交于点交于点， 设， 设为为的的 中点，中点，、为为的外接圆与的外接圆与的外接圆的交点的外接圆的交点. .证明：证明：或或的中点在的中点在上上. . L2 L1 N S K M D I B A C 1313、在非等腰、在非等腰中，中，、分别为分别为、的中点的中点. .过过作作的内切圆的切的内切圆的切 线（不同于直线线（不同于直线） ，交直线） ，交直线于点于点. .类似定义类似定义和和. .证明：证明：、三点共线三点共线. . Y Z X E D F B C A 1414、圆外切四边形圆外切四边形的内切圆的内切圆
8、分别切分别切、于于、，为为上一点，上一点，、分分 别交别交于于、，与与交于交于. .证明：证明：在直线在直线上上. . L N M E F I A C B D K 1515、四边形、四边形内接于内接于，、的角平分线相交于点的角平分线相交于点，、的角平分线相交的角平分线相交 于点于点，直线，直线不经过点不经过点，且与边，且与边、的延长线分别交于点的延长线分别交于点、，与边，与边、分别交分别交 于点于点、. .线段线段、的中点分别为的中点分别为、. .证明：证明： . . N M Q S R P J I O B A C D 1616、 在圆内接四边形、 在圆内接四边形中，中， 、 分别是线段分别是
9、线段、 的中点， 对角线的中点， 对角线、 交于点交于点. . 是是 边边上的点，满足上的点，满足 = ( ) . .设 设在在上的投影是上的投影是，证明：，证明：的外接圆与的外接圆与的的 外接圆相切外接圆相切. . H N MP E A BC D 1717、圆内接四边形圆内接四边形的对角线相交于的对角线相交于，存在一个圆存在一个圆与与、的延长线切的延长线切 于点于点、. .过过、的圆的圆与圆与圆外切于外切于. .证明：证明： . . Z P T S X Y C B D A 1818、 对于平面上的凸四边形、 对于平面上的凸四边形， 设直线， 设直线交直线交直线于于， 交直线， 交直线于于，
10、交直线交直线于于， 交， 交 直线直线于于， 交直线交直线于于， 交直线， 交直线于于. .已知已知以上六点在以上六点在上按照上按照、 的的顺序排列顺序排列. .证明：以证明：以、为直径的三个圆共点为直径的三个圆共点. . Z X Y Z A B C D X Y 1919、设、设是三角形是三角形的外心，的外心，是是上一点，作与上一点，作与内切，与线段内切，与线段、相切的相切的； 作与作与内切， 与线段内切， 与线段、 相切的相切的. .证明： 若证明： 若、 、 、 四点共圆， 则四点共圆， 则是是三角形三角形中的中的 内旁切圆在内旁切圆在上的切点上的切点. . D C A B IJ 2020
11、、 设设与与交于交于、两点两点， 过， 过作两条割线作两条割线、 ， 过， 过作两条平行割线作两条平行割线、 ， 取取、 、 、 、 、 、 的九点圆圆心的九点圆圆心、 、 、 . .证明： 四边形证明： 四边形是是 矩形矩形. . F4 F3 F2 F1 D C B A D B Q P A C 2121、设设是四边形是四边形的内切圆的内切圆. . 、交于交于，、分别是分别是、的内心的内心， ，交于交于，是是在在上的射影上的射影. .证明：证明：、四点共圆四点共圆. . T K J I P C A B D 2222、设、设、分别是锐角三角形分别是锐角三角形的外的外接接圆圆心圆圆心，内的旁切圆圆
12、心和内的旁切圆圆心和内的旁内的旁 切圆圆心切圆圆心. .在在边上取点边上取点和和，使得，使得 =， ，在在边上取点边上取点和和，使，使 得得 =， ，直线，直线和和交于点交于点. .证明：证明： . . P F Y Z E IB IC O A B C 2323、四边形、四边形内接于内接于，、交于点交于点，直线，直线、交于点交于点. . 是是在在上的上的 射影，射影， 、 交于交于， 是是的中点，的中点， 是是关于关于的对称点，的对称点， 是是关于关于的对称点的对称点. . 分别交分别交于于，交，交于于. .证明：证明：的外接圆与的外接圆与的外接圆相切的外接圆相切. . Z Y K P M X
13、K P Q O A B C D 2424、对边不平行的凸四边形、对边不平行的凸四边形中，中，延长线与延长线与延长线交于点延长线交于点，延长线与延长线与延延 长线交于点长线交于点，是是的外接圆与的外接圆与的外接圆的交点的外接圆的交点( ). .设设、 、的外角平分线分别为的外角平分线分别为、，和和、和和、和和、和和分分 别交于点别交于点、. .的外接圆中，弧的外接圆中，弧（不含（不含）的中点为）的中点为，直线，直线与与的的 外接圆交于另一点外接圆交于另一点. .设设中垂线与中垂线与中垂线（不重合）交于点中垂线（不重合）交于点. .证明：证明：、四四 点共圆点共圆. . M P I G J H Q
14、 K F E B C A D 2525、设、设是是外接圆外接圆上任意一点，过上任意一点，过作作的切线的切线. .证明：证明：关于关于三边对称三边对称 的直线围的直线围成成的三角形的外接圆与的三角形的外接圆与相切相切. . B C A D 2626、 设、 设为为内一点，内一点， 在在、 上的射影分别为上的射影分别为、 、 . .、 、 分别在分别在、 上，上，、分别是分别是关于关于、关于关于，关于关于的对称点，点的对称点，点、关于关于的的 密克点为密克点为，点，点、关于关于的密克点为的密克点为. .证明：证明： = . . T X O U S Z Y W V A BC Y X Z 2727、点
15、、点、分别在分别在的边的边、上，满足上，满足 + = 、 + = 、 + = . . 、 、 、 、 的外接圆与的外接圆与外接圆的另一个交点分别为外接圆的另一个交点分别为、 、，是是、关于关于的密克点，证明：的密克点，证明：为为的垂心的垂心. . P C1 B1 A1 E F A BC D 2828、设、设、是锐角是锐角的外接圆的三条直径，的外接圆的三条直径，为为内任意一点，点内任意一点，点在在 、上的射影分别是上的射影分别是、，、分别是分别是关于关于、关于关于，关于关于的对的对 称点称点. .证明：证明：. . Z Y X C B A F E D A P B C 2929、设设是锐角是锐角的
16、外接圆的垂心，的外接圆的垂心，是外接圆弧是外接圆弧上一点，连接上一点，连接交弧交弧于于，弧，弧 上一点上一点满足直线满足直线平行于点平行于点关于关于的西姆松线，的西姆松线，设设为外接圆上一点满足为外接圆上一点满足 . .记弦记弦交边交边于点于点. .证明：证明： = . . J K M Q H A B C P 3030、设、设的内切圆的内切圆分别切分别切、于点于点、，延长，延长交交于于，、交交 于另外的点于另外的点、. .设设为为外接圆的另一个交点外接圆的另一个交点，外接圆与外接圆与的另一个交点为的另一个交点为 ， 在在上满足上满足 ， 连接， 连接、 交于交于， 直线， 直线与与的另一个交点
17、为的另一个交点为. .证明：证明： 是是 的直径的直径. . K Q P T S Y X J G F E D I A B C 3131、在、在中，内切圆中，内切圆分别切分别切、于点于点、，、分别是分别是、的中的中 点，点，、交于交于，与与的另一个交点为的另一个交点为. .证明：证明：在在的九点圆上的九点圆上. . J S N M E F D I A B C 3232、过、过内心内心任作一直线任作一直线，内切圆分别切，内切圆分别切、于点于点、，边，边、 的中点分别为的中点分别为、，直线，直线分别交分别交外接圆、外接圆、外接圆、外接圆、外接圆于另外接圆于另 一点一点、，过点，过点、分别作平行于分别
18、作平行于、的直线的直线、. .证明：直线证明：直线 、交于一点交于一点. . F E D D FE Z Y X I A B C 3333、已知、已知的外接圆为的外接圆为，为点为点在在上的对径点上的对径点. .作等边作等边，使得，使得、位位 于于的异侧，过点的异侧，过点作作的垂线的垂线，分别与分别与、交于交于、两点两点. .以以为底，作底角为为底，作底角为 的 的 等腰等腰，并使得，并使得、位于位于的异侧的异侧. .证明：证明：经过经过的九点圆圆心的九点圆圆心. . T E F D A A B C 3434、设、设的内切圆的内切圆与边与边、分别切于点分别切于点、，记，记、分别为分别为 的顶点的顶
19、点、 所对的旁切圆，所对的旁切圆， 、 分别为分别为， 的中点的中点， 若若、 与与交于点交于点、 ， 与与交于点交于点，与与的外接圆交于另一点的外接圆交于另一点，与与的外接圆交于另一点的外接圆交于另一点. . 证明：证明：、三线共点三线共点. . M K Y X J Q P F E IB IC D I A B C 3535、已知凸四边形、已知凸四边形内两动点内两动点、满足满足 = = =. .证明：动证明：动 直线直线要么均经过一个定点，要么相互平行要么均经过一个定点，要么相互平行. . 3636、在凸四边形、在凸四边形中，中， = ， 、 、 分别为其内心、 外心、 垂心，分别为其内心、
20、外心、 垂心， 、分别在分别在、上上 使使 = ， + = . .记记为为与与交点，证明：交点，证明： = . . KE D O H I A B C 4040、 在锐角、 在锐角中，中， ， 设， 设为其外接圆为其外接圆， 为垂心，为垂心， 为由顶点为由顶点处所引高的垂足，处所引高的垂足， 为边为边的中点的中点. .、为圆为圆上的点上的点，使得使得 = = . .若点 若点、互互 不相同，且按此顺序排列在不相同，且按此顺序排列在上上，证明：，证明：的外接圆与的外接圆与的外接圆相切的外接圆相切. . K Q F H M A BC 4141、 设、 设内接于内接于， 过， 过作作的切线交的切线交于
21、于， 为为的重心， 直线的重心， 直线分别交分别交、 于于、，交交于于，证明：，证明：平分平分. . K F E G T O A B C 4242、在凸四边形、在凸四边形中，中， ，和和分别是分别是和和的内切圆的内切圆. .已知存在一已知存在一 个圆个圆与射线与射线相切（切点不在线段相切（切点不在线段上） ，与射线上） ，与射线相切（切点不在线段相切（切点不在线段上） ，且与上） ，且与 直线直线和直线和直线都相切都相切. .证明：圆证明：圆和和的两条外公切线的交点在圆的两条外公切线的交点在圆上上. . C B D A 4343、 为为内一点，内一点， 、 、 分别为边分别为边、 、 的中点，
22、 且的中点， 且 = . .延长延长、 、 分别交分别交的外接圆于点的外接圆于点、 、 . .证明： 证明： 、 、 、 、 、 、 、的外接圆圆心六点共圆的外接圆圆心六点共圆. . F E D P NM L B C A 4444、给定、给定，求线段，求线段上满足下列条件的所有点上满足下列条件的所有点：如果：如果、是直线是直线与与、 外接圆的两条外公切线的交点，则外接圆的两条外公切线的交点，则( ) + = . . Y X BC A P 4545、 在凸四边形、 在凸四边形中， 中， = = ， ， 是是在在上的射影， 边上的射影， 边上的上的和边和边上上 的的使使在在内部， 内部， = ，
23、， = ， 证明： 直线 ， 证明： 直线和和的的 外接圆相切外接圆相切. . H C A B D S T 4646、 在、 在中， 中， 、 、 分别为其外接圆与内切圆， 分别为其外接圆与内切圆， 与与切于点切于点， 为为中点，中点， 与与 关于点关于点对称， 直线对称， 直线交交于异于点于异于点的一点的一点， 证明： ， 证明： 的外接圆与直线的外接圆与直线相切相切. . X A0 M D I O A BC 4747、已知、已知是凸四边形是凸四边形的边的边上的一点，上的一点，是是的内切圆，的内切圆，为其圆心，若为其圆心，若分分 别与别与以及以及的内切圆切于点的内切圆切于点和和，与与交于点交
24、于点，、交于点交于点. .证明：证明： 、共线共线. . F E B A L K I D P C 4848、在锐角、在锐角中，中，、分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径. .圆圆与与内切内切 于点于点且与且与外切； 圆外切； 圆与与内切于点内切于点且与且与内切内切. .设设和和分别是分别是和和的圆心的圆心. .同样定同样定 义义和和、和和. .证明：证明：8 8 A BC PA QA PB QB PC QC 4949、 已知、 已知的垂心为的垂心为， 外心为， 外心为， 设， 设、关于关于、 、 的对称点分别为的对称点分别为、 、 . . 证明：证明：、
25、共线当且仅当共线当且仅当 = ，其中，其中为为外接圆半径外接圆半径. . F E D H O A B C 5050、设、设是一个固定的角，是一个固定的角，、分别是射线分别是射线、上的动点，上的动点，内有一动点内有一动点满满 足足、的长度都保持不变的长度都保持不变. .求求面积的最小值面积的最小值. . A BC P X Y 51、 设、 设的内切圆的内切圆分别切分别切、 、 于于、， 为平面上一点，为平面上一点， 交交于于， 交交于于， 交交于于. . 切切于于， 切切于于， 切切于于. .证明：证明： 、 、 三三 线共点线共点. . U VW L MN D E F I A B C K 52
26、52、设设内接于内接于，为弧为弧的中点，的中点，为为中中内的旁切圆圆心内的旁切圆圆心，交交 于于，、分别为分别为、上一点，使得上一点，使得 = ，且，且、共线，作共线，作外接外接 圆圆，直线，直线交交于于、两点，证明：两点，证明： = . . F E P N M T J K O A BC 5353、设设内接于内接于，为为的垂心，的垂心，为为上一点，使得上一点，使得 = ， ，线段线段中中 垂线交垂线交、于于、，为为外心，外心，为为上一点，使得上一点，使得 = ， ，过过、分别作分别作 的切线相交于的切线相交于. .证明：证明： = + . . T K P E F D H O A BC 5454
27、、设、设为为内内一点，一点，在在、上的射影分别为上的射影分别为、，外接圆外接圆交交 于另一点于另一点， 交交于另一点于另一点， 平面上一点， 平面上一点使得四边形使得四边形为平行四边形，为平行四边形， 为为 的垂心的垂心. .证明：证明：平分线段平分线段. . H J L G F E D A B C K 5555、与与外切于点外切于点，为两圆的外位似中心为两圆的外位似中心，过过的割线的割线、交两圆于交两圆于、和和 、. . 、分别为分别为、的中点的中点. .证明：证明： = . . N M C DB L O P Q A 5656、 设、 设内接于内接于， 内切内切于于， 分别切， 分别切、 于
28、于、两点，两点， 内切内切于于， 分， 分 别切别切、于于、两点，两点，、交于点交于点，为为内内心，证明：心，证明： . . L G N M F E I O A BC D 5757、 设、 设内接于内接于， 内的旁切圆为内的旁切圆为， 分别切， 分别切、 、 于于、， 于于，为为中点，以中点，以为直径作为直径作交交于于、两点，证明：两点，证明： =. . Q P M T F E D J O A B C 5858、设、设、是等腰是等腰底边底边上两点，上两点，满足满足= ，、是边是边上相异两点，上相异两点， 、分别是分别是、关于直线关于直线、的光路反射点，证明：的光路反射点，证明：、三三 点共线当且仅当点共线当且仅当、三点共线三点共线. . T Q S F E D2 A B C D1P 5959、已知、已知、是是凸四边形凸四边形内部两点，满足内部两点，满足 =， =， =. .证明：证明： + = . . Q A B C D P 6060、由、由的三边向外部作矩形的三边向外部作矩形，定义定义满足满足 ， . .类似定义类似定义、两点两点. .证明：证明：、三线共点三线共点. . A B C C1 B1 A1 A B C B2 C2 A2
