1、 中考数学（安徽专用）第四章 图形的认识4.2三角形及其全等考点一三角形的相关概念 20162020年全国中考题组1.(2020广东,6,3分)已知ABC的周长为16,点D,E,F分别为ABC三条边的中点,则DEF的周长为()A.8B.2C.16D.42答案答案 A如图,D,E,F分别为ABC三条边的中点,DF=BC,DE=AC,EF=AB.ABC的周长=BC+AC+AB=16,DEF的周长=DF+DE+EF=(BC+AC+AB)=16=8,故选A.12121212122.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,
2、3,5答案答案 C三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合,故选C.3.(2017山东泰州,3,3分)三角形的重心是()A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点答案答案 A三角形的重心是三角形三条边上中线的交点.4.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()A.17.5B.12.5C.12D.10答案答案 DAB=AC,B=C.B=18
3、0-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.5.(2019江西,10,3分)如图,在ABC中,点D是BC上的点,BAD=ABC=40,将ABD沿着AD翻折得到AED,则CDE=.答案答案20解析解析BAD=ABD=40,ADB=180-BAD-ABD=180-40-40=100,ADC=180-100=80.AED是由ABD翻折所得的,AED ABD,ADE=ADB=100.CDE=ADE-ADC=100-80=20,即CDE=20.6.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长
4、是方程x2-10 x+21=0的根,则三角形的周长为.答案答案16解析解析x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7,3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长,三角形的第三边长为7,三角形的周长为3+6+7=16.7.(2019浙江杭州,19,8分)如图,在ABC中,ACABAC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DEAC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:DEB ABC.证明证明DEAC,EDB=BAC.(2分)又BD=CA,DE=AB,(4分)DEB ABC.(5分)5.(2020福建,18,8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,
5、CD上,且BE=DF.求证:BAE=DAF.证明证明本小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观.四边形ABCD是菱形,B=D,AB=AD.在ABE和ADF中,ABADBDBEDF ABE ADF,BAE=DAF.说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.6.(2020广西北部湾经济区,21,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.(1)求证:ABC DEF;(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.证明证明(1)BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在ABC和DEF中,ABC DEF(SSS).
6、,ABDEACDFBCEF(2)由(1)可知ABC DEF,B=DEF,ABDE,又AB=DE,四边形ABED是平行四边形.思路分析思路分析(1)先证明BC=EF,再利用SSS证明ABC DEF;(2)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABED是平行四边形即可.7.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.证明证明四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB.在ADF和CBE中,ADF CBE,AF=CE.,ADCBDBDFBE 8.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同
7、一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求证:ABC DEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.解析解析(1)证明:ABDE,A=D,AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF,又AB=DE,ABC DEF.(2).详解:过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4.759.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与
8、点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心.(1)求证:BAD=CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.备用图解析解析(1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE,ABC ADE.(3分)BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC.BAD=CAE.(4分)(2)PD=6-x.(5分)如图,当ADBC时,x最小,PD最大.B=30,AB=6,x=AB=6=3.1212PD的最大值为3.(7分)(3)m=105,n=150.(9分)提示:根据I为APC的内心可得IAC=PAC,ACI=
9、ACP,所以AIC=180-PAC-ACP=90+APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+B=105,随着点P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+120=150,即105AIC150,所以m=105,n=150.12121212121212思路分析思路分析(1)根据SAS可证明ABC ADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+APC,可得AIC的大小取决于APC的大小,根据30A
10、PC120进而确定105AIC150,所以m=105,n=150.12考点一三角形的相关概念 教师专用题组1.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是()答案答案 C由作图痕迹可以判断选项A作了一个角平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角平分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.2.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是()答案答案 A三角形具有稳定性.故选A.3.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,AC
11、B=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A.6B.5C.4D.3答案答案 D在ABC中,ACB=90,DE垂直平分线段AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE=BC,在RtABC中,BC=6,DE=BC=3.故选D.1222-AB AC124.(2017湖南长沙,6,3分)一个三角形三个内角的度数之比为1 2 3,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案答案 B根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、90,因此这个三角形是直角三角形.故选B.5.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形
12、的两边长分别为3和7,则第三边长可能是()A.6B.3C.2D.11答案答案 A设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x0),BC=a(a0),由SBDF=S四边形CEFD,SBCE=SBDA,可得SBAF=S四边形CEFD=SBDF,AF=DF,即F为AD的中点.DMAE,F为AD的中点,MDF EAF,即DM=AE=a-x,又DMCE,BDMBCE,=,即=,解得x=a或x=a(舍),经检验,x=a是分式方程的解,=.(10分)BDBCDMCExa-a xx-152-1-52-152BDBC-152(3)AF BF CF=1 2.(14分)提示:作BNAD于点N,易
13、证ABN BCF,CF=BN,BF=AN,易证ABE=FAE,BFN=ABE+BAF=FAE+BAF=60,BF=2FN,BN=FN,AF=AN-FN=BF-FN=FN,CF=BN=FN,AF BFCF=1 2.33334.(2020安徽安庆一模,23)如图1,已知正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,BE=DF,AE、AF分别交BD于点G,H.(1)求证:BG=DH;(2)连接FE,如图2,当EF=BG时,求证:ADAH=AFDF;直接写出的值.HFAH解析解析(1)证明:四边形ABCD为正方形,AB=AD,ABC=ADC,BE=DF,ABE ADF(SAS),BAE=DAF,AB
14、=AD,ABD=ADB,ABG ADH(ASA),BG=DH.(5分)(2)证明:连接GF,BC=DC,BE=DF,CE=CF,C=90,DBC=FEC=45,EFBD,EF=BG,四边形EBGF是平行四边形,BEGFAD,=,=,=,AD=CD,=,AGAEDGDBDFDCDGDBDFDCAGAEDFADDFCDAGAEEFBD,=,=,即ADAH=AFDF.(11分).(14分)理由如下:由GHEF可得,=,BG=EF,BG=DH,=-2,设=x,则=2+x,由GFBC可得=.AGAEAHAFDFADAHAF5-12AHAFGHEFAHAFGHEF-2BDBGBGBDBGAHAFBDBGD
15、FCDDGBD由可得,=,=x,=x,1-=x,=,=2+x,化简得x2+x-1=0,解得x=或(舍),经检验,x=是分式方程的解.DFCDAHAFDGBDAHAF-BD BGBDBGBDBDBG11-x11-x5-12-5-125-12难点突破难点突破第(2)问的突破口是作辅助线GF并证明四边形EBGF是平行四边形;的突破口是借助GHEF和GFBC及的结论建立等式.5.(2018安徽安庆一模,23)在等腰直角ABC中,ACB=90,AC=BC,点P在斜边AB上(APBP).作AQAB,且AQ=BP,连接CQ(如图1).(1)求证:ACQ BCP;(2)延长QA至点R,使得RCP=45,RC与
16、AB交于点H,如图2.求证:CQ2=QAQR;判断三条线段AH、HP、PB的长度满足的数量关系,并说明理由.解析解析(1)证明:ACB=90,AC=BC,CAB=B=45,又AQAB,QAC=CAB=45=B,在ACQ和BCP中,ACQ BCP(SAS).(2)证明:由(1)知ACQ BCP,则QCA=PCB,ACB=90,RCP=45,ACR+PCB=45,ACR+QCA=45,即QCR=45=QAC,又Q是CQR和AQC的公共角,CQRAQC,=,CQ2=QAQR.AH2+PB2=HP2.,ACBCQACBAQBP CQAQQRQC理由:连接QH,CQ=CP,QCH=PCH=45,CH=C
17、H,QCH PCH(SAS).HQ=HP.在RtQAH中,QA2+AH2=HQ2,又QA=PB,AH2+PB2=HP2.思路分析思路分析(1)由AQAB及ACB为等腰直角三角形可得QAC=CAB=45=B,从而可证ACQBCP;(2)由ACQ BCP可得QCA=PCB,进一步得出QCR=QAC,从而可证CQRAQC,问题解决;连接QH,先证QCH PCH,可得HQ=HP,结合RtQAH中QA2+AH2=HQ2可使问题解决.6.(2019安徽滁州定远二模,23)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E在AB上,点F在BC的延长线上,且AE=CF,连接EF交AC于点P,分别连接DE
18、,DF,DP.(1)求证:ADE CDF;(2)求证:ADPBDF;(3)如图,若PE=BE,PC=,求CF的值.2解析解析(1)证明:四边形ABCD为正方形,AD=DC,BAD=DCF=90.又AE=CF,ADE CDF.(2)证明:ADE CDF,DE=DF,ADE=CDF.CDF+EDC=ADE+EDC=90.DEF为等腰直角三角形.过点F作FGBF交AC延长线于点G,则CFG为等腰直角三角形,FG=CF,又CF=AE,FG=AE,ABFG,AEP=GFP,又APE=GPF,AEP GFP,PE=PF,DPEF,EDP=FDP=45,ADP=ADE+45,BDF=CDF+45,ADP=B
19、DF.又DAP=DBF=45,ADPBDF.(3)作PHBC,垂足为H,ACB=45,PC=,PH=CH=1.BE=PE=PF,BE=EF,BFE=30,PF=2,FH=.CF=-1.21233思路分析思路分析(1)利用正方形ABCD的性质易证;(2)利用ADE CDF可证DEF为等腰直角三角形,然后作FGBF交AC延长线于点G,根据AE=CF及ABFG可证AEP GFP,进一步可证DPEF,然后证明ADP=BDF,从而问题解决;(3)作PHBC,抓住ACB=45,PE=BE=PF可得BFE=30,问题解决.7.(2019安徽合肥包河一模,23)已知:ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,A
20、CB=2B,CD是ACB的平分线.(1)如图1,若A=B,则a、b、c三者之间满足的关系是;(2)如图2,求证c2-b2=ab;(3)如图3,若B=2A,求证:+=.1b1c1a解析解析(1)a2+b2=c2.(其他关系式也可以适当给分,如c=a=b)(3分)(2)证明:CD平分ACB,ACB=2B,B=ACD=BCD.CD=BD.A=A,ACDABC.=,即=,=,c2=b2+ab,即c2-b2=ab.(8分)(3)证明:作BE平分ABC.22ACABADACCDBCbcADbBDabcADBDbacbaABC=2A,由(2)的结论可知b2-a2=ac,c2-b2=ab,c2=b2+ab.-
21、=,+=.(14分)1a1b-b aab22-()b aab ab2()acabab2cc1c1b1c1a思路分析思路分析(1)根据图形和题意容易得出结论;(2)根据ACB=2B,CD是ACB的平分线推出ACDABC,然后由相似比可得=,进一步得到a,b,c之间的关系,问题解决;(3)作BE平分ABC,利用(2)的结论推出b2-a2=ac,再对结论左边的式子通分化简即可证明.ACABADACCDBC8.(2019安徽合肥名校三模,23)在矩形ABCD中,M为AD边上一点,MB平分AMC.(1)如图1,求证:BC=MC;(2)如图2,G为BM的中点,连接AG、DG,过点M作MNAB交DG于点E、
22、交BC于点N.求证:AGDG;当DGGE=13时,求BM的长.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,AMB=MBC.MB平分AMC,AMB=BMC,BMC=MBC,BC=MC.(4分)(2)证明:如图,连接GC.CM=CB,G为BM的中点,BGC=90,BAM=90,G为BM的中点,GA=GB=GM,GAB=GBA,GAD=GBC,在AGD和BGC中,AGD BGC,AGD=BGC=90,即AGDG.(9分)MNAB,MNB=90.又BGC=90,BMN=BCG.AGD BGC,GDM=BCG,BMN=GDM.又MGE=DGM,MGEDGM,MG EG=DG MG.即MG2=DGGE=13,MG=,BM=2.(14分),GAGBGADGBCADBC 1313解题关键解题关键考虑到(1)的结论及G为BM的中点,从而想到连接CG并证明AGD BGC是证明AGDG的关键.
