1、微专题微专题4中点问题模型中点问题模型第6章遇中点联想常见辅助线的作法遇中点联想常见辅助线的作法:(1)已知等腰三角形底边中点已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用可以考虑与顶点连接用“三线三线合一合一”.(2)倍长中线或类中线倍长中线或类中线(与中点有关的线段与中点有关的线段)构造全等三角形构造全等三角形.(3)多个中点或平行多个中点或平行+中点中点(中点在平行线上中点在平行线上)时时,常考虑构造常考虑构造三角形中位线三角形中位线.(4)已知直角三角形斜边中点已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线可以考虑构造斜边中线.1.已知等腰三角形底边中点已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶
2、点连接用可以考虑与顶点连接用“三线三线合一合一”考向突破考向突破【模型分析】【模型分析】等腰三角形中有底边中点时等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线常作底边的中线,利用等腰三角形利用等腰三角形“三线合一三线合一”的性质得到角相等的性质得到角相等,为解题创造为解题创造更多的条件更多的条件.当看见等腰三角形的时候当看见等腰三角形的时候,就应想到就应想到“边等、角等边等、角等、三线合一、三线合一”.如图如图,在在ABC中中,若若AB=AC.通常取底边通常取底边BC的中点的中点D.则则ADBC,且且AD平分平分BAC.事实上事实上,在在ABC中中:AB=AC;AD平分平分BAC;BD=CD,ADB
3、C.对于以对于以上四条语句上四条语句,任意选择两个作为条件任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论就可以推出另两条结论,即即“知二得二知二得二”.例例1如图如图,在在ABC中中,AB=AC=5,BC=6,D为为BC的中点的中点,DEAC于点于点E,求求DE的长度的长度.真题特训真题特训例例2已知已知RtABC中中,AC=BC,C=90,D为为AB边的中点边的中点,EDF=90,EDF绕绕D点旋转点旋转,它的两边分别交它的两边分别交AC,CB(或或它们的延长线它们的延长线)于于E,F.(1)当当EDF绕绕D点旋转到点旋转到DEAC于于E时时(如图如图1),则则SDEF,SCEF,SABC之间的
4、关系是之间的关系是:()()(2)当当EDF绕绕D点旋转到图点旋转到图2所示的位置时所示的位置时,(1)中的结论是否中的结论是否还成立还成立?若成立若成立,请给出证明请给出证明.(3)当当EDF绕绕D点旋转到图点旋转到图3所示的位置时所示的位置时,上述结论是否仍上述结论是否仍然成立然成立?若成立若成立,请给予证明请给予证明;若不成立若不成立,SDEF,SCEF,SABC又又有怎样的数量关系有怎样的数量关系?请写出你的猜想请写出你的猜想,不需要证明不需要证明.图图1图图2图图3图图1随堂测试随堂测试图图2练习练习1如图如图,在在ABC中中,AB=AC,D是是BC的中点的中点,AEDE,AFDF,
5、且且AE=AF.求证求证:EDB=FDC.练习练习2如图如图,在在ABC中中,D是是AB上一点上一点,AD=AC,AECD,垂垂足为点足为点E,F是是BC的中点的中点,若若BD=16,求求EF的长的长.2.倍长中线或类中线倍长中线或类中线(与中点有关的线段与中点有关的线段)构造全等三角形构造全等三角形【模型分析】【模型分析】如图如图,AD是是ABC的中线的中线,延长延长AD至点至点E,使使DE=AD,易证易证:ADC EDB(SAS).当遇见中线或者中点的时候当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线可以尝试倍长中线,构造全等构造全等三角形三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移目的是对已知条
6、件中的线段进行转移.例例3如图如图,在在ABC中中,AB=12,AC=20,求求BC边上中线边上中线AD的的范围范围.【解析】【解析】延长延长AD到到E,使使AD=DE,连接连接BE.AD是是ABC的中线的中线,BD=CD.在在ADC与与EDB中中,【名师点拨】【名师点拨】延长延长AD到到E,使使AD=DE,连接连接BE,推出推出ADC EDB,再用线段转化再用线段转化,根据三角形三边关系就可以根据三角形三边关系就可以求出求出AD的取值范围的取值范围.例例4如图如图,已知已知AB=24,ABBC于点于点B,ABAD于点于点A,AD=10,BC=20.若点若点E是是CD的中点的中点,问问:AE的
7、长是多少的长是多少?【解析】【解析】过过C作作CMDA交交DA的延长线于的延长线于M,作作CNAE交交AM于于N,则四边形则四边形ABCM是矩形是矩形.AM=BC=20,CM=AB=24.E为为CD的中点的中点,A为为DN的中点的中点,AN=AD=10.练习练习3如图如图,在在ABC中中,AD是是BC边上的中线边上的中线,E是是AD上一上一点点,延长延长BE交交AC于点于点F,AF=EF.求证求证:AC=BE.【解析】【解析】延长延长AD到点到点G,使使AD=DG,连接连接BG.在在ADC和和GDB中中,AD=DG,ADC=GDB,CD=BD,ADCGDB.AC=BG,CAD=G.AF=EF,
8、CAD=FEA.又又FEA=BEG,G=BEG.BG=BE.AC=BE.3.多个中点或平行多个中点或平行+中点中点(中点在平行线上中点在平行线上)时时,常考虑构造三常考虑构造三角形中位线角形中位线例例5如图如图,M是是ABC的边的边BC的中点的中点,AN平分平分BAC,BNAN于点于点N,且且AB=8,MN=3,BC=15,问问:AC的长是的长是多少多少?【解析】【解析】如图如图,延长线段延长线段BN交交AC于于E.AN平分平分BAC,BAN=EAN.又又AN=AN,ANB=ANE=90,ABN AEN.AE=AB=8,BN=NE.又又M是是ABC的边的边BC的中点的中点,CE=2MN=23=
9、6.AC=AE+EC=6+8=14.例例6(1)问题发现问题发现:如图如图1,等腰三角形等腰三角形ABC中中,BAC=90,点点E是边是边AB上任一上任一点点(不与点不与点A、B重合重合),过点过点E作作EFBC交交AC于点于点F,连接连接CE,点点M是是CE的中点的中点,连接连接AM,BF,则则AM,BF之间的数量关系是之间的数量关系是;(2)拓展探究拓展探究:如图如图2,将图将图1中的中的AEF绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转(090),(1)中的结论是否仍然成立中的结论是否仍然成立?若成立若成立,请证明请证明;若若不成立不成立,请举反例请举反例.图图1图图2【解析】【解析】如图如图1,图图
10、1图图2练习练习5如图如图,在在ABC中中,AE平分平分BAC,BEAE于点于点E,点点F是是BC的中点的中点.图图1图图2练习练习6如图如图,RtABC中中,分别以分别以AB,AC为斜边为斜边,向向ABC的的内侧作等腰内侧作等腰RtABE,RtACD,点点M是是BC的中点的中点,连接连接MD,ME.(1)若若AB=8,AC=4,求求DE的长的长;(2)求证求证:AB-AC=2DM.4.已知直角三角形斜边中点已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线可以考虑构造斜边中线例例7如图如图,在在RtABC中中,ACB=90,CD是是AB边上的中边上的中线线,且且CD=5,则则ABC的中位线的中位线EF的长是多少的长是多少?例例8如图如图,AE平分平分BAC,交交BC于点于点D,AEBE,垂足为垂足为E,过点过点E作作EFAC,交交AB于点于点F.求证求证:点点F是是AB的中点的中点.【解析】【解析】AE平分平分BAC,BAD=CAD.EFAC,FEA=CAD.BAD=FEA.FA=FE.AEBE,BEF+AEF=90.ABE+BAE=90,ABE=BEF.FB=FE.FB=FA,即点即点F是是AB的中点的中点.练习练习8如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,ABC=90,E,F分别是分别是AC,CD的中点的中点,AC=8,AD=6,BEF=90,求求BF的长的长.
