1、类型一数式规律型(2020,17/2019,18/2018,18/2017,19/2015,13/2014,16)题型精练1.2015安徽13题按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜测x,y,z满足的关系式为.答案 xy=z解析首先判断出这列数中,2的指数各项依次为1,2,3,5,8,13,从第三个数起,每个数都是前两数之和;然后根据同底数的幂相乘,底数不变,指数相加,可得这列数中的连续三个数满足xy=z,据此解答即可.2122=23,2223=25,2 325=28,2528=213,x,y,z满足的关系式为xy=z.2.201
2、9合肥包河区一模杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家,如图Z4-1是杨辉在公元1261年的著作详解九章算法里面的一张图,即“杨辉三角”,该图中有很多规律,请仔细观察,解答下列问题:(1)图中给出了七行数字,根据构成规律,第9行中从左边数第4个数是;(2)第n行中从左边数第2个数为;第n行中所有数字之和为.图Z4-1数学文化(1)图中给出了七行数字,根据构成规律,第9行中从左边数第4个数是;图Z4-1答案(1)56解析(1)第9行中从左边数第4个数为6+15+20+15=56.(2)第n行中从左边数第2个数为;第n行中所有数字之和为.图Z4-1答案(2)n-12n-1解析(2)设第n行第2个数
3、为an(n2,n为正整数),观察,发现规律:a2=1,a3=2,a4=3,a5=4,a6=5,an=n-1;第1行数字之和为1=20,第2行数字之和为2=21,第3行数字之和为4=22,第4行数字之和为8=23,第n行所有数字之和为2n-1.(1)完成第5个等式:-=;解:(1)46+1=52,911+1=102解:(2)(n-1)(n+1)+1=n2.证明:左边=n2-1+1=n2,右边=n2,左边=右边.图Z4-2规律探究将三角形数阵经两次旋转可得如图Z4-3所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第(n-1)行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置
4、上三个圆圈中数的和均为,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+n2)=.由此,12+22+32+n2=.图Z4-32n+11345类型二图形规律型(2016,18/2013,19/2012,17)例2 2013安徽18题我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图Z4-4所示的基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图、图图Z4-4(1)观察以上图形并完成下表:图形名称基本图的个数特征点的个数图17图212图317图4猜想:在图 中,特征点的个数为;(用含n的式子表示)225n+2(2)如图Z4-
5、5,将图 放在平面直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=,图 的对称中心的横坐标为.图Z4-5(2)如图Z4-5,将图 放在平面直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=,图 的对称中心的横坐标为.图Z4-5图Z4-6n3(n-1)3(n-2)3答案 解决问题1275 题型精练1.如图Z4-7,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1与y轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,正方形AnBnCnCn-1(n为大于1的整数)使得点A1,A2,A3,An在直线l上,点C1,C2,C3,Cn在x轴
6、正半轴上,请解决下列问题:(1)点A6的坐标是;点B6的坐标是;(2)点An的坐标是,正方形AnBnCnCn-1的面积是.图Z4-7(1)点A6的坐标是;点B6的坐标是;图Z4-7答案(1)(25-1,25),(26-1,25)解析(1)由题意可得正方形A1B1C1O的边长为1,正方形A2B2C2C1的边长为2,正方形A3B3C3C2的边长为4,正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1,A1(0,1),A2(1,2),A3(3,4),A4(7,8),An(2n-1-1,2n-1),B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4),B4(15,8),Bn(2n-1,2n-1),A6的坐标为(25
7、-1,25),B6的坐标为(26-1,25).(2)点An的坐标是,正方形AnBnCnCn-1的面积是.图Z4-7答案(2)(2n-1-1,2n-1),22n-2解析(2)由(1)可知An(2n-1-1,2n-1),正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1,正方形AnBnCnCn-1的面积=(2n-1)2=22n-2.2.2019芜湖二模某广场用如图Z4-8所示的同一种地砖拼图案,第一次拼成图案如图所示,共用地砖4块;第二次拼成的图案如图所示,共用地砖4+24=12(块);第三次拼成的图案如图所示,共用地砖4+24+26=24(块),(1)直接写出第四次拼成的图案共用地砖块;(2)按照这样的
8、规律进行下去,求第n次拼成的图案共用地砖的数量.(先用含n的式子表示,后化简)图Z4-8答案(1)40解析第一次拼成形如题图所示的图案共用4块地砖,4=2(12),第二次拼成形如题图所示的图案共用12块地砖,12=2(23),第三次拼成形如题图所示的图案共用24块地砖,24=2(34),则第四次拼成的图案共用40块地砖,40=2(45),故答案为40.(1)直接写出第四次拼成的图案共用地砖块;2.2019芜湖二模某广场用如图Z4-8所示的同一种地砖拼图案,第一次拼成图案如图所示,共用地砖4块;第二次拼成的图案如图所示,共用地砖4+24=12(块);第三次拼成的图案如图所示,共用地砖4+24+2
9、6=24(块),(2)按照这样的规律进行下去,求第n次拼成的图案共用地砖的数量.(先用含n的式子表示,后化简)图Z4-8解:(2)第n次拼成的图案共用2n(n+1)=2(n2+n)(块)地砖.3.2019淮北联考学业水平检测蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”,它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窝”,观察下面的“蜂窝图”.(1)若“”中每条边看成1个建筑单位,则第1个图案中共有19个建筑单位,第2个图案中共有个建筑单位;第3个图案中共有个建筑单位;第n个图案中共有个建筑单位;(用含有n的代数式表示)(2)若现在有74个建筑单位材料,能建成符合上述规律的“蜂窝”吗?若能求出它符合第几个图案,若不能,
10、请说明理由.图Z4-9解：(2)由(1)得11n+8=74,解得n=6,所以符合第6个图案.3041(11n+8)4.已知面积为1的等边三角形ABC,分别延长AB,BC和CA至点Ak,Bk和Ck(k=1,2,3,n),使得AAk=(k+1)AB,BBk=(k+1)BC,CCk=(k+1)CA,若AkBkCk的面积为Sk.当k=1时,如图,得S1=1+13+13=7;当k=2时,如图,得S2=1+23+43=19;当k=3时,如图,得S3=1+33+93=37;结合图形并仔细观察上述式子,根据你发现的规律解答下列问题:(1)当k=4时,如图,得S4=;(2)当k=n时,请用两种不同方式表示Sn,得到一个等式,借助等式推导出从1开始连续正整数的求和公式;图Z4-10解:(1)1+43+16361解析当k=1时,S1=1+13+123=7;当k=2时,S2=1+23+223=19;当k=3时,S3=1+33+323=37,当k=4时,S4=1+43+423=61.(1)当k=4时,如图,得S4=;图Z4-10(2)当k=n时,请用两种不同方式表示Sn,得到一个等式,借助等式推导出从1开始连续正整数的求和公式;
